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Dr. Markus Brede: Über
die Kreiszahl Pi
Die Größen Umfang (U) und
Flächeninhalt (A) des symmetrischen Objekts der
ebenen Geometrie schlechthin, des Kreises, sind
bekanntlich proportional zum Kreisradius r bzw. zu
dessen Quadrat. Der sehr elementare Charakter der
hierdurch motivierten Definition für Pi,
nämlich das Verhältnis U/2r, einerseits
und die scheinbar regellose Folge der
Nachkommastellen (etwa in der Dezimaldarstellung)
der damit festgelegten "Kreiszahl" Pi
andererseits lassen diese Zahl Laien wie Fachleuten
gleichermaßen faszinierend erscheinen. Ziel
des Vortrags ist es, einen Überblick über
elementare Verfahren zur Approximation von Pi und
zugleich Gelegenheit zu geben, etwa mit Hilfe
einfacher Algorithmen selbständig solche zu
gewinnen.
Dr. Andreas Klein:
Die Mathematik der Ornamente
Die Pflasterung der Ebene mit gleichartigen Teilen
findet man in vielen Beispielen von Architektur und
Kunst. Ziel dieses Vortrags ist die
Bestimmung aller 17 "wesentlich" verschiedenen
Parkette.
(Hier gibt's ein Beispiel einer Parkettierung
nach Escher)
Prof. Dr. Wolfram Koepf:
Fußbälle,
platonische
und archimedische Körper
Anhand der Eigenschaften eines Fußballs, welcher
aufgrund seiner Bauart ein sogenannter
Ikosaederstumpf ist, werden Eigenschaften von
Polyedern betrachtet. Eine wichtige Eigenschaft
wird vom Eulerschen Polyedersatz
beschrieben, welcher eine Beziehung zwischen der
Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen eines
Polyeders angibt. Es wird gezeigt, dass es nur 5
platonische Körper gibt, und schließlich
werden archimedische Körper
betrachtet, womit wir wieder beim Fußball
gelandet sind.
Prof. Dr. Gunter Malle:
Kugelpackungen
Was ist die platzsparendste Methode, um Tomaten,
Äpfel oder Kanonenkugeln zu stapeln ? Dies
führt auf die Frage nach der dichtesten
Kugelpackung, die auch in höherdimensionalen
Räumen Sinn macht. Es zeigt sich, dass oft
Kugelpackungen mit vielen Symmetrien besonders
dicht sind. Dies nutzt man bei der Suche nach
fehlerkorrigierenden Kodes aus.
Prof. Dr. Hans-Georg
Rück: Darstellung von Zahlen als Summe von
zwei Quadraten
Ein altes Problem der Zahlentheorie ist die
Bestimmung aller natürlicher Zahlen, die sich
als Summe von zwei Quadraten schreiben
lassen. Wir werden an diese Problemstellung
zunächst experimentell herangehen. Dann wird
eine Lösung des Problems präsentiert werden,
die als entscheidendes Hilfsmittel Symmetrien von
gewissen Mengen benutzt.
Dr. Ralf Schaper:
Symmetrien in den Darstellungen von Funktionen
einer bzw. zweier reeller Veränderlicher
Mit Hilfe von Computeralgebrasystemen können
heute mit einzeiligen Programmen sehr gute
Darstellungen von Funktionsgraphen erzeugt werden.
Damit besteht auch die Möglichkeit zur
Darstellung und Analyse von
Funktionsgraphen, die bisher nicht zum klassischen
Schulstoff gehören.
Die Darstellung von Flächen und Kurven mit
Funktionen zweier Veränderlicher bietet u.a.
auch ästhetische Reize.
Nach entsprechender Anleitung haben die
Schülerinnen und Schüler am Nachmittag
Gelegenheit, mit dem Computeralgebrasystem
Mathematica Funktionen zu "plotten".
Dr. Markus Wessler:
Symmetrische Funktionen
Unter den Funktionen in mehreren Variablen nennt man
diejenigen symmetrisch, bei denen die Reihenfolge
der Variablen beliebig vertauscht werden kann, ohne
den Funktionswert zu ändern. Eine spezielle
Rolle spielen
die sogenannten elementarsymmetrischen Funktionen,
denn durch sie kann jede andere symmetrische
Funktion ausgedrückt werden. Wir entdecken die
elementarsymmetrischen Funktionen durch den
fundamentalen Zusammenhang, den sie zwischen den
Lösungen von Gleichungen und deren
Koeffizienten herstellen.
Automatisch stoßen wir dabei auf die
symmetrische Gruppe, und es wird
dadurch ein wenig deutlich gemacht, wie sehr
die Untersuchung algebraischer Gleichungen zur
Entwicklung der Gruppentheorie beigetragen hat.
Prof. Dr. Bernd Wollring:
Symmetrie als Konstruktionsprinzip in der
Papierfaltgeometrie
Geometrie wird auf verschiedene Art dargestellt:
Mathematisch präzise ist die formalisierte
Darstellung wie etwa bei Euklid, ausgehend von
Definitioenen und Axiomen hinführend zu
Befunden, die als Sätze mit Beweisen dargelegt
sind. Dem steht gegenüber eine Geometrie, die
durch konkretes Zeichnen oder Zeichenprogramme an
Computern realisiert ist, die zwar euklidisches
Konstruieren simulieren, ihrerseits aber auf anderen
Prinzipien beruhen. Wir stellen diesen beiden
Konzepten ein dritees gegenüber, das ganz
elementar zugänglich ist, die Geometrie des
Papierfaltens. Besonders kennzeichen für sie
ist, dass alle ihre Konstruktionen aus der
Achsenspiegelung heraus entwickelt werden. Symmetrie
ist hier nicht nachträglich festgestellte
Eigenschaft konstruierter Figuren, sondern
handlungsleitendes Prinzip beim Herstellen von
Figuren. (Im Laufe dieses Vortrags fallen
Eigenaktivitäten an, es ist
zweckmäßig, ein paar Bögen farbiges
Papier dabei zu haben.)
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