Eine schöne Tradition bilden mittlerweile die Schülerprojektwochen am Fachbereich Mathematik/Informatik der Universität Kassel. Hier finden interessierte Schülerinnen und Schüler die Gelegenheit zu erfahren, dass die Mathematik ein wenig mehr bieten kann, als es der Schulstoff erahnen lässt. Es ist eine Chance, einen Einblick in den Uni-Alltag zu gewinnen und sich vielleicht ein erstes Bild von einem Mathematik-Studium zu machen. Wie in den vergangenen Jahren wird auch 2003 wieder eine Schülerprojektwoche stattfinden, und zwar in der Zeit 24.-28.02.2003. Das Thema ist diesmal "Zahlen". Eingeladen sind Schülerinnen und Schüler der Klassen 12 und 13 aus Kassel und Umgebung.

Zum Thema:

Was kann man bei diesem Thema erwarten? Letztendlich geht alle Mathematik vom Zählen aus, und der Mathematiker Kronecker sagte einmal: "Die natürlichen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk". Wir werden uns mit dem klassischen Zahlaufbau (von natürlichen über ganze und rationale bis hin zu reellen Zahlen), mit einigen Erweiterungen der reellen Zahlen (komplexe, hyperkomplexe) ebenso wie mit noch "exotischeren" Zahlbereichen beschäftigen. Auch die Zahlentheorie, eine der mächtigsten Disziplinen innerhalb der Mathematik, die heute zahlreiche aktuelle Anwendungen hat, wird behandelt. Es werden auf diese Weise zahlreiche Gebiete der Mathematik beleuchtet und den Schülerinnen und Schülern wird ein erster Einblick in Inhalte und Ablauf eines Mathematikstudiums gegeben.

Organisatorisches:

Die Schülerprojektwoche 2003 wird stattfinden in der Zeit 24.-28.02.2003 und zwar täglich von 9.00 Uhr bis 16.00 Uhr. Verschiedene Mitarbeiter des Fachbereichs 17 werden zum Oberthema Zahlen Vorträge halten. In der Regel besteht im Anschluss an die Vorträge die Möglichkeit, Fragen zu stellen oder das Gehörte an Hand von Übungen zu vertiefen. In der Zeit von 12.00 Uhr bis 13.00 Uhr besteht die Möglichkeit, in der Mensa oder der Cafeteria zu essen. Am Mittwoch, 26.02.2003, wird es einen allgemeineren Informationsnachmittag geben, an dem man alles rund um die Uni und das Mathematik-Studium erfahren und das fragen kann, was man schon immer fragen wollte.

Geplanter Ablauf:

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24. Februar 2003     09.15 Uhr Begrüßung und Organisatorisches (Markus Wessler)  
Unendlich ist nicht gleich unendlich (Wolfram Koepf)   Vortrag als pdf
Es wird gezeigt, dass man die rationalen Zahlen durchnumerieren kann, nicht aber die Dezimalzahlen. Es gibt also viel mehr Dezimalzahlen als rationale Zahlen. Diese bilden die Teilmenge der periodischen Dezimalzahlen. Es werden weitere Fragen zu diesem Themenkreis behandelt: Wie stellt man fest, ob eine Zahl rational ist oder nicht? Wie konvertiert man periodische Dezimalzahlen? Wie berechnet man Dezimalapproximationen? Auf wie viele Stellen kann man Pi berechnen? Wie kann man noch mächtigere Mengen konstruieren? ... Da es "gleich viele" rationale wie natürliche Zahlen gibt, stellt sich die Frage, ob dies Komplikationen nach sich ziehen kann. Einige Merkwürdigkeiten werden behandelt.
13.15 Uhr Fast alle Zahlen sind normal, aber keiner kennt eine (Herbert Ziezold)   Vortrag als pdf
Um die erste Behauptung des Titels dieses Vortrages zu verstehen, werden wir uns zunächst klar machen, wie der Anzahlbegriff "fast alle" definiert ist. Dazu wird der maßtheoretische Begriff einer "Nullmenge" eingeführt.
Danach werden wir anhand von Computersimulationen verschiedener Zufallsexperimente das starke Gesetz der großen Zahlen demonstrieren. Es besagt zum Beispiel, dass in einer unendlichen Folge unabhängiger Würfelwürfe der Mittelwert der ersten n Wurfergebnisse gegen 3,5 konvergiert, wenn n gegen Unendlich geht. (Wofür steht hier 3,5?)
Stark vereinfachend gesagt, sind q-normale Zahlen solche, in deren q-adischer Entwicklung jede der Ziffern 0,1,...,q-1 (und sogar jeder endliche Ziffernkomplex einer festen Länge) gleich häufig vorkommt. (q=2: Dualentwicklung; q=10: Dezimalentwicklung) Eine Zahl heißt normal, wenn sie für jedes q eine q-normale Zahl ist.
Mittels des starken Gesetzes der großen Zahlen überzeugen wir uns davon, dass fast alle reelle Zahlen normal sind. Jedoch ist es bis heute nicht gelungen, eine reelle Zahl als normal zu identifizieren.
25. Februar 2003     09.15 Uhr Mathematik sichtbar gemacht: "Komplexe und perplexe Zahlen" oder "Ein Bild sagt mehr als 1000 Zahlen" (Wolfgang Metzler)
Berechnen Sie einmal einige Punkte, die auf einem Kreis liegen, und geben Sie diese Daten jemandem zur Beurteilung. Sie werden feststellen, dass man den Zahlen den Kreis nicht mehr ansieht. Beginnt man aber, die Punkte in ein Koordinatensystem einzutragen, so springt das verbindende Gesetz schnell wieder ins Auge.
Anfang des letzten Jahrhunderts untersuchten G. Julia und P. Fatou das dynamische Verhalten der sogenannten quadratischen Familie z -> z2 + c (wobei c eine komplexe Zahl) in der komplexen Zahlenebene. Erst ab 1980 konnten B. Mandelbrot und andere mit Hilfe geeigneter graphischer Massensimulationen diese Dynamiken in (fraktalen) Bildern ausdrücken und damit die Welt der Mathematiker ordentlich durchschütteln. Wesentlich für diese Resultate sind die algebraische Struktur der komplexen Zahlen und die analytischen Eigenschaften von Polynomen (bzw. meromorphen Funktionen). Eng verwandt mit den komplexen sind die sogenannten perplexen Zahlen, beide Zahlräume sind Spezialfälle sogenannter Zweierkomponentenzahlen. Im Raum der perplexen Zahlen birgt die Dynamik der quadratischen Familie allerdings "enorme" Überraschungen.
13.15 Uhr Komplex ist nicht genug - Die Geschichte der Quaternionen (Markus Wessler)   Vortrag als pdf
Es wird Sir William Rowan Hamilton zugeschrieben, die Identifikation komplexer Zahlen (die im vorhergehenden Vortrag diskutiert wurden) mit Paaren reeller Zahlen, versehen mit festen Rechenregeln, manifestiert zu haben. Viele Jahre lang hoffte Hamilton dann, ein vergleichbares Rechensystem auch für Tripel reeller Zahlen zu schaffen, das das der komplexen Zahlen fortsetzt. So schrieb er kurz vor seinem Tod noch an seinen Sohn: "Every morning, on my coming down to breakfast, you used to ask me: 'Well, Papa, can you multiply triplets?' Whereto I was always obliged to reply, with a sad shake of the head: 'No, I can only add and substract them.'"
Letztendlich gelang es ihm, 1843 das System der Quaternionen zu finden - er musste dazu allerdings Tupel von vier reellen Zahlen benutzen, also noch eine Dimension hochspringen. Die fundamentale Beziehung zwischen den Basis-Quaternionen ritzte er dann mit einem Messer in die Brougham Bridge.
Wir werden die Entstehungsgeschichte der Quaternionen verfolgen und lernen, wie man mit ihnen rechnet, wozu sie gut sind, aber auch, dass der Enthusiasmus Hamiltons, der kurze Zeit viele ansteckte, auf Dauer nicht ausreichte, den Quaternionen wirklich den historisch bedeutsamen Platz zu geben, den er gern gesehen hätte.

26. Februar 2003     09.15 Uhr

Unendlich kleine und unendlich große Zahlen (Susanne Langer)
Wir beginnen mit der historischen Relevanz der Fragestellung; anschließend werden unendlich kleine und unendlich große Zahlen (mittels und) als Folgen eingeführt und es wird gezeigt, wie man mit ihnen rechnen kann. Mittels einer Identifikation der reellen Zahlen als konstante Folgen werden dann aus der Schule bekannte Begriffe wie Grenzwert, Reihen, Funktion... übertragen.

13.15 Uhr

Die Bestimmung des Wertes von Grund und Boden - eine mathematische Analyse (Hilmar Drygas)  
Die Abschreibung von Immobilienobjekten richtet sich nicht nach dem Kaufpreis, sondern nach dem Gebäudewert; der Wert von Grund und Boden muss also abgezogen werden. Hierfür vorgeschlagene Formeln des Bundesfinanzhofs werden kritisch beleuchtet und ein zunächst intuitiver deskriptiver, dann ein stochastischer Ansatz diskutiert.
im Anschluss Info-Stunde mit Kaffee und Kuchen

27. Februar 2003     09.15 Uhr

p-adische Zahlen (Hans-Georg Rück)   Vortrag als pdf
Betrachtet man eine rationale Zahl, d.h. einen Bruch m/n mit ganzen Zahlen m und n, aus Sicht der Analysis, dann ist man meist an ihrer Größe |m/n| interessiert, d.h. an dem Abstand von m/n zur Zahl 0 auf dem reellen Zahlenstrahl. Die Beschäftigung mit dieser Größenfunktion | | führt dann in Wirklichkeit erst zur richtigen Definition der reellen Zahlen als Grenzwerte von Folgen von Brüchen. Aus Sicht der Zahlentheorie ist dagegen die Frage interessanter, wie oft eine vorgegebene Primzahl p in Zähler und Nenner des Bruches m/n "aufgeht". Dies liefert einen Größenbegriff von rationalen Zahlen in Abhängigkeit dieser Primzahl p, der auf viele Problemstellungen im Bereich von Arithmetik und Algebra angepasst ist. Auch hier gibt es Grenzwerte von Folgen bezüglich dieser "neuen" p-adischen Größe. Die so entstehenden Zahlen, analog zu den reellen wie oben beschrieben, nennt man die p-adischen Zahlen. Wir wollen einige Eigenschaften von diesen Zahlen studieren.
13.15 Uhr Zahlen, Ziffern, Zeichen (Ralf Schaper)
Die Notizen zum Vortrag sind als Mathematica-Notebook lesbar mit einer vollen Mathematica-Version oder dem kostenlosen MathReader.
Wie unterscheiden sich in einigen europäischen Sprachen die Zahlworte etwa für 9 bis 17 ? Wieso hat ein Tag zweimal zwölf Stunden? Wo und wann entstand das gebräuchliche Dezimalsystem? Seit wann werden Plus-, Wurzel- bzw. Integralzeichen benutzt? Solche und ähnliche Fragen, die nicht unbedingt leicht zu beantworten sind, sollen in dem Vortrag behandelt werden. Aktuell ist z.Zt. das Problem: Wie lassen sich mathematische Zeichen und Formeln im Internet darstellen?
28. Februar 2003     09.15 Uhr Conway-Zahlen (Andreas Klein)
Bei dem Spiel Blau-Rotes-Hackenbush wird eine Figur aus blauen und roten Linien an eine Tafel gemalt. Zwei Spieler entfernen abwechselnd je ein Kante. Dabei darf ein Spieler in seinem Zug nur blaue und der andere Spiele nur rote Kanten entfernen. Kanten, die nach einem Zug nicht mehr mit dem Boden verbunden sind, werden ebenfalls sofort entfernt.

Es stellt sich heraus, dass Hackenbush Positionen auf natürliche Weise Zahlen entsprechen. Dies führt zu einer eleganten Zahlkonstruktion, die nicht nur reelle, sondern auch transfinite und infinitesimale Zahlen liefert.

13.15 Uhr Abschluss