Die Schwingungsgleichung

Übung: Beispiel 1: Schwingungsgleichung ohne Reibung

DE=m y''[x]+k y[x]==0

Charakteristisches Polynom

charpol=DE/.{y[x]->1,Derivative[n_][y][x]->(λ^n)}

lösung=Solve[charpol,λ]

Komplexe Lösungen

basis=Map[Exp[# x]&,λ/.lösung]

Eine reelle Lösungsbasis erhält man mit der Eulerschen Identität Exp[i x]=Cos[x]+i Sin[x] als Realteil und Imaginärteil mit dem Argument

arg=((basis[[2,2]])/I)

{Cos[arg ],Sin[arg ]}

Dies liefert auch DSolve:

DSolve[DE,y[x],x]

Die Konstanten ergeben sich aus einem AWP:

sol=DSolve[{DE,y[0]==1,y'[0]==2},y[x],x]

Plot[y[x]/.sol/.{m->1,k->1},{x,0,50}]

Beispiel 2: Schwingungsgleichung mit Reibung

DE=m y''[x]+R y'[x]+k y[x]==0

Charakteristisches Polynom

charpol=DE/.{y[x]->1,Derivative[n_][y][x]->(λ^n)}

lösung=Solve[charpol,λ]

Wir müssen also eine Fallunterscheidung durchführen. Ist (R^2)-4 k m > 0, so gibt es zwei (negative) reelle λ-Werte: Die Reibung ist so stark, dass kein Schwingungsverhalten mehr auftritt. Den Fall (R^2)-4 k m = 0 nennt man den aperiodischen Grenzfall.

basis=Map[Exp[# x]&,λ/.lösung]

Die Konstanten ergeben sich aus einem AWP:

sol=DSolve[{DE,y[0]==1,y'[0]==2},y[x],x]

Plot[y[x]/.sol/.{m->1,k->1,R->4},{x,0,50}]

Für (R^2)-4 k m < 0 ergeben sich zwei zueinander konjugiert komplexe λ-Werte und damit als Lösung ein Produkt einer abklingenden Exponentialfunktion mit einer periodischen Funktion.

Plot[y[x]/.sol/.{m->1,k->1,R->1},{x,0,50},PlotRange->All]

Plot[y[x]/.sol/.{m->1,k->1,R->(1/100)},{x,0,50},PlotRange->All]