Fachbereich 10 Institut für Mathematik
 Vorlesungsankündigung für das WS 18/19
Prof. Dr. Wolfram Koepf

Funktionentheorie I/II

Veranstaltung SWS Tag Zeit Ort/Raum Betreuer Beginn
Vorlesung 4
 Mittwoch
Donnerstag
11-13
9-11
 HPS / R. 1403
HPS / R. 1409		 W. Koepf 18 10.18
Übung
2

Freitag
9-11
HPS / R. 2420
 D. Tcheutia
19.10.18

Die Vorlesung besteht aus zwei Teilen.

Im ersten Teil Funktionentheorie I wird eine Einführung in dieses Gebiet gegeben. (Modul BW 8 der Bachelor-Prüfungsordnung, Modul "Reine Mathematik" Lehramt L3).

Inhalt: Die Funktionentheorie ist die Theorie der in einem Gebiet der komplexen Ebene differenzierbaren Funktionen. Diese werden analytische Funktionen genannt. Anders als im Reellen stellt sich heraus, dass derartige Funktionen viel weiterreichendere Eigenschaften besitzen. Differenzierbarkeit im Komplexen ist gleichwertig zu wegunabhängiger Integrierbarkeit, und jede analytische Funktion besitzt in jedem Punkt ihres Definitionsgebietes eine konvergente Potenzreihendarstellung. Es ist Ziel dieser Veranstaltung, diese Zusammenhänge knapp und sauber zu erarbeiten.

Folgende Themen werden behandelt:

Literatur: Behnke, H., Sommer, F.: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1976
                 Forst, W., Hoffmann, D.: Funktionentheorie erkunden mit Maple. Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 2002
                 Strampp, W., Ganzha, Vorozhtsov: Höhere Mathematik mit Mathematica, Bd. IV. Vieweg, Braunschweig-Wiesbaden, 1997
                 Werner, D.: Einführung in die höhere Analysis. Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 2006

Voraussetzung: Analysis I und II


Der zweite Teil der Vorlesung Funktionentheorie II beschäftigt sich mit der Geometrischen Funktionentheorie.

Inhalt: Die geometrische Funktionentheorie basiert auf dem Riemannschen Abbildungssatz, welcher besagt, dass sich jedes einfach zusammenhängende Gebiet der komplexen Ebene analytisch und bijektiv auf die Einheitskreisscheibe abbilden lässt. Die zugehörigen Umkehrabbildungen nennt man schlichte Funktionen. Diese lassen sich wie alle analytischen Funktionen durch Potenzreihen darstellen. Schlichte Funktionen können weiterhin durch Eigenschaften ihrer Bildgebiete charakterisiert werden. Das Wechselspiel zwischen Potenzreihen und Geometrie steht im Vordergrund der Betrachtungen. Konkrete schlichte Funktionen spielen in der Physik, beispielsweise bei der Tragflächenkonstruktion von Flugzeugen, aber auch bei Strömungen, eine wichtige Rolle.
In der Vorlesung wird Computeralgebra eingesetzt, um geometrische Aspekte sichtbar zu machen, um Potenzreihenumformungen durchzuführen, aber auch um mathematische Beweise zu führen.

Wir werden folgende Themen bearbeiten:
  1. Rimannscher Abbildungssatz und Kompaktheit
  2. Bieberbachsche Vermutung
  3. Polygonal berandete Gebiete: Die Schwarz-Christoffel-Formel
  4. Funktionen mit positiven Realteil
  5. Konvexe und sternförmige Funktionen
  6. Nahezu konvexe Funktionen
  7. Der Satz von de Branges 
  8. Die Funktionen von de Branges und Weinstein

Literatur:                     wird in der Vorlesung bekannt gegeben

Voraussetzung:            Kenntnisse der Funktionentheorie (Modul BW 8 der Bachelor-Prüfungsordnung).

Leistungsnachweis:     Regelmäßige Teilnahme an den Übungen und 50% korrekt bearbeitete Aufgaben (Diplom) bzw. mündliche Prüfung und Klausur.