Fachbereich 17 Mathematik/Informatik
Vorlesungsankündigung für das SS 2009
Prof. Dr. Wolfram Koepf

Geometrische Funktionentheorie

Veranstaltung SWS Tag Zeit Ort/Raum Dozenten
 Beginn
Vorlesung 4 Dienstag
Donnerstag
9-11
11-13
 HPS / R. 1403
HPS / R. 1403
 W. Koepf 14. 04. 09
Übung
2
Freitag
13-15
HPS / R. 2404
Dirk Lange
17. 04. 09

Geeignet für:  Bachelor und Master Mathematik, Lehramt Gymnasium.

Die geometrische Funktionentheorie basiert auf dem Riemannschen Abbildungssatz, welcher besagt, dass sich jedes einfach zusammenhängende Gebiet der komplexen Ebene analytisch und bijektiv auf die Einheitskreisscheibe abbilden lässt. Die zugehörigen Umkehrabbildungen nennt man schlichte Funktionen. Diese lassen sich wie alle analytischen Funktionen durch Potenzreihen darstellen. Schlichte Funktionen können weiterhin durch Eigenschaften ihrer Bildgebiete charakterisiert werden. Das Wechselspiel zwischen Potenzreihen und Geometrie steht im Vordergrund der Betrachtungen.
In der Vorlesung wird u.a. die Bieberbachsche Vermutung (= Satz von de Branges) bewiesen. Konkrete schlichte Funktionen spielen in der Physik, beispielsweise bei der Tragflächenkonstruktion von Flugzeugen, aber auch bei Strömungen, eine wichtige Rolle.
In der Vorlesung wird Computeralgebra eingesetzt, um geometrische Aspekte sichtbar zu machen, um Potenzreihenumformungen durchzuführen, aber auch um mathematische Beweise zu führen.

Wir werden folgende Themen bearbeiten:
  1. Riemannscher Abbildungssatz und Kompaktheit
  2. Bieberbachsche Vermutung
  3. Polygonal berandete Gebiete: Die Schwarz-Christoffel-Formel
  4. Funktionen mit positiven Realteil
  5. Konvexe und sternförmige Funktionen
  6. Nahezu konvexe Funktionen
  7. Der Satz von de Branges 
  8. Die Funktionen von de Branges und Weinstein
Bemerkung:
 L3-StudentInnen können im Rahmen des Moduls MAL3-6 auch nach der ersten Hälfte der Vorlesung mit 4,5 Credits abschließen.
Literatur:
 kann in dieser Beschreibung nachgelesen werden
Voraussetzung:
 Kenntnisse der Funktionentheorie im Rahmen der Analysis.
Leistungsnachweis
 Regelmäßige Teilnahme an den Übungen und 50 % korrekt bearbeitete Aufgaben (Diplom) bzw. mündliche Prüfung oder Klausur.


Übungsblätter zum Download:

Blatt1
Blatt2
Blatt3
Blatt4
Blatt5
Blatt6
Blatt7
Blatt8
Blatt9
Blatt10
Blatt11

Vorlesungsskript zum Download