Höhere Analysis mit DERIVE

Vieweg Computeralgebra

Wolfram Koepf
Höhere Analysis mit DERIVE
1994. XII, 206 Seiten. Mit zahlreichen Abbildungen, Beispielen und Übungsaufgaben sowie Mustersitzungen mit DERIVE.
Paperback, DM 39,50, ISBN 3-528-06594-X.
Das Buch ist vergriffen. Daher kann es HIER heruntergeladen werden.

Dieses Lehrbuch der mehrdimensionalen Analysis setzt das Buch ,,Mathematik mit DERIVE'' fort, das der Autor zusammen mit Adi Ben-Israel und Robert P. Gilbert geschrieben hat. Neu bei beiden Büchern ist die Zuhilfenahme des symbolischen Mathematikprogramms DERIVE als technisches Hilfsmittel zur praxisnahen und dennoch strengen Wissensvermittlung. Alle dargestellten Konzepte werden durch praktische Übungen mit DERIVE unterstützt. Dabei werden sowohl die numerischen als auch die symbolischen und graphischen Fähigkeiten solcher Computeralgebrasysteme zum besseren Verständnis der betrachteten Konzepte herangezogen.

Inhaltsangabe
Kapitel 1: Metrische Räume und Stetigkeit Konvergenz in metrischen Räumen Topologie metrischer Räume Stetige Funktionen zwischen metrischen Räumen Stetigkeit von Vektorfunktionen mehrerer Variablen
Kapitel 2: Mehrdimensionale Differentiation Partielle Differenzierbarkeit Differenzierbarkeit mehrdimensionaler Funktionen Taylorsche Formel Lokale Extrema
Kapitel 3: Implizite Funktionen und Iteration Implizite Funktionen zweier Variablen Iteration in metrischen Räumen Implizite Funktionen mehrerer Variablen
Kapitel 4: Gewöhnliche Differentialgleichungen Explizite Differentialgleichungen erster Ordnung Elementare Lösungstechniken Differentialgleichungen höherer Ordnung
Kapitel 5: Kurven im Parameterdarstellungen von Kurven Kurven und Tangenten Rektifizierbarkeit und Kurvenlänge Funktionen mit beschränkter Variation Riemann-Stieltjes-Integrale Kurvenintegrale
Kapitel 6: Mehrdimensionale Integration Integration über Quader Iterierte Integrale und der Satz von Fubini Integration über Jordan-meßbare Mengen Der Transformationssatz
Kapitel 7: Integralsätze Der zweidimensionale Integralsatz von Gauß Dreidimensionale Flächen Der dreidimensionale Integralsatz von Gauß Der Satz von Stokes
Literaturverzeichnis Symbolverzeichnis DERIVE Stichwortverzeichnis Stichwortverzeichnis

Vorwort
Dies ist der zweite Teil des im Rahmen meiner Analysis-Vorlesungen am Fachbereich Mathematik der Freien Universität Berlin entstandenen Materials, das den Band

: Koepf, W., Ben-Israel, A. und Gilbert, R. P.
Mathematik mit DERIVE
Vieweg-Verlag, Braunschweig-Wiesbaden, 1993
ISBN 3-528-06549-4

fortsetzt. Bei Verweisen auf Sätze, Definitionen, Beispiele usw. aus dem Buch Mathematik mit DERIVE ist die entsprechende Nummer mit einer vorgestellten ,,I.'' angegeben. Ferner ist zum einfacheren Auffinden die jeweilige Seitenzahl ebenfalls zitiert.
Das vorliegende Buch behandelt den üblichen Kanon der mehrdimensionalen Analysis, wie er an einer deutschen Hochschule im Rahmen des zweiten und teilweise des dritten Semesters durchgenommen wird, mit dem Unterschied, daß wieder das Computeralgebrasystem DERIVE als didaktisches Hilfsmittel eingesetzt wird. Die Analysis-Vorlesung habe ich vom Sommersemester 1992 bis zum Sommersemester 1993 abgehalten, nachdem ich mich im Rahmen eines Forschungsstipendiums der Alexander von Humboldt-Stiftung zusammen mit Robert P. Gilbert (University of Delaware, USA) und Adi Ben-Israel (Rutgers-University, USA) für ein Jahr an der University of Delaware mit der Einbindung von DERIVE in die Mathematikausbildung beschäftigt hatte. Ferner wurde mein Projekt in den Jahren 1990-1992 von der FNK (Ständige Kommission für Forschung und wissenschaftlichen Nachwuchs) der FU Berlin gefördert.
DERIVE vereinigt graphische Fähigkeiten, die der Bearbeitung mit Papier und Bleistift gänzlich versagt bleiben, mit bemerkenswerten numerischen und symbolischen Rechenfähigkeiten, die häufig über die Möglichkeiten einer Handberechnung weit hinausgehen, und ist dabei kinderleicht zu bedienen. Hat man bereits die eindimensionale Analysis mit DERIVE unterrichtet, können sich die Studenten dieser Fähigkeiten nun bereits recht professionell bedienen, was die Verständlichmachung vieler mehrdimensionaler Konzepte sehr erleichtert, ob nun durch dreidimensionale Graphiken, durch numerische oder durch symbolische Rechnungshilfestellungen. Ich habe DERIVE gegenüber anderen Computeralgebrasystemen wie AXIOM, MACSYMA, MAPLE, MATHEMATICA oder REDUCE den Vorzug gegeben, da es auf jedem IBM-kompatiblen PC lauffähig, recht preiswert und dabei besonders benutzerfreundlich ist. Hinzukommt, daß DERIVE nur bescheiden programmierfähig ist, mit dem Vorteil, daß man auch keine Zeit für eine Programmierausbildung verschwenden kann. Ich habe weiterhin die Erfahrung gemacht, daß Studentinnen und Studenten, die erst einmal Erfahrungen mit DERIVE gesammelt haben, dann auch keine oder nur geringe Schwierigkeiten haben, ein anderes Computeralgebrasystem anzuwenden.
In erster Linie ist das Buch für Mathematikstudenten an deutschen Hochschulen gedacht. Es ermöglicht, den kanonischen Stoff durchzunehmen und den Studentinnen und Studenten gleichzeitig die intelligente Benutzung von DERIVE beizubringen. Dabei wurde die Benutzung von DERIVE nicht zum Selbstzweck, sondern als didaktisches Hilfsmittel eingesetzt. Wirklich rechenintensive Problemstellungen sind dann nicht von vornherein aussichtslos.
Die im Buch integrierten DERIVE-Sitzungen habe ich als Dozent mit DERIVE vorgeführt. Dazu genügen im Prinzip Folien mit der Bildschirminformation von DERIVE. Besser ist natürlich ein LCD-Display-Bildschirm, mit dem sich mit Hilfe eines Overheadprojektors der Computerbildschirm an die Wand projizieren läßt. Mit dieser Ausrüstung können die DERIVE-Sitzungen direkt vorgeführt werden.
In der Regel war eine der 5 wöchentlichen Übungsaufgaben zur expliziten Benutzung von DERIVE gedacht. Zur Behandlung der Übungsaufgaben standen meinen Studentinnen und Studenten die PCs des Computer-Labors am Fachbereich Mathematik zur Verfügung.
Im übrigen stellte sich heraus, daß nur sehr wenige Studentinnen und Studenten noch keine Berührung mit Computerprogrammen gehabt hatten und daß den meisten die Arbeit mit DERIVE leicht fiel.
Die Benutzung von Computeralgebraprogrammen wie DERIVE im Mathematikunterricht ist ein hochaktuelles Thema, wie folgende Beispiele zeigen:

In der Zeitschrift Didaktik der Mathematik und in weiteren didaktikorientierten Zeitschriften wird dieses Thema seit einiger Zeit ausgiebig erörtert. Ferner gab es etliche Tagungen zu dieser Fragestellung. Man siehe dazu z. B. die auf S. 191-194 zitierten Arbeiten. Aus der Fülle derartiger Veröffentlichungen habe ich hauptsächlich die deutschsprachigen in meine Liste aufgenommen.
Ab 1994 wird viermal jährlich die Zeitschrift The International DERIVE Journal erscheinen, die sich insbesondere der Einbindung von DERIVE in die mathematische Ausbildung widmen wird. Der Autor dieses Buchs ist ein Mitglied des internationalen Herausgebergremiums.
Das österreichische Unterrichtsministerium hat eine Lizenz von DERIVE für Österreichs Gymnasien erworben, s. [Kutzler].

Daher möchte ich die Lektüre und den Einsatz dieses Buchs auch folgendem Personenkreis wärmstens ans Herz legen:

Gymnasiallehrerinnen und -lehrer, die in ihrem Unterricht mit DERIVE arbeiten wollen und das Buch dazu als zusätzliches Unterrichtsmaterial verwenden, werden vielfältige Anregungen für die Anwendung von DERIVE schöpfen können. Ich empfehle die Vorstellung zum Stoff passender DERIVE-Sitzungen zusammen mit der Bearbeitung der mit dem Symbol versehenen Übungsaufgaben. Einige davon verbinden in ausgezeichneter Weise mathematische Wissensvermittlung mit dem Einsatz von DERIVE.
Besonders interessierte Schülerinnen und Schüler der gymnasialen Oberstufe können mit Hilfe von DERIVE auch ein wenig Luft in der höheren Mathematik schnuppern, und sie werden sogleich ausgebildet in der Benutzung eines Mathematikprogramms, das vielleicht in Kürze bereits die Taschenrechner ablösen wird. Schon jetzt gibt es DERIVE im Westentaschenformat, s. [Kutzler].
Schließlich bietet sich das Buch für die Benutzung in der Mathematikausbildung an Fachhochschulen an. Gerade hier, wo es auf eine praxisnahe Ausbildung ankommt, kommt man an Mathematikprogrammen in der nahen Zukunft nicht vorbei.

Zwar ist das Gesamtniveau des Buchs sowohl für Gymnasien als auch für Fachhochschulen ohne Zweifel zu hoch, wenn man aber die Beweise wegläßt bzw. verkürzt und sich auf die Benutzung von DERIVE konzentriert, kann das Buch gute Hilfe leisten.
Hier seien einige Beispiele möglicher Unterrichtsprojekte aufgeführt, bei denen die Benutzung von DERIVE sehr hilfreich sein kann:

Mehrdimensionale Grenzwerte und stetige Fortsetzung, s. § 1.4.
Extrema von Funktionen zweier Variablen, s. § 2.4.
Polynomapproximation impliziter Funktionen und von Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen, s. § 3.1, §4.1, §4.3 sowie [Koepf2].
Iteration und Fixpunkte, s. § 3.2-§3.3.
Graphische Darstellung zweidimensionaler Kurven und Berechnung von Kurvenlängen, s. Kapitel 5.
Anwendung des Transformationssatzes mehrdimensionaler Integrale, s. § 6.4.

Nun ein paar Worte zur Gestaltung des vorliegenden Buchs:

Für Dezimaldarstellungen verwende ich den Dezimalpunkt statt des Dezimalkommas, zum einen, um eine mit Taschenrechner- oder Computerausgaben verträgliche Darstellung zu gewährleisten, zum anderen, um Verwechslungen bei Vektoren vorzubeugen.
Die Graphiken wurden mit dem Computeralgebrasystem MATHEMATICA erzeugt und die generierten POSTSCRIPT-Versionen habe ich noch einer programmiertechnischen Verfeinerung unterzogen.
Übungsaufgaben, die besonders wichtig für das Verständnis des behandelten Stoffs sind und im weiteren verwendet werden, sollten von jeder/m Lernenden bearbeitet werden und sind durch das Symbol gekennzeichnet.
Besonders schwierige oder technische Übungsaufgaben sind mit einem Stern () gekennzeichnet. Sie sind nur beim Einsatz des Buchs an Hochschulen gedacht.
Übungsaufgaben, die für Handberechnung zu langwierig erscheinen, tragen das Symbol und sollten mit DERIVE bearbeitet werden. Ich ermuntere ausdrücklich dazu, auch andere Übungsaufgaben - sofern nicht explizit anders gefordert - unter Zuhilfenahme von DERIVE zu lösen. Auch - oder gerade -, wenn die Lösung mit DERIVE nicht immer auf Anhieb gelingen wird, ist der Lerneffekt groß: Bei der Bearbeitung jeder Übungsaufgabe lernt der Schüler oder Student sowohl einen mathematischen Sachverhalt als auch etwas Neues zur Bedienung von DERIVE dazu.
Englische Übersetzungen wichtiger mathematischer Fachausdrücke sind als Fußnoten angegeben, da Fachliteratur heutzutage meist auch von deutschen Autoren auf Englisch geschrieben wird. Zudem tragen alle DERIVE Menüs und Funktionen englische Namen.
Gleichungen, auf die verwiesen wird, sind durchnumeriert und rechts mit einer Gleichungsnummer versehen. Tritt eine Gleichungsnummer links auf, so handelt es sich um eine Gleichung, die bereits früher vorkam und zur Erinnerung noch einmal aufgeschrieben wurde.
Das Ende von Beispielen, Definitionen usw. wird durch das -Zeichen angegeben, falls es nicht mit dem Beginn eines neuen Beispiels, einer neuen Definition usw. zusammenfällt. Das Ende eines Beweises ist durch das -Zeichen gekennzeichnet.
Die Ausgaben von DERIVE sind teilweise versionsabhängig und ebenso von einigen Einstellungen abhängig. In diesem Licht müssen die angegebenen Ausgaben betrachtet werden. Sie können nicht unbedingt genau so reproduziert werden. Ich habe, sofern nicht anders angegeben, grundsätzlich die Standardeinstellung bei der Version 2.58 verwendet.
Gegen Überweisung von 20 DM (Wolfram Koepf, Postbank Berlin, Bankleitzahl 100 100 10, Kontonummer 40 26 21 - 109, Verwendungszweck: Diskette ,,Höhere Analysis'', 5.25 oder 3.5 Zoll, mit vollständiger Adresse) kann beim Autor wieder eine Diskette bestellt werden, die alle DERIVE-Sitzungen sowie die mit DERIVE bearbeiteten Übungsaufgaben enthält.

Ich möchte mich an dieser Stelle bei allen recht herzlich bedanken, die bei der Durchführung des vorliegenden Buchprojekts mitgewirkt bzw. sie ermöglicht haben. Insbesondere bedanke ich mich bei der Alexander von Humboldt-Stiftung für das zur Verfügung gestellte Feodor-Lynen-Forschungsstipendium, bei der FU Berlin für die Förderung meines Forschungsprojekts Symbolische Programmierung sowie beim Fachbereich Mathematik der Freien Universität Berlin für die Zuweisung eines Forschungstutors.

Berlin, am 10. Dezember 1993, Wolfram Koepf

Wolfram Koepf
Wed Aug 25 12:13:14 MET DST 1999