Die Anordnung der reellen Zahlen

Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 2003 / 4

Wenn Sie sich die reellen Zahlen als Punkte auf einer Zahlengerade vorstellen, ist es sinnvoll erst einmal zwei Stellen zu fixieren für Null und Eins:

Ist dann  a ∈  ℝ und  a ≠ 0 , so liegt  a  rechts bzw. links von Null auf der Zahlengerade.  –a  liegt in jedem Fall auf der jeweils anderen Seite.

Liegen  a, b ∈  ℝ  rechts von Null, so auch ihre Summe  a + b  und ihr Produkt  a · b .

a · b  können Sie sich als Maßzahl des Flächeninhaltes eines Rechteckes mit den Seiten der Längen  a  und  b  vorstellen.
Wenn Sie sich eine reelle Zahl  a  denken, dann können Sie beim "Durchlaufen" der natürlichen Zahlen auf dem Zahlenstrahl immer eine natürliche Zahl  n  finden, die rechts von  a  liegt:

Statt  a  liegt rechts von Null, wird die Schreibweise  a > 0  gebraucht; gelesen  a  ist größer Null, bzw.  a  ist positiv.

Anordnungsaxiome der reellen  Zahlen

Die eben geschilderten anschaulichen Vorstellungen werden in den folgenden Axiomen über die Anordnung von reellen Zahlen zusammen gefasst:

A 1	Für jede reelle Zahl  a  gilt genau eine der drei Beziehungen:
		a > 0, a = 0, -a > 0 .
	
A 2	Sind  a, b > 0 , so gilt auch  a + b > 0  und   a·b>0 .

A 3	Das Archimedisches Axiom:
	Zu jedem  a ∈  ℝ  gibt es ein  n ∈ ℕ  mit  n - a > 0 .

In A 1 – A 3 wird nur die Relation "größer als Null" benutzt. Das ist insbesondere bei A 3 etwas umständlich.

Die Menge der positiven reellen Zahlen, also der Zahlen größer als Null, wird häufig mit  \(TraditionalForm\`\(ℝ\^+\)\) bezeichnet. Falls  –a  positiv ist, dann heißt  a  negativ.

Neben der Eigenschaft positiv zu sein werden auch die Größer-Relation  ">", die Kleiner-Relation  "<", die Größer-Gleich-Relation  "≥"  und die Kleiner-Gleich-Relation  "≤"  benutzt, die jetzt definiert werden.

(i)	a > b  ,  falls	a – b > 0 ,		 	a  ist größer als  b ,
(ii)	b < a  ,	 falls	a > b ,				b  ist kleiner als  a , 
(iii)	a ≥ b  ,	 falls	a > b  oder  a = b ,		    a  ist größer oder gleich  b ,
(iv)	a ≤ b  ,	 falls	a < b  oder  a = b ,	 	 a  ist kleiner oder gleich  b .

Bemerkung: "Falls" wird hier in der Bedeutung von "genau dann wenn" benutzt!

Aus den Axiomen A 1 und A 2 folgen 

Regeln für das Rechnen mit Ungleichungen: 

Es seien  a, b, 
      c, α, β  ∈  ℝ .

1.	Aus  a > b  und  b > c  folgt  a > c ,  also die Transitivität von " > ".
2.	Aus  a > b  folgen
2.1	a + c > b + c ,	   für alle  c ∈ ℝ,
2.2	a · c > b · c ,		   für  c > 0 ,
2.3	a · c < b · c ,		   für  c < 0 ,
2.4	(1/a)<(1/b),		 für  b > 0 .

Beweis zu 1:
Nach (i) folgt aus  a > b  und  a > c  direkt  a – b > 0  und  b – c > 0, also nach A 2 a + c = (a - b) + (b - c) > 0 , 
d.h.  a > c  nach (i) .

Beweis zu 2.1:
a > b  bedeutet nach (i)  a – b > 0, also ist auch  (a + c) - (b + c) > 0 , was nach (i)  a + c > b + c  ergibt.

Beweis zu 2.2:
Mit A 2 folgt aus  a – b > 0  für  c > 0  auch  (a - b)·c > 0 , d.h.  a·c –  b·c > 0 ,  also  a·c > b·c nach (i).
Beweis zu 2.3 analog.

Beweis zu 2.4:
Nach A 2 ist mit  a > b > 0  auch  a·b > 0 .
Wäre nun zuerst (1/a)>(1/b), so würde mit 2.2 durch Multiplikation mit  a·b  folgen  b=((a·b)/a)>((a·b)/b)=a . 
Das ist ein Widerspruch. 
Zweitens folgt aber aus (1/a)=(1/b) auch  a = b , also ebenfalls ein Widerspruch.

3.	Aus 	a > b  und   α > β folgen:
3.1		a + α > b + β ,
3.2		a·α > b·β ,  falls  b, β > 0 . 

Beweis für 3.1:
Aus  a > b  folgt mit 2.1 a + α > b + α . Aus  α > β folgt mit 2.1 α + b > β + b .
Mit der Transitivität von  ">"  folgt  a + α > 
          b + α =  α + b > β + b = b + β . 
Der Beweis für 3.2 verläuft analog.

4.	Für  a ≠ 0  gilt  (a^2) > 0 .

Beweis: 
Ist  a > 0 , so folgt  (a^2) > 0  mit  A 2. Ist  –a > 0 ,  so folgt  (a^2) = (-a )·(-a) > 
          0 analog.

4.1	Aus 4. folgt  1 = 1 · 1 > 0 ,  da  1 ≠ 0  und mit A 2 dann auch  –1 < 0 .

4.2	Für  a > 0  gilt  (1/a)>0 .

Beweis: 
Nach 4. ist  (a^2) > 0 . Wäre  (1/a)=0 ,  so wäre auch  a= (a^2)·(1/a)=0  im Widerspruch zur Voraussetzung  a > 0 .
Wäre 0 > (1/a) , so würde mit 2.2   0>(1/a)·(a^2)=a gelten, ebenfalls ein Widerspruch. Also bleibt nach A 1 nur  (1/a)>0 übrig.

5.	Es seien   a, b, x ∈  ℝ  mit  b, x > 0.

	Dann gilt  ((a  -  x)/b)<(a/b)<((a  +  x)/b) .

Beweis:
Aus  x > 0  folgt mit 2.1  a < a + x und mit 2.4  (a/b) <((a  +  x)/b).

Wird nun  a  durch  a – x  ersetzt, so folgt  ((a  -  x)/b)<(((a  -  x)  +  x)/b) =(a/b).

6.	Es seien  a, b, x > 0 . 
	Dann gilt  (a/(b  +  x))<(a/b) und falls noch  x<b  ist, gilt auch  (a/b)<(a/(b  -  x)).

Beweis:

		({{0, <, x,  }, {b, <, b+x,                 2.1}, {(1/(b + x)), <, (1/b),                 2.4}, {(a/(b + x)), <, (a/b),                 2.2}})
	
Damit ist der erste Teil bewiesen. 
Der zweite folgt wieder durch Ersetzung von  b  durch  b – x :
	(a/b)=(a/((b  -  x)  +  x))<(a/(b  -  x)) .

Warum sind Ungleichungen in der Analysis so wichtig?

Es können mit ihnen Gleichungen bewiesen werden!

Der einfache Fall ist: Es sei  a ≤ b  und  b ≤ a . Dann ist  a = b .

Der wichtige Fall ist:  
a  und  b  "unterscheiden sich um beliebig wenig". Dann ist  a = b . 

Doch was heißt "unterscheiden sich beliebig wenig"? Es heißt: Der Betrag der Differenz von  a  und  b  ist kleiner als jede positive Zahl  c .

Beweis:
1. Fall: a = b . Fertig! 2. Fall: a ≠ b . O.B.d.A. sei  a > b . Es gelte also für jedes  c > 0 , dass  a - b < c  und damit auch  0 < a - b < c . 
Wenn das für jedes c > 0 gilt, dann gilt es insbesondere für  (Subscript[c, 1]):=((a - b)/2) , was nach A 2 und 2.4 auch positiv ist. Damit folgt 0 < a - b < (Subscript[c, 1])=((a - b)/2) , und nach Multiplikation mit (1/(a - b))(> 0 , da a - b > 0 ) , dass (1/2)> 1 , also ein Widerspruch.