1.1  Zur Quadratur des Kreises – eine Berechnung von π

Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 2003 / 4

1.1.1 Einige Presseartikel zu π

Frankfurter Rundschau, Frankfurt, 5. 8. 95

Pi mal Daumen

TOKIO, 4. August (ap). Zwei japanische Mathematiker haben am Freitag einen neuen Weltrekord für die Berechnung der Zahl π bekanntgegeben. Wie Yasumasa Kanada und Daisuke Takahashi von der Universität Tokio erklärten, berechneten sie die Zahl, die das Verhältnis des Kreisumfangs zum Durchmesser angibt, auf 3,22 Milliarden Dezimalstellen genau. Wissenschaftler der US-amerikanischen Columbia-Universität hielten den alten Rekord mit 2,26 Milliarden Stellen.

Professor Kaneda sagte, seine Gruppe habe einen Großcomputer benutzt, um zwei verschiedene Formeln durchrechnen zu lassen. Für die erste habe der Rechner 36 Stunden und 52 Minuten gebraucht, für die andere 53 Stunden und 43 Minuten. Mathematiker sind der Meinung, daß Pi unzählig viele Dezimalstellen hat. Die präzise Berechnung der Kreiszahl hat keinerlei praktischen Wert.


Scientists find even more pi   

Siehe auch: Mathematik im Internet: π

Extra Tip, Kassel, 24. 9 1992

Zahl Pi falsch

Hermann Wahler ist Rentner. Sein Hobby: Mathematik. Besonders angetan hat's ihm der Rauminhalt des Kreises. Der wird über den Radius und die Zahl Pi berechnet. "Ich habe das nachgerechnet, über das Dreieck", sagt Wahler. Ergebnis: Die Zahl Pi kann so nicht stimmen. Hat er sich verrechnet oder die Mathe-Professoren? Lesen Sie mehr auf Seite 6.

Seite 6:

Zahl Pi neu berechnet!

Drückt man beim Taschenrechner auf die Taste "", erscheint der Wert 3,14159. damit errechnet man den Rauminhalt des Kreises, bisher. "Diese Zahl Pi ist falsch", meint Hermann Wahler aus Kaufungen.* "Nach meinen Berechnungen ist diese Zahl kleiner als 3,14!" Wie er drauf kommt? Er berechnet Pi nicht über das Quadrat, sondern übers Dreieck. Normalerweise wird die Zahl Pi über die Quadratur des Kreises berechnet. Ein Quadrat, dessen Ecken die Innenflächen des Kreises berühren; ein Quadrat, dessen Linien die Außenpunkte des Kreises berühren.

Eine Formel dazu, und raus kommt die Zahl Pi: 3,14159.

Doch Wahler gibt sich damit nicht zufrieden. Sein Trick: Er zieht ein Vieleck innerhalb des Kreises. Je mehr Ecken den Kreis berühren, desto genauer spiegelt dieses Vieleck, den Rauminhalt des Kreises wieder.

Das Vieleck unterteilt den Kreis in viele Dreiecke plus die Summe der Kreisabschnitte. Wahlers Ergebnis: Die Zahl Pi ist kleiner als 3,14. denn beim 600-Eck liegt sie bei 3.139999998, beim 6000-Eck bei 3,139999976 und beim 60.000-Eck bei 3,13999981.
Hermann Wahler: "Je mehr Ecken ich berechne, desto genauer wird die endgültige Zahl Pi. Sicher schon jetzt: Die Zahl, die sich bei den bisherigen Berechnungen ergibt, kann so nicht stimmen."

Stimmt seine Rechnung? "Ich glaube schon, doch ich hoffe, daß das jemand auf einem Großrechner nachrechnet", meint Wahler. Denn er selber hat nur einen Taschenrechner zur Verfügung. Es könnte sein, daß ein Rundungsfehler innerhalb seiner komplizierten Berechnung die Zahl Pi verändert.
"Die ganze Geschichte der Zahl habe ich verfolgt, es wurde immer um den Rauminhalt des Kreises gestritten", meint Wahler. Bis eben jemand die Formel mit Quadratur des Kreises herausfand, doch der Kaufunger gibt sich damit nicht zufrieden.

*Name und Ort geändert

Kurhessische Landeszeitung, Kassel, 7. 3. 1934

Eine sensationelle Veröffentlichung des K.f.d.K., Landesleitung Kurhessen:

Quadratur des Kreises entdeckt

Ein epochales Forschungsergebnis von unschätzbarer Bedeutung - Der Musikforscher Willi Oberle, Kassel, löst ein Jahrhundert altes Problem. Der Konstruktion des Ton-Prismas entgegen.
Durch die "Kurhessische Landeszeitung" gibt der Landesleiter des Kampfbundes für deutsche Kultur, Max Köhler, der Öffentlichkeit folgendes Forschungsergebnis von Willi Oberle, Kassel-Niederzwehren, bekannt, das besagt, daß dieser durch die Musikgeometrie zur Lösung der Quadratur des Kreises gelangt ist:

"Dem Musikforscher Willi Oberle in Kassel-Niederzwehren, früher in Baden-Baden, Mitarbeiter des Kampfbundes für deutsche Kultur, Landesleitung Kurhessen, ist es gelungen, aus den Ergebnissen seiner Forschungen auf dem Gebiete der Musikgeometrie die Quadratur des Kreises aufzudecken. [ ... ]

Der Weg zur Lösung

Daß in seinen Konstruktionen die Quadratur des Kreises verborgen sein könne, vermutete Oberle schon seit 1927. Die vielen anderen Probleme, wie das Kristallisationsphänomen, das Schwingungsproblem (Urschwingungen), die Architektonik der Zukunft, das Rassenproblem (Chromosomen = Ariogermanischer Urtyp), das Urwort (Runen, äyptische und griechische Inschriften), in erster Linie das Tonprisma erschienen Oberle aber weit wichtiger als die Quadratur des Kreises, denn er erkannte, daß die Lösung der genannten Probleme aus seiner Musikgeometrie so gut wie gewiß ist. Erst seit Oberle Mitarbeiter des Kurhessischen Kampfbundes für deutsche Kultur geworden war und durch ihn neuen Schaffensimpuls erhielt, wurde sein Interesse für das Problem der Quadratur des Kreises wach.
Mit größter Intensität widmete sich dann Oberle der Aufgabe, das Problem aus seinen Konstruktionen aufzudecken. Daß es sich nur um seine Aufdeckung handelt, ist ausdrücklich zu betonen, weil die Quadratur des Kreises, wie gesagt, seit 1927 in den Konstruktionen Oberles bis 1933 einen Dornröschenschlaf hielt. [ ... ]

Wir beschränken uns hier zunächst auf die Verkündigung der gefundenen Grundresultate:

"Der absolute Inhalt eines jeden Kreises ist gleich dem Quadrat über der Hypothenuse des rechtwinckligen Dreiecks, dessen eine Kathede die größte Seite des Oberleschen Trapezes darstellt, und dessen kleine Kathede gleich der Entfernung vom Kreismittelpunkt bis zum Schnittpunkte der beiden Diagonalen des das Trapez umschließenden Kreises ist. Die beiden genannten Diagonalen schneiden sich im goldenen Schnitt und zugleich im rechten Winkel. Die kleinste Seite des Trapezes ist gleich dem Radius des Kreises (Pythagoräischer Lehrsatz!)".

Forschungserfolg von unaussprechlicher Bedeutung
Die Bedeutung der Entdeckung der Quadratur des Kreises läßt sich erst daran ermessen, daß sich die Menschheit seit Jahrhunderten mit diesem Problem beschäftigt hatte, ohne zu einer Lösung zu kommen. [ ... ] 

1.1.2 Näherungsweise Berechnung von  π

Archimedes' Approximation of Pi

Approximation des 
Kreises durch reguläre Polygone nach Archimedes  (–287 (?)  ––  –212 )

ARCHIMEDES approximierte einen Kreis von innen und außen erst durch ein 6-Eck, dann durch je ein  12-Eck, 24-, 48- und 96-Eck.

Der Umfang des einbeschriebenen 6-Ecks ist beim Einheitskreis (also dem Kreis mit Radius eins) 6. Damit ist 3 die erste Näherung von π (wie auch in der Bibel: 1. Könige, 7. 23).

ARCHIMEDES verdoppelte bei jedem Schritt die Anzahl der Ecken der Polygone, bzw. halbierte die Mittelpunktswinkel. Wenn Sie eine Näherung kennen, können Sie verstehen, wie die nächste berechnet wird.

Sechseck

Zwölfeck

24-Eck

48-Eck

Sei also (Subscript[s, n]) eine schon berechnete Seitenlänge eines einbeschriebenen n-Ecks.

Mit PYTHAGORAS folgt (grünes bzw. graues Dreieck)
(Subscript[σ, n])=(Sqrt[1 - (((((Subscript[s, n])/2)))^2)])
und damit (blaues bzw. schwarzes Dreieck)
(Subscript[s, 2  n]^2)= (((((Subscript[s, n])/2)))^(2 ))+ (((1 - (Subscript[σ, n])))^2) =  (((((Subscript[s, n])/2)))^(2 )) + (((1-(Sqrt[1-(((((Subscript[s, n])/2)))^(2 ))])))^2)
=  (((((Subscript[s, n])/2)))^(2 )) + 1 – 2(Sqrt[1-(((((Subscript[s, n])/2)))^(2 ))]) +  (1-(((((Subscript[s, n])/2)))^(2 )))
= 2 – 2(Sqrt[1-(((((Subscript[s, n])/2)))^(2 ))])
d.h.
(1)	(Subscript[s, 2  n]) = (Sqrt[2 - (Sqrt[4 - (Subscript[s, n]^2)])]) .

Sie rechnen mit der Formel (a - b) (a + b)  =  (a^2) - (b^2) leicht nach, dass gilt

(Sqrt[2 - (Sqrt[4 - (Subscript[s, n]^2)])]) · (Sqrt[2 + (Sqrt[4 - (Subscript[s, n]^2)])]) = (Subscript[s, n]) .

Also ist auch
(2) 	(Subscript[s, 2  n])  =  
        ((Subscript[s, n])/(Sqrt[2  +  (Sqrt[4  -  (Subscript[s, n]^2)])])) ,
eine Formel, die bei manchen nummerischen Rechnungen zweckmäßiger ist.
(Subscript[E, n]) := n·(Subscript[s, n]) ergibt eine Näherung für den Umfang des Kreises, also  2 π .
Für den Umfang des 2n-Ecks ergibt sich
(3)	(Subscript[E, 2  n]) := 2  n·(Subscript[s, 2  n]) = 2n (Sqrt[2 - (Sqrt[4 - (Subscript[s, n]^2)])]) = \(TraditionalForm\`\(2  n\ s\_n\)\/\@\(2\  + \ \@\(4\  - \ s\_n\%2\)\)\) = \(TraditionalForm\`\(2\ E\_n\)\/\@\(2\  + \ \@\(4\  - \ s\_n\%2\)\)\) .
Nun ist (Sqrt[4 - (Subscript[s, n]^2)])< (Sqrt[4]) = 2 ,
also (Sqrt[2 + (Sqrt[4 - (Subscript[s, n]^2)])])< (Sqrt[2 + (Sqrt[4])])=(Sqrt[4])= 2 ,
d.h.
(4)	(Subscript[E, 2  n]) = \(TraditionalForm\`\(2\ E\_n\)\/\@\(2\  + \ \@\(4\  - \ s\_n\%2\)\)\) > (Subscript[E, n]) ,
was anschaulich ja auch einsichtig ist.

Ähnliche Überlegungen lassen die Berechnung der Umfänge der umbeschriebenen Polygone zu. Der Umfang des umbeschriebenen 6-Ecks ist  4·(Sqrt[3]) . Rechnen Sie das bitte nach!

Es sei nun  (Subscript[t, n])  eine schon berechnete Seitenlänge eines umbeschriebenen n-Ecks.

Wieder folgt bei einer Halbierung des Winkels mit PYTHAGORAS (grünes bzw. graues Dreieck)
(((1 + (Subscript[τ, n])))^2) = 1 + (((((Subscript[t, n])/2)))^2) ,
d.h.
(Subscript[τ, n ])= (Sqrt[1 + (((((Subscript[t, n])/2)))^2)]) – 1 ,
und damit (blaues bzw. schwarzes Dreieck und weiße Dreiecke)

(5)	(((((Subscript[t, n])/2) - ((Subscript[t, 2  n])/2)))^2) = (((((Subscript[t, 2  n])/2)))^2)+ (Subscript[τ, n]^2) =  (((((Subscript[t, 2  n])/2)))^2) + ((((Sqrt[1 + (((((Subscript[t, n])/2)))^2)]) - 1))^2) .
Für die folgende Zwischenrechnung seien  a := ((Subscript[t, n])/2)  und  x := ((Subscript[t, 2  n])/2)  gesetzt.

Damit ergibt sich für (5)

(((a - x))^2) = (x^2) + ((((Sqrt[1 + (a^2)]) -  1))^2) ,

und diese Gleichung ist nach  x  aufzulösen. Es folgt

(a^2) –2 a x + (x^2)= (x^2) + ((1 + (a^2)) - 2 (Sqrt[ 1 + (a^2)]) + 
            1) ,  also –2 a x = 2 – 2 (Sqrt[ 1 + (a^2)]) ,

d.h. 2 x = \(TraditionalForm\`\(2\ \@\(1 + \ \((t\_n\/2)\)\^2\) - \ 2\)\/\(t\_n\/2\)\)= ((2 (Sqrt[ 4   +   (Subscript[t, n]^2)]))/(Subscript[t, n]))–(4/(Subscript[t, n])) , also  (Subscript[t, 2  n])= ((2 (Sqrt[ 4   +   (Subscript[t, n]^2)])  -  4)/(Subscript[t, n])) ,
was sich wie oben zu

(6)         (Subscript[t, 2  n])= ((2 (Subscript[t, n]))/(2  +  (Sqrt[4  +  (Subscript[t, n]^2)])))             
umrechnen läßt.

Der Umfang (Subscript[U, n]) des umschriebenen n-Ecks ist gleich  n (Subscript[t, n]) , d.h.

(Subscript[U, 2  n]) = 2  n (Subscript[t, 2  n]) = \(TraditionalForm\`\(4  n\ t\_n\)\/\(2\  + \ \@\(4\  + \ t\_n\%2\)\)\) = ((4  (Subscript[U, n]))/(2  +  (Sqrt[4  +  (Subscript[t, n]^2)]))) < (4/4)(Subscript[U, n]) ,
also
(7)	 (Subscript[U, 2  n]) < (Subscript[U, n]) .
Auch dieses ist anschaulich klar. Mit den Rekursionsformeln (1) und (6) ergibt sich die folgende Tabelle


({{n
, (((Subscript[E, n]))/2), (((Subscript[E, n]))/2.), (((Subscript[U, n]))/2.)}, {6, 3, 3., 3.4641}, {12, 6 (Sqrt[ 2 - (Sqrt[3])]), 3.1058285423, 3.2153903091}, {24, 12 (Sqrt[ 2 - (Sqrt[2 + (Sqrt[3])])]), 3.1326286132, 3.1596599421}, {48, 24 (Sqrt[ 2 - (Sqrt[2 + (Sqrt[2 + (Sqrt[3])])])]), 3.139352030, 3.1460862151}, {96, 48 (Sqrt[ 2 - (Sqrt[2 + (Sqrt[2 + (Sqrt[2 + (Sqrt[3])])])])]), 3.1410319508,  3.1427145999}})

Mit Mathematica ergibt sich

N[ 48 (Sqrt[ 2 - (Sqrt[2 + (Sqrt[2 + (Sqrt[2 + (Sqrt[3])])])])]), 17 ]

Im Folgenden sei   M := { m ∈ ℕ | m = 6·(2^k),  
      k  ∈  (Subscript[ℕ, 0])} und   n ∈ M .
Das Verhältnis von  (Subscript[U, n])  zu  (Subscript[E, n])  läßt sich mit Hilfe folgender Figur und des Strahlensatzes berechnen:

Wie oben folgt  (Subscript[ρ, n])=(Sqrt[1 - (((((Subscript[s, n])/2)))^2)])  und damit

( 9 )       (Subscript[t, n]) = \(TraditionalForm\`\(2  s\_n\)\/\@\(\(4\)\(\ \)\(-\)\(\ \)\(s\_n\%2\)\(\ \)\)\).

Dies ergibt mit  (Subscript[U, n]) = n·(Subscript[t, n]) und  (Subscript[E, n]) =  n·(Subscript[s, n]) 

(10)	     (Subscript[U, n]) = \(TraditionalForm\`\(2  E\_n\)\/\@\(\(4\)\(\ \ \)\(-\)\(\ \ \)\(s\_n\%2\)\(\ \)\)\)  bzw.  (Subscript[E, n])= \(TraditionalForm\`\(\(U\_\(\(n\)\(\ \)\)\) \@\(\(4\)\(\ \)\(-\)\(\ \)\(s\_n\%2\)\(\ \)\)\)\/2\) 
und daraus folgt
(11) 		(Subscript[E, n]) < (Subscript[U, n]) .

Die letzte Ungleichung ist anschaulich wieder trivial, doch die Gleichungen (10) helfen, um die Differenz (locker) abzuschätzen:

( (Subscript[U, n]) - 
          (Subscript[E, n])  )( (Subscript[U, n]) + 
          (Subscript[E, n]) ) =  (Subscript[U, n]^2) – (Subscript[E, n]^2) = (Subscript[E, n]^2)\(TraditionalForm\`\((\ 4\/\(4\  - \ s\_n\%2\)\  - \ 1\ )\)\) = (Subscript[E, n]^2) \(TraditionalForm\`\((\ \(4\  - \ \((4\  - \ s\_n\%2)\)\)\/\(4\  - \ s\_n\%2\)\ )\)\) = (Subscript[E, n]^2)((Subscript[s, n]^2)/(4  -  (Subscript[s, n]^2))) ≤ (((Subscript[E, n]^2) (Subscript[s, n]^2))/3),

da 4 - (Subscript[s, n]^2) ≥ 3, und damit folgt

( 12 ) 	(Subscript[U, n])-(Subscript[E, n]) ≤ \(TraditionalForm\`\(E\_n\%2\ s\_n\%2\)\/\(3 \((U\_\(\(n\)\(\ \)\) + \ E\_n)\)\)\) ≤  \(TraditionalForm\`\(E\_n\%2\ s\_n\%2\)\/\(3\ ·\ 2  E\_n\)\) ≤ (((Subscript[E, n ]) (Subscript[s, n]^2))/6) ≤ (((Subscript[U, n ]) (Subscript[s, n]^2))/6) ≤ (((Subscript[U, 6 ]) (Subscript[s, n]^2))/6) = ((4 (Sqrt[ 3]))/6) (Subscript[s, n]^2) = (2/(Sqrt[3])) (Subscript[s, n]^2) . 
                                          
Weiterhin folgt aus den vorigen Bemerkungen  4 (Sqrt[ 3]) = (Subscript[U, 6]) ≥ (Subscript[U, n]) >  (Subscript[E, n])= n ·(Subscript[s, n]) und damit

(Subscript[s, n]) < ((4 (Sqrt[ 3]))/n) bzw. (Subscript[s, n]^2) < (48/(n^2)) ;

also gilt
(13)	(Subscript[U, n]) - (Subscript[E, n]) < (96/((n^2) (Sqrt[3])))= ((32 (Sqrt[3]))/(n^2))< (64/(n^2)) .

Mit dieser Abschätzung werden wir uns später noch beschäftigen.
In dem Buch von Hischer/Scheid steht auf Seite 22 bzgl. der Rekursionsformeln zu  En  und  Un :
Rechnet man mit einem achtstelligen Taschenrechner, dann bleibt der Algorithmus nach dem 13. Schritt bei  n = 24576  "stehen" und liefert  E24576 = 6,2831852  und  U24576 = 6,2831854, so daß man stellengenau  π =3,1415927 erhält.

Aufgabe: Rechnen Sie mit Ihrem Taschenrechner bis zum 13. Schritt  En  aus und zwar nach den beiden Formeln (1) und (2). Schreiben Sie alle von Ihnen berechneten Zwischenwerte in eine Tabelle.

Zum Schluß dieses Abschnittes die ersten 999 Nachkommastellen von  π :

N[π, 1000]

NumberForm[ N[π, 1030], DigitBlock -> 3 , 
      NumberSeparator -> " "]