1.2 Folgen

Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 2003 / 4

Bei der Berechnung von  π  betrachtete ARCHIMEDES regelmäßige n-Ecke mit  6, 12, 24, 48, 96  Ecken, also mit 6·(2^0),  6·(2^1), 6·(2^2), 6·(2^3), 6·(2^4) Ecken. Die Seitenlängen bei den Schneeflockenkurven waren  a, a/3, a/9, ... , d.h.  a·(3^(-0)), a·(3^(-1)), a·(3^(-2)), a·(3^(-3)), a·(3^(-4)), ... .  In beiden Fällen lassen sich die Werte allgemein so darstellen: c · (q^n) , wobei  c, q ∈ ℝ und  n ∈ ℕ , der Menge der natürlichen Zahlen.

Wie sehen  c  und  q  in den beiden Beispielen jeweils aus? Die obigen Beobachtungen und viele ähnliche führen zu der grundlegenden

Definition 1.2.1: 
FOLGE
Es sei  a : ℕ  → ℝ  eine Abbildung. Dann heißt  a  REELLE FOLGE.  a(n)  heißt das n-te FOLGENGLIED. Dafür ist die kürzere Schreibweise  (Subscript[a, n])  gebräuchlich. Statt a : ℕ → ℝ  finden Sie in der Literatur u.a. folgende Schreibweisen:
	\(TraditionalForm\`⟨a\_n⟩\_\(n ∈ ℕ\)\) , ⟨(Subscript[a, n])⟩ , ((Subscript[a, n])) , ( \(TraditionalForm\`\(\(a\_1\)\(,\)\(\ \)\(a\_2\)\(,\)\(\ \)\(a\_3\)\(,\)\(\ \)\(a\_4\)\(,\)\(\ \)\(...\)\(\ \)\)\)) .
Manchmal wird auch von unendlichen Folgen gesprochen. Ebenso heißt es oft nur Folge statt reelle Folge.

Definition 1.2.2: 
GEOMETRISCHE FOLGE
Es seien  c,  q  ∈  ℝ . Die Folge  g  mit  (Subscript[g, n]) := c · (q^n) heißt GEOMETRISCHE FOLGE.

Ist  q = 0 , so ist die geometrische Folge  (c · (q^n))  konstant:  (0, 0, 0, ...) .
Ist  q = 1, so ist die geometrische Folge  (c · (q^n))  auch konstant:  (c, c, c, ...) .
Ist  q = –1  und  c ≠ 0,  so alterniert die geometrische Folge:  (–c, +c,  –c, +c, ...) .
Das Verhalten für  c ≠ 0,  und  | q | < 1  bzw. | q | > 1  werden wir später genauer untersuchen.
Vorläufig sollen nur drei Grafiken einen ersten Eindruck von diesen Folgen vermitteln.

In den folgenden Beispielen ist  c = 1 .
 Zuerst ist  q = 1.014 :

Jetzt ist q = – 0.9 :

Schließlich sind in einer Grafik die Anfangsstücke dreier geometrischer Folgen eingezeichnet. Die Werte für  q  sind: 0.99, 0.9, 0.5 .

Eine andere, nicht sehr anschauliche Darstellungsart bieten Tabellen, etwa für c = 1 und  q = 0.5 : 

({{n,        1      ,        2       , \(\(\ \ \ \ \ \)\(3\)\(\ \ \ \ \ \)\), 4, 5, 6}, {(q^n), 0.5, 0.25,   0.125  , \(\(\ \ \)\(0.0625\)\(\ \)\),  0.03125,   0.015625}})

In Tests finden sich häufig Fragen folgender Art: Finden Sie das nächste Glied der "Folge" 
		1, 1, 2, 3, 5 ?
Eine derartige Fragestellung ist zumindest mißverständlich! Gemeint ist nämlich: Können Sie ein Bildungsgesetz der "Folge" erkennen, und wenn ja, bestimmen Sie dazu das nächste Glied der "Folge".
Bei der eben angegebenen "Folge" (also den fünf Zahlen) lassen sich aber mindestens zwei völlig unterschiedliche Bildungsgesetze angeben:
1. Die "Folge" beginnt mit zwei Einsen und dann folgen die Primzahlen. Danach wäre das nächste "Folgenglied" 7 .
2. Die "Folge" beginnt mit zwei Einsen und jedes folgende Glied ist die Summe der beiden vorhergehenden. Also ist das nächste "Folgenglied" 8 .

Also: Vorsicht bei derartigen Aufgaben !!!

Folgen sind unendliche Mengen! Meistens können nur endlich viele Elemente einer unendlichen Menge dargestellt werden. Trotzdem soll es versucht werden.

Beispiele für Folgen:
			( (Subscript[a, n]) ) := \(TraditionalForm\`\((\ 1\/n\ )\)\)\(TraditionalForm\`\(\(\)\()\)\)\)

( (Subscript[a, n]) ) := \(TraditionalForm\`\((\ \((\(-1\))\)\^n\/n\ )\)\)\(TraditionalForm\`\(\(\)\()\)\)\)

( (Subscript[a, n]) ) := ( ((1  +  (((-1))^n))/n) )\(TraditionalForm\`\(\(\)\()\)\)\)

Bei dieser Folge ist eine zweite Darstellungsart sinnvoll: Die Funktionswerte werden durch Strecken verbunden. Zu beachten ist: Nur die Punkte bilden eine Teilmenge des Graphen der Folge, nicht die Strecken, denn etwa für 1.5 ist  a(1.5)  ja gar nicht definiert.

( (Subscript[a, n]) ) := (  (((-1))^n) 
          (n/(n + 10)) )\(TraditionalForm\`\(\(\)\()\)\)\)

( (Subscript[a, n]) ) := \(TraditionalForm\`\((\ \ \ \((1 + 1\/n)\)\^10\ \ )\)\)\(TraditionalForm\`\(\(\)\()\)\)\)

( (Subscript[a, n]) ) := \(TraditionalForm\`\((\ \ \ \((1 + 1\/n)\)\^n\ \ )\)\)\(TraditionalForm\`\(\(\)\()\)\)\)

( (Subscript[a, n]) ) := \(TraditionalForm\`\((\ \ 20\^n\/\(n!\)\ )\)\)\(TraditionalForm\`\(\(\)\()\)\)\)

Die dargestellten Folgen sehen alle recht regelmäßig aus, oft  – in gewisserweise –  glatt, bzw. monoton. Das muss aber nicht so sein. Dazu erinnern Sie sich an die Definition des Teilers einer natürlichen Zahl. In der folgenden Tabelle sind in der zweiten Spalte die Teiler der Zahlen von 1 bis 12 eingetragen, in der zweiten die Anzahl der Teiler, dann die Summe der Teiler und schließlich der reziproke Wert der Summe der Teiler.

Eine Grafik der Teiler der ersten hundert Zahlen sieht so aus:

Hier wird keine Folge dargestellt: Denn etwa zur Abzisse 20 sind die Ordinatenwerte 1, 2, 4, 5, 10, 20 markiert.

Mit  (Subscript[r, n]) := (1/(Summe der Teiler von  n)) für n ∈ ℕ  ergeben sich die beiden folgenden Grafiken:

nn

Beachten Sie:  (Subscript[r, 1])  ist jeweils nicht eingetragen um den Maßstab der Ordinatenachse nicht zu stark zu stauchen.

Schließlich noch eine scheinbar unübersichtliche Folge: 
			 ( (Subscript[a, n]) ) := (   sin(
          n)  )\(TraditionalForm\`\(\(\)\()\)\)\)

Betrachten Sie diese Grafik einmal, indem Sie rechts von der Seite ganz flach über das Papier sehen! 
Ein etwas "längeres" Anfangsstück dieser Folge sieht dann so aus:

Folgen, die im Sinne von Funktionen nur endlich viele Werte annehmen, sind relativ uninteressant. Doch Folgen mit unendlich vielen Werten sind prinzipiell nicht grafisch darstellbar und entziehen sich dadurch unserer Anschauung. Was passiert denn, wenn  n  immer größer wird bzw. – wie es oft heißt –  n  gegen Unendlich strebt?

Können Sie den nächsten Grafiken augenblicklich ein unterschiedliches Verhalten der Folgen entnehmen?

Hoffentlich haben Sie eine erste Intuition von Konvergenz und Nichtkonvergenz, also Divergenz, gewonnen!

Die nächsten Grafiken sollen auf die Definition von Konvergenz hinführen. Betrachtet werden Anfangsstücke der Folge \(TraditionalForm\`\((\ \((\(-1\))\)\^n\/n\ )\)\)  . Zu den Werten  ε = 0.1, 0.01, 0.001  ist um Null jeweils ein hellgrauer Streifen von  –ε  bis  ε  gelegt. Es sieht so aus, als ob die Folgenglieder schließlich alle in diesem "ε-Streifen drinliegen" bzw. die Folgenglieder dem Wert Null "recht nahe kommen".

Beachten Sie, dass in diesen Grafiken jeweils unterschiedlich viele Anfangsglieder der Folge nicht mit eingezeichnet sind. Andernfalls wäre der ε–Streifen überhaupt nicht mehr erkennbar! Auch die Maßstäbe sind unterschiedlich!
Es hat bis in die Mitte des vorvorigen Jahrhunderts gedauert, bis diese anschauliche Vorstellung eine im heutigen Sinne präzise mathematische Formulierung gefunden hat, nämlich den Begriff der Konvergenz bzw. des Grenzwerts einer Folge. Und wenn das so lange gedauert hat, dann mag es durchaus etwas länger dauern, bis Sie meinen, es verstanden zu haben. Dazu werden ja auch noch Beispiele und Übungen folgen.

Definition 1.2.3: 
GRENZWERT EINER FOLGE
Es seien  a ∈ ℝ  und  ((Subscript[a, n]))  eine Folge.  a  heißt GRENZWERT DER FOLGE  ((Subscript[a, n])) , wenn es zu jedem ε > 0  ein  (Subscript[n, 0]) ∈ ℕ  gibt, so dass | (Subscript[a, n])  -  a| < ε  für alle  n > (Subscript[n, 0])  gilt.
Mit Quantoren geschrieben sieht diese Definition so aus:
a  heißt Grenzwert der Folge  ((Subscript[a, n])) , wenn
		 (Underscript[∧ , ε  >  0])  (Underscript[∨ , (Subscript[n, 0]) ∈ ℕ])  (Underscript[∧, n > (Subscript[n, 0])]) | (Subscript[a, n]) - a | < ε  .

Definition 1.2.4: 
KONVERGENTE FOLGE, DIVERGENTE FOLGE
Eine Folge  ((Subscript[a, n]))  heißt KONVERGENT, wenn es ein  a ∈ ℝ  gibt, so dass  a  Grenzwert der Folge  ((Subscript[a, n]))  ist. Eine Folge  ((Subscript[a, n]))  heißt DIVERGENT, wenn sie nicht konvergent ist.

Die Beweise für die Konvergenz einer Folge können ganz einfach sein, sie können aber auch beliebig kompliziert sein. Fangen wir mit dem einfachsten Fall an.

Satz 1.2.1
Für c ∈ ℝ und  n ∈ ℕ  sei  (Subscript[c, n ])  :=  c .  Dann ist  c  Grenzwert von  ((Subscript[c, n])) .

Beweis: 
Es sei   ε > 0  beliebig und  (Subscript[n, 0]) = 1  gewählt. Dann gilt für alle  n ≥ (Subscript[n, 0]) = 1

	| (Subscript[c, n])  -  c| = 0 < ε  .

■

Als nächstes soll die Konvergenz der Folge \(TraditionalForm\`\((\ 1\/n\ )\)\) untersucht werden. Dazu ist das Archimedische Axiom nötig. Es ist anschaulich ganz einfach!

Zur Erinnerung das

Archimedisches Axiom
Es sei  a ∈ ℝ . Dann gibt es ein  n ∈ ℕ mit  n > a .

Wenn  a ≤ 0 , leistet 1 das Gewünschte. Ist  a > 0 , so stellen Sie sich etwa vor, Sie hätten eine Dezimalbruchentwicklung von  a . Dann nehmen Sie den Anteil vor dem Komma und addieren 2 dazu. So erhalten Sie eine natürliche Zahl, die größer als  a  ist. Warum reicht es nicht aus nur 1 zu addieren?
Eine andere Vorstellung benutzt den Zahlenstrahl, der jeweils bei den natürlichen Zahlen markiert ist. Irgendwo "zwischen" zwei ganzen Zahlen liegt  a , falls  a > 0  .

Satz 1.2.2
Der Grenzwert der Folge \(TraditionalForm\`\((\ 1\/n\ )\)\) ist Null.
Beweis: 
Es sei  ε > 0 . Dann gibt es nach dem Archimedischen Axiom ein  (Subscript[n, 0])  mit  (1/ε)< (Subscript[n, 0]) . Also ist (1/(Subscript[n, 0]))< ε .  Sei nun  n ≥ (Subscript[n, 0]) .  Dann folgt

	| (1/n)– 0 | = (1/n)≤ (1/(Subscript[n, 0])) < ε .

■

Es ist etwas umständlich, immer zu schreiben bzw. zu sagen: Der Grenzwert der Folge  ((Subscript[a, n]))  ist  a . Gebräuchlich ist die 

Schreibweise:
LIMES
Es sei  a ∈ ℝ  Grenzwert der Folge ((Subscript[a, n])) . Dafür sind folgende Schreibweisen üblich

	 lim ((Subscript[a, n])) = a   bzw.  (Underscript[(lim ), n → ∞])(Subscript[a, n]) = a  . 
	 
Gelesen: Der LIMES der Folge  ((Subscript[a, n]))  ist  a ; bzw. : Der LIMES von ((Subscript[a, n]))  für  n  gegen Unendlich ist  a .

Leider wird häufig die folgende missverständliche und deshalb schlechte Sprechweise benutzt: Die Folge  ((Subscript[a, n]))  strebt für  n  gegen Unendlich gegen  a . Da strebt aber im Allgemeinen Nichts! Ich benutze deshalb auch nicht die kurze Schreibweise  (Subscript[a, n])⟶ a  an Stelle von   (Underscript[(lim ), n → ∞])(Subscript[a, n]) = a .
Auch die Formulierung "es nähert sich beliebig" ist mißverständlich, wie etwa die Folge

	\(TraditionalForm\`\((\ \(1 + \((\(-1\))\)\^n\)\/n\ )\)\) = ( 0, 1, 0, (1/2), 0, (1/3), 0, (1/4), ... )
	
zeigt. Der Grenzwert dieser Folge ist Null:

Beweis: 
Es sei  ε > 0 . Dann gibt es nach Archimedes ein  (Subscript[n, 0])  mit (2/ε) < (Subscript[n, 0]) . Es sei nun  n ≥ (Subscript[n, 0]) . 

	| \(TraditionalForm\`\(\(\ \)\(\(1 + \((\(-1\))\)\^n\)\/n\)\)\)– 0 | = (1/n)| 1 + (((-1))^n) | ≤ (2/n)≤ (2/(Subscript[n, 0]))< ε .

■

Eben wurde  | 1 + (((-1))^n) | ≤ 2  abgeschätzt, was Sie sich noch leicht überlegen können. Hoffentlich wissen Sie auch noch, daß für beliebige  a, b ∈ ℝ  gilt:

	| a + b | ≤ | a | + | b | .
	
Diese Ungleichung wird Dreiecksungleichung genannt. Der Vollständigkeit halber wird sie nochmals bewiesen. Doch vorher wird noch kurz an die Betragsfunktion erinnert. Ihr Graph läßt sich so veranschaulichen:

Satz 1.2.3
Dreiecksungleichung
Es seien  a, b ∈ ℝ . Dann gilt
(i)		                                           \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(a\  + \ 
          b\)\(\ \)\(|\)\(\ \)\(\(≤\)\(\ \)\(\(|\)\(\ \)\(a\)\(\ \)\(|\)\(\ \)\(+\ \(\(|\)\(\ \)\(b\)\(\ \)\(|\)\)\)\)\)\)\) ,	
(ii)		                                           \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(a\  - \ 
          b\)\(\ \)\(|\)\(\ \)\(\(≤\)\(\ \)\(\(|\)\(\ \)\(a\)\(\ \)\(|\)\(\ \)\(+\ \(\(|\)\(\ \)\(b\)\(\ \)\(|\)\)\)\)\)\)\) ,
(iii) 	| a | - | b | ≤ | | a | - | b | | \(\(≤\)\(\ \)\(\(|\)\(\ \)\(a\  - \ 
                            b\)\(\ \)\(|\)\(\ \)\(\(≤\)\(\ \)\(\(|\)\(\ \)\(a\)\(\ \)\(|\)\(\ \)\(+\ \(\(|\)\(\ \)\(b\)\(\ \)\(|\)\)\)\)\)\)\)  .

Für ein positives  a  werden mit den folgenden Grafiken diese Ungleichungen veranschaulicht. Danach folgt zusätzlich der allgemeine Beweis.

Zu (i):

Zu (ii):

Zu (iii):

Beweis: 
Zu (i): Es gilt -a≤  |  
        a   |   ,  a ≤  |  
        a   |  ,  und analog \(TraditionalForm\`\(\(-b\)\(≤\)\)\  | \ 
        b\ \  | \ \ , \ \(\(\(b\)\(\ \)\(≤\)\)\(\ \)\(|\)\(\ \)\(b\)\(\ \ \)\(|\)\(\ \)\)\).  
Durch Addition dieser Ungleichungen folgt

			-(a  +  b)≤  |  
        a   |    + | b | ,  a  +  
            b  ≤  |  
        a   |  + | b | .
			
Falls  | a + b | = –(a + b) , so ist (i) mit dem ersten Teil bewiesen.
Falls  | a + b | =  a + b , so ist (i) mit dem zweiten Teil bewiesen.

Zu (ii): Setze  α := a,  β := –b . 
Nach (i) gilt  | α + β | ≤ | α | + |  β |  ,
also  \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(a\  - \ 
            
            b\)\(|\)\)\  = \ \(\(\(|\)\(\ \)\(α\  + \ β\)\(\ \ \)\(|\)\(\ \)\(\(≤\)\(\ \)\(\(|\)\(\ \)\(α\)\(\ \)\(|\)\(\ \)\(+\ \(\(|\)\(\ \)\(β\)\(\ \)\(|\)\)\)\)\)\)\  = \ \(\(|\)\(\ \)\(a\)\(\ \)\(|\)\(\ \)\(+\ \(\(|\)\(\ \)\(b\)\(\ \)\( | \^\ \)\)\)\)\)\) .

Zu (iii): Mit (i) folgt
|a|  =  | (a  -  
                b)  +  
            b| ≤ | a  -  
                b | +|b| ,
|b|  =  | (b  -  
                a)  +  
            a| ≤ | a  -  
                b | +|a| ,
also \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(a\)\(|\)\(\ \)\(-\ \(\(|\)\(b\)\(|\)\(\ \)\(\(≤\)\(\(|\)\(\ \)\(a\  - \ b\)\(\ \)\(|\)\)\)\)\)\)\) und   \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(b\)\(|\)\(\ \)\(-\ \(\(|\)\(a\)\(|\)\(\ \)\(\(≤\)\(\(|\)\(\ \)\(a\  - \ b\)\(\ \)\(|\)\)\)\)\)\)\) . 
Das ergibt ||a| - |b|| ≤| a  -  
                      b | .

■

Es werden häufig Ausdrücke der Gestalt  | x  -  
          a | < ε  vorkommen. Zum Verständnis die beiden folgenden Grafiken:
Zuerst als Beispiel  | x  -  
          0.5 | < 0.7 :

Für  x ∈ [ – 0.2, 1.2]  gilt | x  -  
          0.5 | ≤ 0.7 .

Beschriften Sie die folgende Grafik für  | x  -  
          a | < ε  .

Jetzt haben wir die Voraussetzungen um einige einfache, aber wichtige Sätze zu beweisen!

Satz 1.2.4
Eindeutigkeit des Grenzwertes
Eine Folge ( (Subscript[a, n]) )  hat höchstens einen Grenzwert  a .

Beweis: 
Der Beweis wird indirekt geführt. Es werde angenommen, dass die Folge zwei Grenzwerte, etwa  a  und  α,  besitze, wobei o.B.d.A. α  > a  sei.
Es sei  ε := ((α – a)/2) ( > 0 ) .  Dann gibt es ein  (Subscript[n, 0  a]) ∈ ℕ , so dass für alle  n > (Subscript[n, 0  a]) gilt
| (Subscript[a, n])  -  
          a | < ε .
Analog gibt es ein  (Subscript[n, 0  α]) ∈ ℕ , so dass für alle  n > (Subscript[n, 0  α]) gilt \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(a\_n\  - \ α\)\(\ \)\(|\)\(\ \)\(\(<\)\(\ \)\(ε\)\)\)\)  .
Es sei nun (Subscript[n, 0]) := max((Subscript[n, 0  a]) ,  (Subscript[n, 0  α]) ) . Dann gilt erst recht für alle  n  ≥  (Subscript[n, 0])  auch | (Subscript[a, n])  -  
          a | < ε  und   \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(a\_n\  - \ α\)\(\ \)\(|\)\(\ \)\(\(<\)\(\ \)\(ε\)\)\)\) . 
Nun gilt 
 \(TraditionalForm\`α\  - \ 
          a\  = \ \(\(\(|\)\(\ \)\(α\  - \ 
              a\)\(\ \)\(|\)\)\  = \ \(\(\(|\)\(\ \)\(α\  - \ 
                a\_n\  + \ a\_n\  - \ 
                a\)\(\ \)\(|\)\)\  = \ \(\(|\)\(\ \)\(\((a\_n\  - \ 
                    a)\)\  - \ \((a\_n - \ α\ )\)\)\(\ \)\(|\)\)\)\)\)
	\(TraditionalForm\`\(\(≤\)\(\ \)\(\(|\)\(\ \)\(a\_n\  - \ 
              a\)\(\ \)\(|\)\(\ \)\(+\ \(\(|\)\(\ \)\(a\_n\  - \ α\)\(\ \)\(|\)\(\ \)\(\(<\)\(\ \)\(ε\  + \ ε\)\)\)\)\)\)\  = \ \(2\ ε\  = \ α\  - \ a\)\) , 
d.h.  α  -  a  <  α  -  a , was ein klassischer Widerspruch ist. 
Also kann eine Folge höchstens einen Grenzwert besitzen.

■

Beachten Sie: Mit diesem Satz ist aber überhaupt nicht gezeigt, dass eine Folge einen Grenzwert besitzt. Nehmen Sie z.B. \(TraditionalForm\`\((\ \((\(-1\))\)\^n\ )\)\)  !

Satz 1.2.5
Eine konvergente Folge ist beschränkt.

Beweis: 
Es seien  a ∈ ℝ  und  ( (Subscript[a, n]) )  eine Folge mit  lim((Subscript[a, n]) ) = a . Es sei  ε := 1 . Dann gibt es ein  (Subscript[n, 0]) , so dass für alle  n > (Subscript[n, 0])  gilt  | (Subscript[a, n])  -  
          a | < ε = 1. Mit der Dreiecksungleichung folgt daraus
	\(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(a\_n\)\(\ \)\(|\)\(\ \)\(-\ \(\(|\)\(\ \)\(a\)\(\ \)\(|\)\(\ \)\(\(≤\)\(\ \)\(\(|\)\(\ \)\(a\_n\  - \ 
                  a\)\(\ \)\(|\)\(\ \)\(\(<\)\(\ \)\(1\)\)\)\)\)\)\)\) , also\(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(a\_n\)\(\ \)\(|\)\(\ \)\(\(<\)\(\ \)\(\(|\)\(\ \)\(a\)\(\ \)\(|\)\(\ \)\(+\ 1\)\)\)\)\) . 
Es sei nun
	M := max{ \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(a\_1\)\(|\)\), \ \(\(|\)\(a\_2\)\(|\)\), \  ... \ , \ \(\(|\)\(a\_\(n\_0\)\)\(|\)\), \ \(\(|\)\(a\)\(\ \)\(|\)\(+\ 
          1\)\)\) } .  
Dann gilt für alle  (Subscript[a, m]) , dass |(Subscript[a, m])|< M,  d.h. (| (Subscript[a, n])|) ist beschränkt und damit auch ( (Subscript[a, n]) ) .

■

Bevor einige weitere Folgen auf Konvergenz untersucht werden sollen, noch der

Satz 1.2.6
BERNOULLIsche Ungleichung
(Jacob Bernoulli, 1654 - 1705, Schweizer Mathematiker)

Es sei  n ∈ (Subscript[ℕ, 0])  und  x > –1 .  Dann gilt 

(i)	(((1  +  x))^n)  ≥  
        1  +  n x .

Ist noch  n > 1  und  x > 0, so gilt

(ii)	(((1  +  x))^n)  >  1  +  n x .

Beweis durch vollständige Induktion: 
Für  n = 0  ist (i) richtig. Es sei nun  x ≠ 0 .
I: Induktionsanfang:
	Für  n = 0  gilt  (((1  +  x))^0)  = 
        1 ≥  1  +  0 x ;
 	für  n = 1  gilt  (((1  +  x))^1)  = 1  +  1 x ; ,
	und für  n = 2  gilt  (((1  +  x))^2)  = 
        1 +  2  x  +  (x^2)  >  1  +  2 x .
	

II: Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung:
	Für ein  n ≥ 1  gelte  (((1  +  x))^n)  ≥  
        1  +  n x . 
Induktionsbehauptung: 
	Dann gilt  (((1  +  x))^(n + 1))  ≥  
        1  +  (n  +  1) x .
Beweis dafür:
	 (((1  +  x))^(n + 1))  =  (((1  +  
                    x))^n) (1  +  x) ≥  (1  +  
                n  x) (1  +  x) 
\(TraditionalForm\`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \(\(\(=\)\(\ \)\(1\  + \ x\  + \ n\ x\  + \ n\ x\^2\  > \ 
          1\  + \ \((n\  + \ 1\ )\)\ x\)\)\(\ \ \)\(,\)\)\) 
was zu beweisen war.

Zwei Grafiken zur Bernoullischen Ungleichung:

■

Mit der Bernoullischen Ungleichung beweisen wir jetzt

Satz 1.2.7
Es sei  |q|< 1 . Dann gilt  \(TraditionalForm\`\(\(lim\)\(\ \)\)\+\(n → ∞\)\)(q^n) = 0 .

Beweis: 
Für  q = 0  ist die Behauptung wieder trivial. Es sei also  q ≠ 0 . Dann ist  0 < | q | <1 und damit  1 < (1/(|q|)) . 
Es sei  h:=(1/(|q|))-1 ;  also ist  h > 0  und  (1/(|q|))=1 + h .
Es sei nun  ε > 0  gewählt. Nach Archimedes gibt es ein  (Subscript[n, 0])>(1/(ε·h)) . Es sei  n > (Subscript[n, 0]) . 
Nun folgt |(1/q)\( | \^n\)=(((1 + h))^n)≥1 + n h>n h ≥ (Subscript[n, 0]) h > (1/ε) . Daraus folgt  \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(q\^n - 
            0\)\(|\)\) = \(\(|\)\(q\)\( | \^n\)\(\(<\)\(ε\)\)\)\)  für  n ≥  (Subscript[n, 0]) .

■

Auf den Seiten 1.2 1 bzw 2 finden Sie Beispiele für geometrische Folgen mit  q = 1.014, 0.99, 0.9, 0.5, –0.9 .

Der Beweis von Satz 1.2.7 möge Ihnen etwas "böhmisch" (oder "spanisch", wie Sie wollen) vor kommen. "Wie kommt man denn da drauf ?" ist die naheliegende Frage.
Nun ja; mir wurde dazu im ersten Semester gesagt: "Das ist die Intuition im stillen Kämmerlein"; also so zu sagen die Vorstufe des Elfenbeinturmes! Aber so ist es nicht. Selbstverständlich stecken hinter solchen Beweisen Jahrhunderte von Erfahrungen; doch Tausende von Studierenden haben es dann schließlich gelernt, und warum sollte es bei Ihnen nicht auch klappen. Ich werde mich zumindest bemühen. Deshalb weiter einige einfache Beispiele.

Satz 1.2.8
Es sei  \(TraditionalForm\`\(\(p\)\(∈\)\(ℕ\)\(\ \)\)\).  Dann gilt  \(TraditionalForm\`\(\(lim\)\(\ \)\)\+\(n → ∞\)\) (1/(n^p))=0 .
Beweis: 
Zu  ε > 0  muss ein  (Subscript[n, 0]) gefunden werden, so daß für  n > (Subscript[n, 0]) gilt
|(1/(n^p))-0|=(1/(n^p)) < ε .
Die letzte Ungleichung ist äquivalent zu (1/ε)<(n^p) , und es gilt sicherlich  n < (n^p) .
Also, wenn (1/ε)<(Subscript[n, 0])≤n  ist, könnte ein Beweis klappen:
Es sei also nun  ε > 0 und  (Subscript[n, 0])>(1/ε) .  Für  n ≥ (Subscript[n, 0]) folgt  |(1/(n^p))-0|=(1/(n^p))≤\(1\/n\_0\%p\)≤(1/(Subscript[n, 0]))<ε .

■

Satz 1.2.9
Rechenregeln für Grenzwerte
Es seien  a  ∈  ℝ und es gelte  lim((Subscript[a, n]) ) = a  bzw. lim((Subscript[b, n]) ) = b . Es sei \(TraditionalForm\`λ\  ∈ \ ℝ\) .
Dann gilt
   
(i)	lim(λ ·(Subscript[a, n]) ) = λ· lim((Subscript[a, n]) ) = λ·a ,
   
(ii)	lim((Subscript[a, n])  +  (Subscript[b, n])) = lim((Subscript[a, n]) ) + lim((Subscript[b, n]) ) = a + b , 
  
(iii)	lim((Subscript[a, n]) · (Subscript[b, n])) = (  lim((Subscript[a, n]) ) )· (  lim((Subscript[b, n]) ) ) = a·b ,
   
(iv)	lim(((Subscript[a, n])/(Subscript[b, n])) )  = ((lim((Subscript[a, n]) ))/(lim((Subscript[b, n]) )))= (a/b) , falls (Subscript[b, n]),  b  ≠  0 .
   
Auf der nächsten Seite folgen Grafiken zu  (i) . Danach kommen die Beweise.

Beweis: 
Zu (i): 
Es sei  λ ≠ 0 .  Die Gleichung  \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(λ·
              a\_n - λ·
              a\)\(|\)\) = \(\(|\)\(λ\)\(|\)\(\(·\)\(\(|\)\(\ \)\(a\_n - a\)\(\ \)\(|\)\)\)\)\)  liefert die Beweisidee. 
Es sei  ε > 0. Da  lim((Subscript[a, n]) ) = a , gibt es auch zu  \(ε\&~\):=(ε/(|λ|)) ein  (Subscript[n, 0]) ,  so dass für alle  n ≥ (Subscript[n, 0]) \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(a\_n - 
          a\)\(\ \)\(|\)\(\(<\)\(ε\&~\)\)\)\) gilt. Damit folgt \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(λ·
              a\_n - λ·
              a\)\(|\)\) = \(\(\(|\)\(λ\)\(|\)\(\(·\)\(\(|\)\(\ \)\(a\_n - 
                  a\)\(\ \)\(|\)\(\(<\)\(\(|\)\(λ\)\(|\)\(\(·\)\(ε\&~\)\)\)\)\)\)\) = ε\)\) für alle  n ≥ (Subscript[n, 0]) , was zu beweisen war.

Zu (ii): Es sei  ε > 0 . Da  lim((Subscript[a, n])) = a , gibt es auch zu  \(ε\&~\):=(ε/2) ein  (Subscript[n, 0  a]) ,  so dass für alle  n ≥ (Subscript[n, 0  a]) \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(a\_n - 
          a\)\(\ \)\(|\)\(\(<\)\(ε\&~\)\)\)\) . 
Analog gibt es, da  lim((Subscript[b, n]) ) = b , zu  \(ε\&~\):=(ε/2) ein  (Subscript[n, 0  b]) ,  so dass für alle  n ≥ (Subscript[n, 0  b]) \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(b\_n - 
          b\)\(\ \)\(|\)\(\(<\)\(ε\&~\)\)\)\) . 
Es sei nun  (Subscript[n, 0]) := max((Subscript[n, 0  a]), (Subscript[n, 0  b])) . Dann gilt erst recht \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(a\_n - 
          a\)\(\ \)\(|\)\(\(<\)\(ε\&~\)\)\)\)  und \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(b\_n - 
          b\)\(\ \)\(|\)\(\(<\)\(ε\&~\)\)\)\) für alle   n ≥ (Subscript[n, 0]) .  Also gilt auch
\(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\((a\_n + b\_n)\) - \((a + 
                b)\)\)\(|\)\) = \(\(|\)\(\((a\_n - a)\) + \((b\_n - 
                b)\)\)\(|\)\(\(≤\)\(\(|\)\(a\_n - 
                a\)\(|\)\(+\(\(|\)\(b\_n - 
                    b\)\(|\)\(\(<\)\(ε\&~\  + ε\&~\)\)\)\)\)\)\)\) = (ε/2)+(ε/2)=ε .
	
Zu (iii): Nach Satz 1.2.5 gibt es ein  \(TraditionalForm\`A ∈ \(ℝ\^+\)\) mit  |(Subscript[a, n])|<A. 
Der kleine Trick, das richtige  (Subscript[n, 0])  zu einem  ε  zu finden, beruht jetzt auf folgender identischer Umformung und trivialen Abschätzung:
|(Subscript[a, n])·(Subscript[b, n]) - a·b|=|(Subscript[a, n])·(Subscript[b, n])- (Subscript[a, n])·b+(Subscript[a, n]) b  -a·b| =|(Subscript[a, n])((Subscript[b, n]) - b) + ((Subscript[a, n]) - a) b|≤\(TraditionalForm\`\(\(|\)\(a\_n\)\(|\)\(\(·\)\(\(|\)\(b\_n - b\)\(|\)\(+\(\(|\)\(b\)\(|\)\(\(·\)\(\(|\)\(a\_n - 
                      a\)\(|\)\)\)\)\)\)\)\)\) .
1. Fall:  Es sei  b ≠ 0 . Es sei   ε > 0 .
Zu (Subscript[ε, 1]):=(ε/(2 | b | )) gibt es ein  (Subscript[n, 0  a]) ,  so dass |(Subscript[a, n]) - 
          a|<(Subscript[ε, 1]) für alle  n ≥ (Subscript[n, 0  a]) .  Zu  (Subscript[ε, 2]):=(ε/(2  A))  gibt es ein  (Subscript[n, 0  b]) ,  so dass   |(Subscript[b, n]) - 
          b|<(Subscript[ε, 2]) für alle  n ≥ (Subscript[n, 0  b]) . 
Setze nun wieder  (Subscript[n, 0]) := max((Subscript[n, 0  a]), (Subscript[n, 0  b])) , dann gilt für alle n ≥ (Subscript[n, 0])
 
			|(Subscript[a, n])·(Subscript[b, n]) - 
          a·b| ≤ \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(a\_n\)\(|\)\(\(·\)\(\(|\)\(b\_n - b\)\(|\)\(+\(\(|\)\(b\)\(|\)\(\(·\)\(\(|\)\(a\_n - 
                      a\)\(|\)\)\)\)\)\)\)\)\) 
			  
			< A·(Subscript[ε, 2])+ | 
        b | ·(Subscript[ε, 1])= \(TraditionalForm\`\(\(A·ε\/\(2  A\)\)\(+\)\) | b | \(\(·\)\(ε\/\(2 | 
                  b | \)\)\) = \ \(ε\/2 + ε\/2 = ε\)\) .
			
2. Fall: Es sei  b = 0 . Führen Sie den Beweis analog.

Zu (iv): Wegen (iii) genügt es zu zeigen, dass, falls  b ≠  0 und (Subscript[b, n]) ≠ 0

	lim( (1/(Subscript[b, n])))=(1/(lim( (Subscript[b, n]) ))).

Beweis dazu:
Es sei nun  \(ε\&~\):=((|b|)/2). Dann gibt es ein (Subscript[n, 01]) , so dass \(\(|\)\(b\_n - 
              b\)\(|\)\(\(≤\)\(ε\&~\)\)\)=((|b|)/2) für alle n ≥ (Subscript[n, 01]) . Mit der Dreiecksungleichung folgt  \(\(|\)\(b\)\(|\)\(-\(\(|\)\(b\_n\)\(|\)\(\(≤\)\(\(|\)\(b - b\_n\)\(|\)\)\)\)\)\)=|(Subscript[b, n]) - b|<((|b|)/2) , also auch ((|b|)/2)<|(Subscript[b, n])|, d.h. insbesondere (Subscript[b, n]) ≠  0  für alle n > (Subscript[n, 01]) .

Die nötige Idee liefert
		 |(1/(Subscript[b, n]))-(1/b)|=|(((Subscript[b, n ]) -  b)/((Subscript[b, n])· 
                    b))|≤(2/(b^2))|(Subscript[b, n]) - b| 
für alle n ≥ (Subscript[n, 01]).

Es sei nun wieder  ε > 0 .  Dann gibt es zu  (Subscript[ε, 1]):=((ε · (b^2))/2) ein  (Subscript[n, 02]) , so dass |(Subscript[b, n]) - b|≤(Subscript[ε, 1]) für alle n ≥ (Subscript[n, 02]). Setze auch jetzt wieder  (Subscript[n, 0]) := max((Subscript[n, 01]), (Subscript[n, 02])) , dann gilt für alle n ≥ (Subscript[n, 0]) 
		|(1/(Subscript[b, n]))-(1/b)|=|(((Subscript[b, n])  -  b)/((Subscript[b, n ])· 
                    b))|≤(2/(b^2))|(Subscript[b, n]) - b|≤(2/(b^2))(Subscript[ε, 1])=ε .

■

Im Zusammenhang mit den Aussagen  (i) – (iv)  von Satz 1.2.9 werden häufig Fehler gemacht: Es werden nur die Gleichungen  (i) – (iv)  betrachtet und nicht aber die Voraussetzung, dass nämlich die Grenzwerte von  ((Subscript[a, n]))  bzw.  ((Subscript[b, n]))  existieren. 

Deshalb einige Gegenbeispiele:

Zu (i): Setzen Sie  (Subscript[α, n]) := (((–1))^n) und  λ = 0 . Dann ist  λ·(Subscript[α, n]) = 0 , und damit ist  lim( λ·(Subscript[α, n])) = 0  , aber ein Grenzwert von  ((Subscript[α, n]))  existiert nicht.
Zu (ii): Setzen Sie  (Subscript[α, n]) := (((–1))^n) und  (Subscript[β, n]) := -(Subscript[α, n]). Mit (Subscript[α, n]) + (Subscript[β, n]) = 0  gilt dann  lim\(TraditionalForm\`\(\((α\_n + β\_n)\)\(=\)\(0\)\(\ \)\)\), aber weder ein Grenzwert von ((Subscript[α, n]))  noch von  ((Subscript[β, n]))  existiert.
Zu (iii): Setzen Sie  (Subscript[α, n]) := (((–1))^n) und  (Subscript[β, n]) := (Subscript[α, n]). Dann ist  (Subscript[α, n])·(Subscript[β, n])=1. Jetzt gilt  lim\(TraditionalForm\`\(\((α\_n·β\_n)\)\(=\)\(1\)\(\ \)\)\), aber wieder existiert ein Grenzwert von  ((Subscript[α, n])) bzw.  ((Subscript[β, n]))  nicht.
Als weiteres Gegenbeispiel betrachten Sie  (Subscript[α, n]) := (((–1))^n) und  (Subscript[β, n]):=(1/n). Die Folge   \(TraditionalForm\`\((\((\(-1\))\)\^n\/n)\)\) kam schon mehrfach vor. Es gilt  lim\(TraditionalForm\`\(\((α\_n·β\_n)\)\(=\)\(0\)\(\ \)\)\), lim((Subscript[β, n]))=0  , aber ...  .
Zu (iv): Untersuchen Sie etwa die Fälle:

  		({{(Subscript[α, n]), :=, (1/(n^2)), ,, (Subscript[β, n]), :=, (1/n), ;}, {(Subscript[α, n]), :=, (((-1))^n), ,, (Subscript[β, n]), :=, (((-1))^n), ;}, {(Subscript[α, n]), :=, n, ,, (Subscript[β, n]), :=, (n^2), .}})

Satz 1.2.10
Rechenregeln für Grenzwerte
Es seien  ((Subscript[a, n]))  und  ((Subscript[b, n]))  reelle Folgen mit  lim((Subscript[a, n])) = a  bzw. lim((Subscript[b, n])) = b . Für alle  \(TraditionalForm\`n > n\&_ ∈ ℕ\)  gelte  (Subscript[a, n]) ≤ (Subscript[b, n]) . 
Dann gilt 
	a=lim((Subscript[a, n])) ≤ lim((Subscript[b, n]) )=b .

Beweis: 
Zu ε > 0  gibt es ein  (Subscript[n, 0  a]) , so dass  |(Subscript[a, n]) - 
          a|<ε  und damit a - ε < (Subscript[a, n]) für alle n > (Subscript[n, 0  a]).  Analog gibt es ein  (Subscript[n, 0  b]) ,  so dass  (Subscript[b, n]) < b + ε für alle n > (Subscript[n, 0  b])  .  Es sei nun \(TraditionalForm\`n\_0 := max(n\&_, n\_\(0  a\), n\_\(0  b\))\) . Dann folgt für alle n > (Subscript[n, 0])
a - ε < (Subscript[a, n]) ≤ (Subscript[b, n]) < 
        b + ε und damit a < b + 2  ε. Da ε > 0 beliebig gewählt war, folgt a ≤ b .

■

Am Beispiel  (Subscript[a, n]):=(1/(n^2)), (Subscript[b, n]):=(1/n) sehen Sie, dass der Fall  a = b  eintreten kann.

Definition1.2.5:
MONOTONIE VON FOLGEN
Es sei ((Subscript[a, n])) eine reelle Folge.  ((Subscript[a, n])) heißt 

	({{monoton wachsend,falls                   , (Subscript[a, n]), ≤, (Subscript[a, n+1]), ,}, {streng monoton wachsend,falls  , (Subscript[a, n]), <, (Subscript[a, n+1]), ,}, {monoton fallend,falls                           , (Subscript[a, n]), ≥, (Subscript[a, n+1]), ,}, {streng monoton fallend,falls          , (Subscript[a, n]), >, (Subscript[a, n+1]),  }})

für alle  n ∈ ℕ .
Gelten die Beziehungen zwischen  (Subscript[a, n]) und (Subscript[a, n+1])  erst ab einem (Subscript[n, 0]) , also für alle  n ≥ (Subscript[n, 0]) , so heißt die Folge entsprechend monoton für  n ≥ (Subscript[n, 0]) .

Auf Seite 1.2 4 wird ein Anfangsstück der Folge  ((Subscript[a, n]))  gezeigt, wobei  (Subscript[a, n]):=((20^n)/(n!)) . Für n ≥ 20 := (Subscript[n, 0])  ist diese Folge monoton fallend, denn: Es sei  n ≥ 20. Dann gilt
		((Subscript[a, n + 1])/(Subscript[a, n]))=((((20^(n + 1))/((n + 
                            1)!)))/(((20^n)/(n!))))=(20/(n + 1))<1,
d.h. (Subscript[a, n + 1]) < (Subscript[a, n]) .

In dieser Vorlesung wird ein anschaulicher, vielleicht auch naiver Begriff von den reellen Zahlen benutzt. Im Zusammenhang mit der Berechnung von  π  nach Archimedes kamen zwei Folgen  ((Subscript[E, 2  n]))  und  ((Subscript[U, 2  n]))  vor, wobei in unserer jetzigen Betrachtungsweise die Folge  ((Subscript[E, 2  n]))  monoton wächst und  ((Subscript[U, 2  n]))  monoton fällt. Weiterhin hatten wir ausgerechnet, dass  (Subscript[E, n]) < (Subscript[U, n])  und  0<(Subscript[U, n]) - (Subscript[E, n])<(64/(n^2)) . Damit folgt  lim((Subscript[E, 2  n])) = lim((Subscript[U, 2  n])) . Der gemeinsame Grenzwert definiert die reelle Zahl  2π . Aber auch schon eine der beiden Folgen allein definiert  2π . Diese Beobachtung an einem Spezialfall gilt allgemeiner: Es gilt der

Definition 1.2.11: 
BESCHRÄNKTE FOLGE, SCHRANKE
Es sei ((Subscript[a, n])) eine reelle Folge.  
((Subscript[a, n])) heißt BESCHRÄNKT, wenn es ein  K ∈ ℝ gibt, so dass für alle  \(TraditionalForm\`\(\(n\)\(∈\)\(ℕ\)\(\ \)\)\) gilt |(Subscript[a, n])|<K. Entsprechend heißt  K  dann ABSOLUTE SCHRANKE der Folge  ((Subscript[a, n])) .  
((Subscript[a, n])) heißt NACH OBEN BESCHRÄNKT, wenn es ein K ∈ ℝ gibt, so dass für alle  \(TraditionalForm\`\(\(n\)\(∈\)\(ℕ\)\(\ \)\)\)gilt  (Subscript[a, n]) < K . Entsprechend heißt  K dann OBERE SCHRANKE der Folge  ((Subscript[a, n])) .  
((Subscript[a, n])) heißt NACH UNTEN BESCHRÄNKT, wenn es ein K ∈ ℝ gibt, so dass für alle  \(TraditionalForm\`\(\(n\)\(∈\)\(ℕ\)\(\ \)\)\)gilt  K<(Subscript[a, n]) . Entsprechend heißt dann UNTERE SCHRANKE der Folge  ((Subscript[a, n])) .

Satz 2.1.11
Grenzwert monotoner, beschränkter Folgen
Es sei  ((Subscript[a, n]))  eine monoton (bzw. streng monoton) wachsende, nach oben beschränkte Folge. Dann existiert  lim((Subscript[a, n])) .
Falls  M  eine obere Schranke von  ((Subscript[a, n]))  ist, dann ist  lim((Subscript[a, n]))≤M.  .
Es sei  ((Subscript[b, n]))  eine monoton (bzw. streng monoton) fallende, nach unten beschränkte Folge. Dann existiert  lim((Subscript[b, n])) .
Falls  K  eine untere Schranke von  ((Subscript[b, n]))  ist, dann ist  K<lim((Subscript[b, n])) .

Satz 1.2.11 gilt entsprechend, wenn die Folgen erst ab einem  (Subscript[n, 0])  monoton sind. Satz 1.2.11 wird in dieser Vorlesung nicht bewiesen. Dazu wären zusätzliche Kenntnisse über eine Grundlegung der reellen Zahlen nötig.

☹ ☹ ☹

Im Falle einer monoton wachsenden Folge  ((Subscript[a, n]))  kann die Menge  𝕄  aller oberen Schranken von  ((Subscript[a, n]))  gebildet werden. Die "kleinste" dieser oberen Schranken, Supremum von  ((Subscript[a, n]))  genannt, in Zeichen  sup((Subscript[a, n])) , ist dann der Grenzwert der Folge. Auch diese Aussage kann in dieser Vorlesung nicht bewiesen werden.
Die Aussagen von Satz 1.2.11 können in anderem stofflichen Zusammenhang zur Definition reeller Zahlen dienen.

Beispiel:
Es sei  (Subscript[a, n]):=–(1/n) . Dann ist  ((Subscript[a, n]))  streng monoton wachsend und  (Subscript[a, n]) < 0 . Jede nicht negative reelle Zahl  M  ist obere Schranke der Folge  ((Subscript[a, n])) . Null ist die kleinste obere Schranke, also das Supremum von  ((Subscript[a, n])) .

Es sei bekannt, dass  (Sqrt[2])  irrational ist. Um einen Näherungswert für  (Sqrt[2])  zu berechnen, können Sie etwa probieren: 
Mit  (Subscript[x, 1]) := 1.4  = (7/5)  ist  (Subscript[x, 1]^2) = (49/25)<2 , und mit  (Subscript[y, 1]) :=  1.5 =  (3/2) ist (Subscript[y, 1]^2) = (9/4) > 2 . Wird jetzt  (Subscript[z, 1]) :=  (2/(Subscript[x, 1])) = (10/7)  gesetzt, so gilt (Subscript[z, 1]^2) = (100/49) > 2 . (Subscript[z, 1]) ist aber eine bessere Näherung für  (Sqrt[2])  als  (Subscript[x, 1]) . Also kann  (Subscript[x, 2]) := (1/2) ((Subscript[x, 1]) + 
                (Subscript[z, 1])) = (1/2) ((Subscript[x, 1]) + (2/(Subscript[x, 1])))  als nächste Näherung von  (Sqrt[2]) probiert werden. Dieses Verfahren motiviert den

Satz 1.2.12:
Heronverfahren
Heron von Alexandria ( um 60 )
Es seien  a > 0  und  (Subscript[x, 1]) > 0 . Für  n ∈ ℕ  sei (Subscript[x, n + 1]):=(1/2)((Subscript[x, n])+(a/(Subscript[x, n]))) . 
Dann gilt  lim((Subscript[x, n])) = (Sqrt[a]) .

Beweis: 
Allgemein gilt für beliebige  α, β ∈ ℝ  als Beziehung zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel:

		((α  +  β)/2)≥(Sqrt[α·β]) .

Beweis hierfür:Aus  (((α - β))^2) ≥ 0, d.h. (α^2) - 
          2  αβ + (β^2) ≥ 0 , folgt (α^2) + 
          2  αβ + (β^2) ≥ 
        4  αβ 

und damit  α + β ≥ 2(Sqrt[α])β .

Wird nun für  α := (Subscript[x, n]) und  β:=(a/(Subscript[x, n])) gesetzt, so folgt

(Subscript[x, n]) + (a/(Subscript[x, n])) ≥ 
          2 (Sqrt[ (Subscript[x, n])·(a/(Subscript[x, n]))]) = 2 (Sqrt[ a]) . Also ist (Subscript[x, n + 1]) = (1/2) ((Subscript[x, n]) + 
                (a/(Subscript[x, n]))) ≥ (Sqrt[a]) für n ∈ ℕ . 

Es sein nun  n ≥ 2 . Dann gilt mit  (Sqrt[a]) ≤ (Subscript[x, n])  auch   a ≤ 
        (Subscript[x, n]^2) 
und damit (a/(Subscript[x, n])) ≤ (Subscript[x, n]) und  (Subscript[x, n]) + (a/(Subscript[x, n])) ≤ 2  (Subscript[x, n]) , woraus (Subscript[x, n + 1])=(1/2) ((Subscript[x, n]) + (a/(Subscript[x, n]))) ≤ (Subscript[x, n]) folgt. 
Also ist  ((Subscript[x, n]))  monoton fallend für  n ≥ 2 .

Da auch  (Subscript[x, n + 1]) ≥ (Sqrt[a])  für  n ≥ 1 , ist  ((Subscript[x, n + 2]))  eine monoton fallende, nach unten beschränkte Folge, also konvergent. Damit konvergiert auch  ((Subscript[x, n])) . Es sei  w := lim((Subscript[x, n])). Dann gilt  w = lim((Subscript[x, n + 1])), und da  w ≠ 0  auch lim((a/(Subscript[x, n]))) = (a/w) nach Satz 1.2.9 . 

Aus der Gleichung  (Subscript[x, n + 1])=(1/2) ((Subscript[x, n]) + (a/(Subscript[x, n])))  folgt durch Limesbildung mit Satz 1.2.9

 w = (1/2) (w + (a/w)) bzw. (w^2) = (1/2) ((w^2) + a) , d.h. (w^2) = a . 
 
 Also gilt w = lim((Subscript[x, n])) = (Sqrt[a]) .

■

Einige Möglichkeiten mit Mathematica :

heron2[x_] :=  (1/2) (x + (2/x));
FixedPoint[heron2,  1.0]

FixedPointList[heron2,  1.0]

(Sqrt[2.])

N[(Sqrt[2]), 17]

liste1 =  FixedPointList[heron2,  1.0, 10]

liste10 =  FixedPointList[heron2,  10.0]

liste14 =  FixedPointList[heron2,  1.40]

Für  a = 2  soll das Heronverfahren veranschaulicht werden. Zuerst mit den zwei "schlechten" Startwerten 1 bzw. 10:

Wird ein "guter" Startwert, etwa  1.4 , gewählt, so "konvergiert das Verfahren sehr schnell":

Es ist deshalb sinnvoll, bei diesem Beispiel durchaus Tabellen der berechneten Werte anzusehen.
Zuerst mit dem Startwert 3/2 die entstehenden Brüche der sukzessive ausgerechneten Näherungswerte für (Sqrt[2]) :

FixedPointList[heron2,  3/2, 5]

Diese Brüche ermöglichen kaum eine Einsicht in das Konvergenzverhalten! Dezimalbrüche sind bei derartigen Betrachtungen besser geeignet. Dazu dezimale Approximationen:

N[%, 17]

Für die Startwerte 10, 1, 1.5, 1.4 ergeben sich die folgende Werte als genäherte Dezimalbrüche beim Heronverfahren zur Berechnung von (Sqrt[2]) :

({{10, 1, 1.5, 1.4}, {\(5.1

              2.746078431372549

              1.737194874379598

              1.444238094866231

              1.414525655148737

              1.414213596802269

              1.414213562373095\ 

              1.414213562373095

              1.414213562373095\), \(1.5

              1.416666666666666

              1.414215686274509

              1.414213562374689

              1.414213562373095

              1.414213562373095

              1.414213562373095

              1.414213562373095

              1.414213562373095\), \(1.416666666666666

              1.414215686274509

              1.414213562374689

              1.414213562373095

              1.414213562373095

              1.414213562373095

              1.414213562373095

              1.414213562373095

              1.414213562373095\), \(1.414285714285714

              1.414213564213564

              1.414213562373095

              1.414213562373095

              1.414213562373095

              1.414213562373095

              1.414213562373095

              1.414213562373095

              1.414213562373095\)}})

Nun zu der EULERschen Zahl  e  (Leonhard Euler, 1707 – 1783) :

N[E, 17]

E E

Dazu gibt es ein schönes Buch:
Eli Maor
Die Zahl e – Geschichte und Geschichten
Basel: Birkhäuser, 1996. 3-7643-5093-8

Satz 1.2.13
e als Grenzwert
Für n ∈ ℕ seien (Subscript[x, n]) := (((1 + (1/n)))^n) und  (Subscript[y, n]) := (((1 + (1/n)))^(n + 1)) . Dann gilt:
(i)	((Subscript[x, n]))  wächst streng monoton,
(ii)	((Subscript[y, n]))  fällt streng monoton.
(iii)	lim((Subscript[x, n]))=lim((Subscript[y, n]))=:e .

Beweis: 
Zu (i): Streng monotones Wachsen der Folge ((Subscript[x, n])) erfordert den Nachweis von  (Subscript[x, n - 1]) < (Subscript[x, n])  für alle n ≥ 2 , 
d.h. \(TraditionalForm\`\((1 + 1\/\(n - 1\))\)\^\(n - 1\) < \((1 + 1\/n)\)\^n\) . Diese Bedingung ist äquivalent zu

(((1 + 
                (1/(n - 1))))^(-1))< \(TraditionalForm\`\((\(1 + 1\/n\)\/\(1 + 1\/\(n - 1\)\))\)\^n\) . Nun folgt durch elementare Bruchrechnung 

\(TraditionalForm\`\((1 + 1\/\(n - 1\))\)\^\(-1\) = \(\((\(n - 1 + 1\)\/\(n - 1\))\)\^\(-1\) = \(\(n - 1\)\/n = 1 - 1\/n\)\)\) ,

\(TraditionalForm\`\(1 + 1\/n\)\/\(1 + 1\/\(n - 1\)\) = \(\(\(n + 1\)\/n\)\/\(\(n - 1 + 1\)\/\(n - 1\)\) = \(\(\(n + 1\)\/n\)\/\(n\/\(n - 1\)\) = \(\(\((n + 1)\) \((n - 1)\)\)\/n\^2 = 1 - 1\/n\^2\)\)\)\),

so dass also noch zu beweisen bleibt: 1 - (1/n) < (((1 - (1/(n^2))))^n) .
Hier hilft wieder die Bernoullische Ungleichung (Satz 1.2.7) weiter:

1 - (1/n) = 
        1 + n·(-(1/(n^2)))  < (((1 - (1/(n^2))))^n) .

Also ist    streng monoton wachsend.

Zu (ii): Es wird wieder analog vorgegangen. Streng monotones Fallen von ((Subscript[y, n])) bedeutet:

\(TraditionalForm\`\((1 + 1\/\(n - 1\))\)\^n > \((1 + 1\/n)\)\^\(n + 1\)\) .
 .
Diese Ungleichung ist gleichbedeutend mit der folgenden:

(*)	\(TraditionalForm\`\((\(1 + 1\/\(n - 1\)\)\/\(1 + 1\/n\))\)\^n > 1 + 1\/n\).

Mit 	\(TraditionalForm\`\(1 + 1\/\(n - 1\)\)\/\(1 + 1\/n\) = \(\(\(n - 1 + 1\)\/\(n - 1\)\)\/\(\(n + 1\)\/n\) = \(n\^2\/\(n\^2 - 1\) = 1 + 1\/\(n\^2 - 1\)\)\)\)

ist (*) äquivalent zu

(((1 + (1/((n^2) - 1))))^n)>1 + (1/n) .

Die Bernoullische Ungleichung liefert für n > 1

(((1 + (1/((n^2) - 1))))^n)>1 + (n/((n^2) - 1)) > 1 + (n/(n^2)) = 1 + (1/n) ,

was noch zu beweisen war.

Zu (iii): Es gilt  (Subscript[x, n])= \(TraditionalForm\`\((1 + 1\/n)\)\^n < \((1 + 1\/n)\)\^\(n + 1\) = \(y\_n ≤ y\_1 = 4\)\) .  
Also ist ((Subscript[x, n])) eine monoton wachsende, nach oben beschränkte Folge. Damit ist ((Subscript[x, n])) konvergent.
Andererseits folgt mit 2 = (Subscript[x, 1]) ≤ (Subscript[x, n]) < (Subscript[y, n]) ,  dass ((Subscript[y, n])) eine monoton fallende, nach unten beschränkte Folge ist. Damit ist auch ((Subscript[y, n])) konvergent.
Nun gilt
(Subscript[y, n]) - 
          (Subscript[x, n]) = (((1 + (1/n)))^n) ((1 + (1/n)) - 1) = 
          (1/n)·(Subscript[x, n]) .

Es bezeichne  lim((Subscript[x, n]))=:x  und  lim((Subscript[y, n]))=:y . Dann folgt:

\(TraditionalForm\`\(\(\ \ \ \ \ \)\(\(\(|\)\(x - 
            y\)\(|\)\)\  = \(\(|\)\(\((x - x\_n)\) + \((x\_n - 
                y\_n)\) + \((y\_n - 
                y)\)\)\(|\)\(
\)\(	\)\(
\)\(	\)\(\(≤\)\(\ \ \ \ \)\(x - 
              x\_n\ \  + \ \ \ \ \ x\_n\/n\ \ \ \ \ \  + \ \ y\_n - 
              y\)\)\)\)\)\)

■

(((Subscript[x, n])/n)) ist nach Satz 1.2.9 eine Nullfolge, ebenso sind es  (x - (Subscript[x, n]))  und  ((Subscript[y, n]) - y) . Damit läßt sich  |x - y|  durch die Glieder der Summe dreier Nullfolgen abschätzen, d.h.  x – y  =  0 .
Der gemeinsame Grenzwert der Folgen  ((Subscript[x, n]))  und  ((Subscript[y, n]))  wird  e  genannt. Diese Bezeichnung geht auf Leonhard Euler zurück.  e  wird Eulersche Zahl genannt.

In dem letzten Abschnitt wurde gezeigt, wie für jedes positive, reelle  a  mit Hilfe von Folgen  (Sqrt[a]) beliebig genau bestimmt werden kann. Zu  e  wurden ebenfalls zwei Näherungsfolgen konstruiert. Früher hatten wir auch schon für  π  zwei Näherungsfolgen bestimmt.

Vergleichen Sie die folgende Grafik mit der  nächsten.

Das Verfahren, nämlich eine reelle Zahl durch zwei monotone Folgen "einzuschachteln", motiviert die

Definition:
INTERVALLSCHACHTELUNG
Es seien  ((Subscript[x, n])) , ((Subscript[y, n]))  reelle Folgen mit  (Subscript[x, n]) < (Subscript[y, n])  für alle  n ∈ ℕ , und es seien  ((Subscript[x, n]))  streng monoton wachsend  ((Subscript[y, n]))  streng monoton fallend. Dann heißt die Folge (  [(Subscript[x, n]), (Subscript[y, n])]  ) der abgeschlossenen Intervalle  [(Subscript[x, n]), (Subscript[y, n])]  eine Intervallschachtelung, wenn die reelle Folge  ((Subscript[y, n]) - (Subscript[x, n]))  eine Nullfolge ist.  Schreibweise:  ⟨(Subscript[x, n]) | 
          (Subscript[y, n])⟩ .

Die reellen Zahlen lassen sich begründen mit dem 

Intervallschachtelungsprinzip:
Jede Intervallschachtelung  ⟨(Subscript[x, n]) | 
          (Subscript[y, n])⟩ mit rationalen  (Subscript[x, n]), (Subscript[y, n]) bestimmt genau eine reelle Zahl  r ; d.h. es gibt genau eine reelle Zahl  r , die in allen Intervallen  [(Subscript[x, n]), (Subscript[y, n])]  liegt. 

Weiterhin gilt	lim((Subscript[x, n]))=r=lim((Subscript[y, n])) .