3. Die trigonometrischen Funktionen

Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 2003 / 4

Diß ist der vorbeschryben schneck vnd seyn grund.

Aus: Abrecht Dürer: Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit.
Nürnberg: 1525. Nachdruck: Nördlingen: Verlag Dr. Alfons Uhl, 2000. 3-921503-17-5

Anschaulich lassen sich die trigometrischen Funktionen leicht definieren. Zwei Begriffe führen in dem Zusammenhang jedoch oft zu Verwirrungen: Grad und Bogenmaß. Mit einem Winkelmesser haben Sie schon Winkel in Grad gemessen. Die Winkelfunktionen sollen auf den reellen Zahlen definiert werden und zwar mit dem Argument Bogenmaß.
Wir haben zu Beginn der Vorlesung ein Verfahren kennengelernt, mit dem die Länge des Einheitskreises, also  2π , nummerisch angenähert werden kann. Das Bogenmaß des vollen Kreises ist also  2π  und dem vollen Winkel entsprechen  360° . Was bedeutet nun  ° ? Sie kennen z.B. die Zeichen  % , ‰ .  Das sind Symbole für reelle Zahlen, nämlich für 1/100 bzw. 1/1000 . Analog verhält es sich mit mit dem Symbol  ° .
Da 				       360°  =  2π ,
folgt					°  =  (π/180)  ( ≈ 0.01745 ... ) .
°  ist also eine spezielle mathematische Konstante.
Nun zu den anschaulichen Definitionen der trigonometrischen Funktionen, also der Winkelfunktionen. 
Im ersten Quadranten, also für  0 < x < (π/2) , werden die reellen Funktionen  SINUS (: sin), COSINUS (: cos), TANGENS (: tan) und COTANGENS (: cot) mit Hilfe der folgende Grafik definiert:

Der Strahlensatz liefert die Beziehungen 

	tan(x)=((sin(x))/(cos(x))) ,	cot(x)=((cos(x))/(sin(x))) ;
	
also auch  tan(x)=(1/(cot(x))) .

Für  x = 0  seien  sin(0) := 0 , cos(0) := 1 und für x = (π/2)  seien  sin((π/2)) := 1,  cos((π/2)) := 0 .
Deshalb seien  tan(0) := 0 und  cot((π/2)) := 0 . Die Funktion  tan  ist  für  (π/2)  und  die Funtion cot  für  0  nicht definiert!
Weiterhin folgt  (sin^2)(x) + (cos^2)(x) = 1 für  0 ≤  x ≤ (π/2) .
Nicht verschwiegen werden soll, dass bei dieser Definition die Schwierigkeiten in der Messung der Bogenlänge versteckt sind.

Für den zweiten, dritten und vierten Quadranten, also für  x ∈ [(π/2), 2  π] , werden dann die Funktionen Sinus und Cosinus mit Hilfe der folgenden Grafiken erklärt:

Damit sind die Funktionen Sinus und Cosinus insgesamt für  x ∈ [0,  2  π]  definiert.

Die letzten Grafiken motivierten auch die Beziehungen
		sin(x) = -sin(-x) ,  cos(x) = cos(-x) .

Für  \(TraditionalForm\`x ∈ ℝ\\ \([0, \ 
            2  π]\)\)  lassen sich nun die Funktionen Sinus und Cosinus definieren durch "periodische Fortsetzung". Es seien  \(TraditionalForm\`x\&~\) und  k ∈ ℤ so gewählt, dass  k ≠ 0 ,  \(x\&~\)∈[]0,2π []und  \(TraditionalForm\`x\  = \ x\&~ + 2  k\ π\) .
Dann sei  \(TraditionalForm\`sin(x) := \ sin(x\&~)\)  .

Nun vier Bilder aus der Animation Sinusentwicklung:

pse2 = se[ 4Pi/5 ];

pse3 = se[ 7Pi/6+0.5 ];

An den ersten Grafiken dieses Abschnittes läßt sich noch erkennen

	({{        sin (x), =, cos ((π/2)-x), ,}, {sin ((π/2)+x), =, sin ((π/2)-x), ,}, {cos ((π/2)+x), =, -sin (x)      , .}})
	
Für  x  ∈ ℝ  mit  x ≠ (π/2) + n π wobei  n ∈ ℤ ,  sei nun definiert

	tan(x):=((sin(x))/(cos(x))) ,
	
und für  x  ∈ ℝ  mit  x ≠ n π ,  n ∈ ℤ  sei  definiert

	cot(x):=((cos(x))/(sin(x))) .

Einige geometrisch einfach berechenbare Werte der trigonometrischen Funktionen:  

		({{ ,  ,  (0^∘) , \(\(\ \)\(30\^∘\)\(\ \)\),  (45^∘) , \(\(\ \)\(60\^∘\)\(\ \)\), (90^∘), \(120\^∘\), (135^∘), (150^∘), \(180\^∘\)}, { ,  , 0 , (π/6), (π/4), (π/3), (π/2), ((2  π)/3), ((3  π)/4), ((5  π)/6), π}, { ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  }, {sin,  , 0, (1/2), ((Sqrt[2])/2), ((Sqrt[3])/2), 1, ((Sqrt[3])/2), ((Sqrt[2])/2), (1/2), 0}, {cos,  , 1, ((Sqrt[3])/2), ((Sqrt[2])/2), (1/2), 0, -(1/2), -((Sqrt[2])/2), ((Sqrt[3])/2), -1}, {tan,  , 0, ((Sqrt[3])/3), 1, (Sqrt[3]), ¬, -(Sqrt[3]), -1, -((Sqrt[3])/3), 0}, {cot,  , ¬, (Sqrt[3]), 1, ((Sqrt[3])/3), 0, -((Sqrt[3])/3), -1, -(Sqrt[3]), ¬}})

Für das weitere Vorgehen werden noch die Additionstheoreme von  sin  und  cos  gebraucht,
es seien x, y ∈ ℝ :

		({{ sin (x+y), =, sin (x)cos (y), +, cos (x)sin (y), ,}, { sin (x - y), =, sin (x)cos (y), -, cos (x)sin (y), ,}, { ,  ,  ,  ,  ,  }, {cos (x+y), =, cos (x)cos (y), -, sin (x)sin (y), ,}, {cos (x - y), =, cos (x)cos (y), +, sin (x)sin (y), .}})
		

Die letzte Gleichung läßt sich mit Hilfe der nächsten Grafiken plausibel machen:

Auf dem Einheitskreis liegen die Punkte  A  und  B 
	
		A := ( cos(α),  sin(α) )  ,  B := ( cos(β),  sin(β) ) .
Das Dreieck  AOB  der linken Figur ist kongruent zu dem Dreieck  POC  in der rechten Figur. Also ist der Abstand von  A  nach  B  gleich dem Abstand von  C  nach  P .
Daraus folgt

	({{d (((A,B))^2), =, ((( cos (α)-cos (β) ))^2)+((( sin (α)-sin (β) ))^2)                                                                ,  }, { , =, (cos^2) (α)-2cos (α) cos (β) +(cos^2) (β) +(sin^2) (α)-2sin (α)sin (β)+(sin^2) (β),  }, { , =, 2-2cos (α) cos (β)-2sin (α)sin (β)  ,                                                                    ,  }, { ,  ,  ,  }, {d (((C,P))^2), =, ((( 1-cos (α - β) ))^2)+((( 0-sin (α - β) ))^2)                                                                    ,  }, { , =, 1-2cos (α - β)+(cos^2) (α - β)+(sin^2) (α - β)                                                         ,  }, { , =, 2-2cos \(\((α - β)\)\(\ \ \ \)\(.\)\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \)\),  }})

Wegen  ((d(A, B))^2) = ((d(C, P))^2) folgt
	\(TraditionalForm\`cos(α - β)\  = \ \(cos(α)\)\ \(cos(β)\) + \(sin(α)\)\ \(sin(β)\)\) .
	
Ersetzen von  β  durch  –β  ergibt
	\(TraditionalForm\`cos(α + β)\  = \ \(cos(α)\)\ \(cos(\(-β\))\) + \(sin(α)\)\ \(sin(\(-β\))\)\) = \(TraditionalForm\`\(\(\ \)\(\(cos(α)\)\ \(cos(β)\) - \(sin(α)\)\ \(sin(β)\)\)\)\) ,
da  cos  eine gerade bzw.  sin eine ungerade Funktion ist.

Mit  sin(x) = cos((π/2) - x)  folgt

	({{sin (α + β), =, cos ((π/2) - (α + β)) =cos (((π/2) - α) - β)                                                                                            }, { , =, cos ((π/2) - α)cos (β)+sin ((π/2) - α)sin (β)                                                                                          }, { , =, sin (α)cos (β) +cos (α) sin \(\((β)\)\(\ \)\(.\)\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \)\)}})

Wird darin nun  β  durch  –β ersetzt, so folgt
	sin(α - β)=sin (α)cos (-β) +cos (α) sin (-β)=sin (α)cos (β) -cos (α) sin (β) .

Eine andere Herleitung der Additionstheoreme motivieren die folgenden Grafiken.

Aus: Roger B. Nelson: Proofs without Words. Exercises in Visual Thinking.
Washington: The Mathematical Association of America, 1993, 0-88385-700-6. Seite 30.