4. Differenzierbarkeit, Stetigkeit

Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 2003 / 4

Historisch ist der Begriff der Differenzierbarkeit lange vor dem der Stetigkeit entwickelt worden. Unterschiedliche Definitionen der Differenzierbarkeit werden von Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) und Isaac Newton (1642 – 1727), einem englischen Phyiker und Mathematiker, gegeben. 

Die Definition der Stetigkeit, wie sie heute gebräuchlich ist, verbindet sich mit Namen wie Augustin Louis Cauchy, 1789 – 1857, und Karl Weierstraß, 1815 – 1897. H. Heuser schreibt in seinem Lehrbuch der Analysis I (Stuttgart: Teubner, 1982.  3-519-12221-9) auf Seite 156: Karl Weierstraß [   ]: Auf ihn geht die "Epsilontik" zurück, ohne die wir uns heutzutage die Analysis nicht mehr denken können.
Auch hier soll Stetigkeit im Zusammenhang mit Differenzierbarkeit motiviert werden. Daher zu Beginn die klassischen Fragestellungen: Wie kann eine Tangente an eine Kurve berechnet werden? Was sind die Änderungsraten bei einer Funktion?

Erinnert sei nochmals an einige Bilder aus einer Animation

Nun betrachten wir die Funktion  \(TraditionalForm\`f : ℝ → ℝ\)  mit  f(x) := (((1 + x))^2)  an der Stelle  (Subscript[x, 0]) := 0 .
Die Steigungen zweier Sekanten durch den Punkt  (0, 1) = (0, f(0))  können mit Hilfe der Steigungsdreiecke in den beiden folgenden Grafiken bestimmt werden.

Es sei  h < 0 , dann ergibt das linke Steigungsdreieck:

	\(\(m\_-\)(h)\):=((f(0)  -  f(h))/(0  -  h))=((1  -  (((h  +  1))^2))/(-h))=((- (h^(2 ))- 2  h)/(-h))=2 + h  .

Es sei  h > 0 . Das rechte Steigungsdreieck liefert:

	\(\(m\_+\)(h)\):=((f(h)  -  f(0))/(h  -  0))=(( (((h  +  1))^2) - 1)/h)=(( (h^2)  +  2  h)/h)=2 + h .

Also ist sowohl links wie rechts von Null die Steigung der Sekante  2 + h . Geometrisch "gehen" die Sekanten in die Tangente über, wenn  h = 0 . Die Tangentensteigung im Punkt  (0, 1)  an den Graph von  f  ist also  2 .
Nun soll das gleiche Schema bei der Sinusfunktion versucht werden. Es sei also f(x) := sin(x)  für  x ∈ ℝ  und  (Subscript[x, 0]) = 0 . Zuerst sei  h > 0 .

Dieses Steigungsdreieck liefert:

	\(\(m\_+\)(h)\):=((f(h)  -  f(0))/(h  -  0))=(( sin(h)  -  sin(0))/h)=((sin(h))/h)  .

Dieses Steigungsdreieck liefert:

	\(\(m\_-\)(h)\):=((f(0)  -  f(h))/(0 - h))=(( sin(0)  -  sin(h))/(-h))=((sin(h))/h)  .
	
Wieder sind die Terme für  \(TraditionalForm\`\(m\_+\)(h)\)  und  \(TraditionalForm\`\(m\_-\)(h)\)  gleich. Doch kann in dem Ausdruck ((sin(h))/h)  jetzt  h  nicht einfach Null gesetzt werden!
Die klassische Grafik um  ((sin(h))/h) abzuschätzen, sollte so aussehen:

Dann folgt mit
nnn
		δ(A, S) := Flächeninhalt des Dreiecks  A O S ,
		δ(A, T) := Flächeninhalt des Dreiecks  A O T ,
		κ(A, S) := Flächeninhalt des Kreissektors  A O S 
nnn
die Ungleichung
nnn
		δ(A, S) < κ(A, S) < δ(A, T)  .
nnn
Nun gilt  δ(A, S)=((sin(h))/2), und da  r = 1,  κ(A, S)=(h/(2  π))·π·(r^2)=(h/2),  δ(A, T)=((tan(h))/2)
nnn
und damit folgt  sin(h) < h < tan(h) ,  bzw. nach Division mit  sin(h) 
nnn
	1<(h/(sin(h)))<(1/(cos(h))), woraus  cos(h)<((sin(h))/h)<1 folgt
nnnnnnnn
Diese letzte Beziehung ist für  h > 0  hergeleitet. Sie gilt aber auch für  h < 0  .

Versucht man jetzt in der Nähe von Null für  h ≠  0  die Graphen der Funktionen (Subscript[f, 1]) : h → cos(h) ,  (Subscript[f, 2]) : h→ ((sin(h))/h), (Subscript[f, 3]) : h → 1  zu zeichnen, so scheint klar zu sein, dass ein "sinnvoller" Wert für (Subscript[f, 2])  bei Null nur Eins sein kann.

In der Nähe von Null scheinen sich die Werte von  ((sin(h))/h) von Eins nur beliebig wenig zu unterscheiden.

Diese Überlegungen führen zu der 

Definition 4.1:
GRENZWERT einer Funktion
Es seien  I := [a, b] und  f : I → ℝ . Die Funktion  f  hat an der Stelle  (Subscript[x, 0]) ∈ I  einen GRENZWERT  φ ∈ ℝ , genau dann, wenn 
zu jedem  ε > 0 existiert ein  δ > 0 , so dass für alle  x ∈ I mit  0< | 
        x - (Subscript[x, 0]) | <δ  gilt \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(f(
            x) - φ\)\(\ \)\(|\)\(\(<\)\(\ \)\(ε\)\)\)\) .

Übliche Schreibweise:  (Underscript[lim , x→(Subscript[x, 0])])f(x)=φ . 

Ich ziehe diese Schreibweise vor:  (Underscript[lim , (Subscript[x, 0])])f(x)=φ  oder noch besser   (Underscript[lim , (Subscript[x, 0])])f=φ  .

Übliche Sprechweisen:  f  hat bei  (Subscript[x, 0])  den Grenzwert  φ  bzw. der Limes von  f  bei  (Subscript[x, 0])  ist  φ .

Beachten Sie  0< |  x  -  (Subscript[x, 0])  |  , also  x ≠ (Subscript[x, 0])  .

Der Beweis über die Eindeutigkeit des Grenzwertes von Funktionen verläuft analog zum Beweis von Satzes 1.2.4, der die Eindeutigkeit des Grenzwertes bei Folgen behandelt.

Viele Grenzwerte sind einfach zu berechnen. Doch soll hier jetzt endlich  (Underscript[(lim ), x →  0])((sin(x))/x)=1 bewiesen werden.

Satz 4.1
Es gilt	 	 (Underscript[(lim ), x →  0])((sin(x))/x)=1  .

Beweis:
Für  \(TraditionalForm\`x ∈ ℝ\ \\ {0}\)  seien  f(x):=((sin(x))/x)  und  f(0) := 1 .

f(0)  kann beliebig definiert werden. Der gewählte Wert spielt in diesem Beweis keine Rolle!

Es sei  x > 0 . Aus der Grafik folgt dann, dass die Länge des Bogens, also  x , größer ist als der Abstand von  A = (1, 0)  nach  S = (cos(x),  sin(x)) , der  (Sqrt[(sin^2)(x) + (((1 - cos(x)))^2)])  beträgt. 

Also gilt 	(x^2) > (sin^2)(
              x) + (((1 - cos(x)))^2)= (sin^2)(x) + 1 - 
          2  cos(x)  + (cos^2)(x) = 
        2 - 2  cos(x)  ,

d.h.		cos(x) >1-((x^2)/2)  .

Weiter oben war schon  cos(x)<((sin(x))/x)<1 bewiesen worden, so dass nun gilt

	1-((x^2)/2)<((sin(x))/x)<1  bzw.  -((x^2)/2)<((sin(x))/x)-1<0  .
	
Diese Ungleichung läßt sich auch für negative  x  beweisen.

Es sei also wie oben  f(x)=((sin(x))/x) definiert für  \(TraditionalForm\`x ∈ ℝ\ \\ {0}\) . Es seien  ε > 0  beliebig,  δ := ε und es gelte  0< |  
        x  | <min(δ , 1) . 

Dann folgt	| f(x)  -  1 |=| ((sin(x))/x) - 1 |<((x^2)/2)< (x^2)<| x |< δ = ε  .

◼

Nun einige Beispiele:

Beispiel 4.1: 
Für  \(TraditionalForm\`x ∈ \([\(-1\), 1]\)\ \\ {0}\)  sei  f(x) := 1  und  f(0) := 0 .
Dann hat  f   bei Null den Grenzwert 1, obwohl  f(0) ≠ 1 .

Beispiel 4.2: 
Für  \(TraditionalForm\`x ∈ \([0, 2]\)\ \\ {1}\)  sei  f(x):=((x  -  1)/((x^2)  -  1))  und  f(1) :=  a  für ein  a ∈ ℝ . Für  x ≠ 1 gilt f(x)=((x  -  1)/((x  -  1) (x  +  1)))=(( 1)/(x  +  1))  . 
Ohne Beweis sei schon festgestellt, dass  (Underscript[(lim ), 1])f(x)=(1/2) . Wenn  a = (1/2) gewählt wäre, dann wäre auch  (Underscript[(lim ), 1])f(x)=f(1)  .

Beispiel 4.3: 
Für  x∈[-1, 1]   sei  f(x) := sign(x) , also f(x)  = -1  für  x < 0 , f(x)  = 1 für  x > 0  und  f(0) = 0  .
Dann hat  f  bei Null keinen Grenzwert, obwohl die Werte von  f  rechts und links von Null jeweils konstant sind, jedoch unterschiedlich.

Die letzte Feststellung motiviert die

Definition 4.2:
EINSEITIGER Grenzwert
Es seien  I := [a, b] und  f : I → ℝ .
Die Funktion  f  hat an der Stelle  (Subscript[x, 0]) ∈ I  den RECHTSSEITIGEN Grenzwert  ρ ∈ ℝ , genau dann, wenn 
zu jedem  ε > 0  ein  δ > 0 existiert, so dass für alle  x ∈ I mit  0 < x - (Subscript[x, 0]) < δ  gilt \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(f(
            x) - ρ\)\(\ \)\(|\)\(\(<\)\(\ \)\(\(ε\)\(\ \ \)\(.\)\)\)\)\)

Übliche Schreibweise:  (Underscript[lim , x→(Subscript[x, 0])+0])f(x)=ρ . 

Ich ziehe diese Schreibweise vor:  (Underscript[lim , (Subscript[x, 0])+])f(x)=ρ oder noch besser   (Underscript[lim , (Subscript[x, 0])+])f=ρ .

Übliche Sprechweisen:  f  hat bei  (Subscript[x, 0])  den rechtsseitigen Grenzwert  ρ  bzw. der rechtsseitige Limes von  f  bei  (Subscript[x, 0])  ist  ρ .

Analog wird der LINKSSEITIGE Grenzwert definiert:

Die Funktion  f  hat an der Stelle  (Subscript[x, 0]) ∈ I  den LINKSSEITIGEN Grenzwert  λ ∈ ℝ , genau dann, wenn 
zu jedem  ε > 0  ein  δ > 0 existiert, so dass für alle  x ∈ I mit  0 < (Subscript[x, 0]) - x < δ  gilt \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(f(
            x) - λ\)\(\ \)\(|\)\(\(<\)\(\ \)\(ε\)\)\)\) .

Übliche Schreibweise:  (Underscript[lim , x→(Subscript[x, 0])-0])f(x)=λ . 

Ich ziehe diese Schreibweise vor:  (Underscript[lim , (Subscript[x, 0])-])f(x)=λ oder noch besser   (Underscript[lim , (Subscript[x, 0])-])f=λ .

Übliche Sprechweisen:  f  hat bei  (Subscript[x, 0])  den linksseitigen Grenzwert  λ  bzw. der linksseitige Limes von  f  bei  (Subscript[x, 0])  ist  λ .

Jetzt ist als Ergänzung zu Beispiel 4.3 leicht zu beweisen:
	(Underscript[(lim ), 0-])sign=-1 ,  (Underscript[(lim ), 0+])sign=+1 .

Satz 4.2:
Es seien  I := [a, b] und  f : I → ℝ .
Es sei  (Subscript[x, 0])∈[]a,b[]. Dann existiert der Grenzwert von  f  bei  (Subscript[x, 0]) , genau dann, wenn sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert von  f  bei  (Subscript[x, 0])  existieren und beide gleich sind.
Mit entsprechend vorsichtiger Interpretation läßt sich diese Aussage so formulieren:

 	(Underscript[lim , x→(Subscript[x, 0])-0])f(x)=(Underscript[lim , x→(Subscript[x, 0])])f(x)=(Underscript[lim , x→(Subscript[x, 0])+0])f(x)  .
 	
Der Beweis ist eine einfache Übungsaufgabe.

◼

Beispiel 4.4: 
Für  \(TraditionalForm\`x ∈ \(\(\([\(-1\), 1]\)\ \\ {\ 
            0}\)\(\ \)\)\) seien  f(x) := sin((1/x))  und  f(0) :=  0  . 
Dann existiert weder ein links- noch ein rechtsseitiger Grenzwert von  f  bei Null,  denn etwa für  n ∈ ℕ  und   (Subscript[x, n]) := (1/(n π))  gilt  f((Subscript[x, n])) = 0  ; bzw. für  (Subscript[y, n]) := (1/((2  n + (1/2)) π)) gilt  f((Subscript[y, n])) = 1  .
Es kann gezeigt werden, dass zu jedem  α∈[-1, 
          1]   eine Folge  ((Subscript[α, n]))  existiert mit  lim ((Subscript[α, n]))=0  und  lim (f((Subscript[α, n]))) = α .

Die Grafiken können das Verhalten der Funktion in der Nähe von Null nur andeutungsweise wiedergeben!

Beispiel 4.5: 
Für  \(TraditionalForm\`x ∈ \(\(ℝ\)\(\\)\(\ \)\({\ 0}\)\(\ \)\)\) seien  f(x) := x sin((1/x))  und  f(0) :=  0  . 
Dann gilt  (Underscript[(lim ), x → 0])x sin((1/x))=0  .
Beweis: 
Es sei  ε > 0 und  δ := ε . Da \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(sin(α)\)\(\ \)\(|\)\(\(≤\)\(1\)\)\)\) für alle α ∈ ℝ , folgt für alle  x∈[]-δ,δ [], x ≠ 0
	\(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(f(x) - 
            f(0)\)\(\ \)\(|\)\) = \(\(\(|\)\(\ \)\(x\ \(sin(1\/x)\)\ \  - \ 
              0\)\(\ \)\(|\)\(\(≤\)\(\(|\)\(\ \)\(x\)\(\ \)\(|\)\(\(<\)\(\ \)\(δ\)\)\)\)\) = \ \(\(ε\)\(\ \ \)\(.\)\)\)\)

In einigen der vorangegangenen Beispiele existierte  (Underscript[lim , x→(Subscript[x, 0])])f(x)=φ  und hatte den Wert f((Subscript[x, 0])) . Dafür gibt es die

Definition 4.3:
STETIGKEIT	
Es seien  I := [a, b] und  f : I → ℝ .  Die Funktion  f  heißt der Stelle  (Subscript[x, 0]) ∈ I  STETIG, genau dann, wenn 

zu jedem  ε > 0 ein  δ > 0  existiert, so dass für alle  x ∈ I mit  |x - (Subscript[x, 0])|<δ  gilt \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(f(x) - 
          f(x\_0)\)\(\ \)\(|\)\(\(<\)\(\ \)\(\(ε\)\(\ \ \)\(.\)\)\)\)\)

 f  heißt AUF  I  stetig, falls  f  stetig ist für alle  (Subscript[x, 0]) ∈ I .

Zeichnen Sie bitte an den Koordinatenachsen noch die Werte  (Subscript[x, 0]) ± δ  bzw. f((Subscript[x, 0])) ± ε ein.

Hinweis:  Im Folgenden sei immer  a < b  und damit das Intervall  [a, b]  nicht leer.

Satz 4.3:
Es seien  I := [a,  b] und  f : I → ℝ  definiert durch  f(x) := c  für ein  c ∈ ℝ . Dann ist  f  auf  I  stetig.

Beweis:
(Vergleichen Sie diesen Beweis mit dem Beweis dafür, dass eine konstante Folge konvergiert, also Satz 1.2.1 .)
Es sei  (Subscript[x, 0]) ∈ ℝ  beliebig. Es sei  ε > 0 und  δ := 1 . Dann gilt für alle  x ∈ I  und damit erst recht für alle  x ∈ I mit  | x - 
          (Subscript[x, 0]) |<δ  auch  \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(f(x) - 
            f(x\_0)\)\(\ \)\(|\)\)\  = \(\(|\)\(\ \)\(c - 
            c\)\(\ \)\(|\)\(\(<\)\(\ \)\(\(ε\)\(\ \ \)\(.\)\)\)\)\)

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Satz 4.4:
Es seien  I := [a,  b] und  f : I → ℝ  definiert durch  f(x) := x . Dann ist  f  auf  I  stetig.

Beweis:
Es sei  (Subscript[x, 0]) ∈ I  beliebig. Es sei  ε > 0 und  δ := ε .  Dann gilt für alle  x ∈ I mit  | x - 
          (Subscript[x, 0]) |<δ  auch  \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(f(x) - 
            f(x\_0)\)\(\ \)\(|\)\) = \(\(\(|\)\(\ \)\(x - 
              x\_\(\(0\)\(\ \)\)\)\(|\)\(\(<\)\(\ \)\(δ\)\)\) = \ \(\(ε\)\(\ \ \)\(.\)\)\)\)

◼

Satz 4.5:
Es seien  I := [a,  b] und  f : I → ℝ  definiert durch  f(x) := |x| . Dann ist  f  auf  I  stetig.
Beweis:
Es sei  (Subscript[x, 0]) ∈ I  beliebig. Es sei  ε > 0 und  δ := ε . Dann gilt für alle  x ∈ I mit  | x - 
          (Subscript[x, 0]) |<δ  auch  | f(x) - f((Subscript[x, 0])) |=| |x|-|(Subscript[x, 0])| |\(\(≤\)\(\ \)\(\(|\)\(\ \)\(x - 
                        x\_\(\(0\)\(\ \)\)\)\(|\)\(\(<\)\(\ \)\(δ\)\)\)\)= ε 
nach der Dreiecksungleichung .

◼

Bemerkung: Da in den Sätzen 4.4 und 4.5 das Intervall  I  jeweils beliebig war,

Beispiel 4.6: 
1. Dirichlet-Funktion (1829), (Peter Gustav Lejeune-Dirichlet. 1805-1859)
Für  x ∈ [0, 1]  sei 

	({{f(x):=, {({{ 0 , falls  x  irrational}, {   1 , falls  x  rational     }})}}).

Für kein  (Subscript[x, 0])  besitzt  f  Grenzwerte. Denn in jedem Intervall, das  (Subscript[x, 0])  umfaßt, liegen sowohl rationale als auch irrationale Zahlen. Also werden in jedem (noch so kleinen) Intervall die Funktionswerte Null und Eins angenommen. Deren Differenz ist aber nicht unter beliebiges  ε  zu bringen.

Jeder Versuch, diese Funktion grafisch darzustellen, muss scheitern.

Beispiel 4.7: 
2. Dirichlet-Funktion (1829)
Für  x ∈ [0, 1]  sei 

	({{f(x):=, {({{   0 , falls  x  irrational                                                                                              }, {   (1/q) , falls  x  rational und  x =(p/q) mit teilerfremden  p, q∈(Subscript[ℕ, 0]) }})}}) .

 f  ist für jedes irrationale  (Subscript[x, 0])  stetig und für jedes rationale  (Subscript[x, 1])  unstetig !

Beweis:
Es sei  (Subscript[x, 0])  rational und  (Subscript[x, 0]) = (p/q)  mit teilerfremden  p  und  q . Es sei  ε := (1/(2  q)) und  δ > 0 beliebig. In jedem Intervall [] (Subscript[x, 0])-δ, (Subscript[x, 0])+δ [] liegt ein irrationales  \(TraditionalForm\`x\&_\) .  Also gilt
	\(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(f(x\&_) - 
            f(x\_0)\)\(\ \)\(|\)\) = \(\(\(|\)\(\ \)\(0\  - 
              1\/q\)\(\ \)\(|\)\) = \(1\/q > 
              1\/\(2  q\) = \(\(ε\)\(\ \ \)\(.\)\)\)\)\)

Es seien nun  (Subscript[x, 0])  irrational und   ε > 0 . Dann gibt es ein  (Subscript[n, q]) ∈ ℕ  mit  (1/(Subscript[n, q])) <  ε . Das Intervall  [0, 1]  enthält nur endlich viele Brüche der Gestalt  (r/s)  (r, s teilerfremd) mit Nennern  s < (Subscript[n, q]) .  Es sei  \(TraditionalForm\`δ := \(\(min\)\(\ \)\)\+\(\(\ \)\(s < n\_q\)\)\ \ \(\((\(|\)\(\ \)\(x\_0 - 
                  r\/s\)\(\ \)\(|\)\ )\)\(\ \ \)\(.\)\)\) 
Nun ist   0 ≤  f(x) < (1/(Subscript[n, q]))  für  x∈[0, 1] ⋂[] (Subscript[x, 0])-δ, (Subscript[x, 0])+δ [] ,
 d.h.
	\(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(f(x) - 
          f(x\_0)\)\(\ \)\(|\)\(\(<\)\(\(|\)\(\ \)\(f(x) - 
              0\)\(\ \)\(|\)\(\(<\)\(1\/n\_q\)\(<\)\(\(ε\)\(\ \ \)\(.\)\)\)\)\)\)\)

◼

Satz 4.6:
Es seien  I := [a,  b] und  f : I → ℝ .  f  sei bei  (Subscript[x, 0])  stetig. Ist f((Subscript[x, 0])) > 0 , so gibt es ein  \(TraditionalForm\`\(δ\^+\) > 0\) , so dass  f(x) > 0  für alle  x∈I⋂\([x\_0 - \(δ\^+\), 
              x\_0 + \(δ\^+\)]\) . Ist f((Subscript[x, 0])) < 0 , so gibt es ein  \(TraditionalForm\`\(δ\^-\) > 0\) , so dass  f(x) < 0  für alle  x∈I⋂\(\([x\_0 - \(δ\^-\), 
                x\_0 + \(δ\^-\)]\)\(\ \ \)\(.\)\) 

Beweis für  f((Subscript[x, 0])) > 0 :

Es sei  ε :=  ((f((Subscript[x, 0])))/2). Dann gibt es ein  δ > 0 ,  so dass für alle  x ∈ I mit  | x - 
          (Subscript[x, 0 ])|< δ  gilt:

	\(TraditionalForm\`\(\(\(\(|\)\(\ \)\(f(x) - 
            f(x\_0)\)\(\ \)\(|\)\(\(<\)\(ε\)\)\) = \(f(x\_0)\)\/2\)\(\ \ \)\(,\)\)\) 
	
d.h.	 -((f((Subscript[x, 0])))/2) < 
        f(x) - f((Subscript[x, 0])) <  ((f((Subscript[x, 0])))/2)

also	0 <  ((f((Subscript[x, 0])))/2) < 
        f(x) <  (3/2) f((Subscript[x, 0]))  .

Es sei nun  \(TraditionalForm\`\(δ\^+\) := δ\/2\) , dann gilt  \([x\_0 - \(δ\^+\), x\_0 + \(δ\^+\)]\)  ⊂[] (Subscript[x, 0])-δ, (Subscript[x, 0])+δ [] und damit für alle  x∈I⋂\([x\_0 - \(δ\^+\), 
              x\_0 + \(δ\^+\)]\)  erst recht die letzte Ungleichung.

Der Fall  f((Subscript[x, 0])) < 0  wird analog bewiesen.

◼

Als Sprechweise hat sich eingebürgert die

Definition 4.3:
OFFENE bzw. ABGESCHLOSSENE UMGEBUNG.
Das offene Intervall [] (Subscript[x, 0])-δ, (Subscript[x, 0])+δ []wird OFFENE δ–Umgebung von  (Subscript[x, 0])  genannt. Das abgeschlossene Intervall  [(Subscript[x, 0]) - δ,  
        (Subscript[x, 0]) + δ]  heißt ABGESCHLOSSENE δ–Umgebung von  (Subscript[x, 0]) .

Satz 4.6 läßt sich dann folgendermaßen merken: Wenn eine Funktion  f  in  (Subscript[x, 0])  stetig und ungleich Null ist, dann ist sie auch in einer ganzen abgeschlossenen Umgebung von  (Subscript[x, 0])  ungleich Null.

Der Zusammenhang zwischen Grenzwerten von Folgen und Grenzwerten von Funktionen wird hergestellt von dem wichtigen und nützlichen

Satz 4.7:
Folgenkriterium für Grenzwerte von Funktionen.
Es seien  I := [a,  b] und  f : I → ℝ , (Subscript[x, 0]) ∈ I und  \(TraditionalForm\`φ ∈ \(\(ℝ\)\(\ \ \)\(.\)\)\)
Genau dann gilt	(Underscript[lim , x→(Subscript[x, 0])])f(x)=φ  , 
wenn 			lim (f(
              (Subscript[x, n])))=φ  
für JEDE  Folge  ((Subscript[x, n])) mit  (Subscript[x, n]) ∈ I , (Subscript[x, n]) ≠  (Subscript[x, 0])  und  lim((Subscript[x, n])) = (Subscript[x, 0]) gilt.

Beweis:
1.Beweisteil: 
Es gelte mit den Bezeichnungen der Behauptung  (Underscript[lim , x→(Subscript[x, 0])])f(x)=φ . Dann gibt es zu jedem  ε > 0 ein  δ > 0 , so dass  | f(
            x) - φ |<ε  für alle  x ∈ I mit \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(x - 
          x\_0\)\(\ \)\(|\)\(\(<\)\(\ \)\(\(δ\)\(\ \ \)\(.\)\)\)\)\)
Es sei  ((Subscript[x, n]))  eine beliebige Folge mit  (Subscript[x, n]) ∈ I , (Subscript[x, n]) ≠  (Subscript[x, 0]) und  lim((Subscript[x, n])) = (Subscript[x, 0]) . Da  lim((Subscript[x, n])) = (Subscript[x, 0])  und  (Subscript[x, n]) ≠  (Subscript[x, 0]) , gibt es zu  δ > 0  ein \(TraditionalForm\`\(\(n\_0 ∈ ℕ\)\(\ \ \)\(,\)\)\) so dass  0< |  
        (Subscript[x, n]) - (Subscript[x, 0])  | <δ  für alle  n ≥ (Subscript[n, 0])  gilt. Damit gilt für alle diese  (Subscript[x, n])  auch \(TraditionalForm\`\(\(\(|\)\(\ \)\(f(
            x\_n) - φ\)\(\ \)\(|\)\(\(<\)\(\ \)\(ε\)\)\)\(\ \ \)\(,\)\)\)
d.h.		lim (f(
              (Subscript[x, n]))) = φ  . 

2. Beweisteil: 
Es wird vorausgesetzt, dass für jede Folge ((Subscript[x, n])) der in der Behauptung beschriebenen Art auch  lim ( f((Subscript[x, n])) ) = φ   gilt. 
Der Beweis wird nun indirekt geführt!
Annahme:  f  habe bei  (Subscript[x, 0])  keinen Grenzwert  φ . 
D.h.: Es gilt nicht: Zu jedem  ε > 0  gibt es ein  δ > 0 , so dass für alle  x ∈ I mit  0< |  
        x - (Subscript[x, 0])  | <δ  auch | f(
            x) - φ |<ε  gilt. 
Also gibt es ein  \(TraditionalForm\`ε\&_ > 0\) , so dass nicht gilt: Es gibt ein  δ > 0 , so dass für alle  x ∈ I mit   0< |  
        x - (Subscript[x, 0])  | <δ  auch \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(f(
            x) - φ\)\(\ \)\(|\)\(\(<\)\(ε\&_\)\)\)\)  gilt.  
D.h. es gibt ein  \(TraditionalForm\`ε\&_ > 0\) , so dass für alle  δ > 0  gilt: Nicht für alle  x ∈ I mit  0< |  
        x - (Subscript[x, 0])  | <δ  gilt auch  \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(f(
            x) - φ\)\(\ \)\(|\)\(\(<\)\(\(ε\&_\)\(\ \ \)\(.\)\)\)\)\) Dies wiederum bedeutet: Es gibt ein  \(TraditionalForm\`ε\&_ > 0\) , so dass es zu jedem  δ > 0 ein  (Subscript[x, δ])  gibt mit  0< |  
        (Subscript[x, δ]) - (Subscript[x, 0])  | <δ und  \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(f(
            x\_δ) - φ\)\(\ \)\(|\)\(\(≥\)\(\ \)\(\(ε\&_\)\(\ \ \)\(.\)\)\)\)\) Also gibt es insbesondere zu jedem  (Subscript[δ, n]) := (1/n) ein  (Subscript[x, n]) ∈ I mit  0< |  
        (Subscript[x, n]) - (Subscript[x, 0])  | <(Subscript[δ, n])  und  \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(f(
            x\_n) - φ\)\(\ \)\(|\)\(\(≥\)\(\(ε\&_\)\(\ \ \)\(.\)\)\)\)\) 
Damit gilt aber  lim((Subscript[x, n])) = (Subscript[x, 0])  und die Folge  (f((Subscript[x, n])))  hat nicht den Grenzwert  φ , im Widerspruch zur Voraussetzung in diesem Beweisteil.

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Mit Quantoren läßt sich die obige Argumentationskette mit Bedacht so darstellen:

¬    ( (Underscript[∧, ε  >  0])   (Underscript[∨ , δ  >  0])   (Underscript[∧ , x  ∈  I])  0< |  
        x - (Subscript[x, 0])  | <δ  :  | f(x) - 
          f((Subscript[x, 0])) |< ε  )



	 (Underscript[∨, \(ε\&_\  > \ 0\)])   (Underscript[∧ , δ  >  0])   (Underscript[∨ , (Subscript[x, δ])  ∈  I]) 0< |  
        (Subscript[x, δ]) - (Subscript[x, 0])  | <δ : \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(f(x\_δ) - 
          f(x\_0)\)\(\ \)\(|\)\(\(≥\)\(\ \)\(ε\&_\)\(\ \)\)\)\) 
	 
Versuchen Sie bitte die fehlenden Zwischenschritte einzutragen.

Die Anwendung von Satz 4.7 auf stetige Funktionen liefert

Satz 4.8:
Folgenkriterium für stetige Funktionen.
Es seien  I := [a,  b] und  f : I → ℝ und  (Subscript[x, 0]) ∈ I  .
Genau dann ist  f  stetig bei  (Subscript[x, 0]) ,

wenn		 lim (f((Subscript[x, n]))) =  f( 
            lim((Subscript[x, n])) )=f((Subscript[x, 0]))  

für JEDE Folge  ((Subscript[x, n])) mit  (Subscript[x, n]) ∈ I und  lim((Subscript[x, n])) = (Subscript[x, 0]) gilt.

Der Beweis folgt direkt aus Satz 4.7 mit der Definition der Stetigkeit.

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Zu beachten ist, dass in diesem Fall nicht  – wie in Satz 4.7 – ausgeschlossen ist, dass  (Subscript[x, n]) =  (Subscript[x, 0])  .

Satz 4.9:
Regeln für stetige Funktionen
Es seien  I := [a,  b] und  f, g : I → ℝ , (Subscript[x, 0]) ∈ I und  f , g  stetig bei  (Subscript[x, 0]). Es sei noch  λ ∈ ℝ .
Dann gilt:

(i)	  λ·f  ist bei  (Subscript[x, 0])  stetig, d.h.
	  (Underscript[lim , x→(Subscript[x, 0])])(λ·f)(x)=(Underscript[lim , x→(Subscript[x, 0])]) λ·f(x) =λ·(Underscript[lim , x→(Subscript[x, 0])])f(x) .
	  
(ii)	  f + g  ist bei  (Subscript[x, 0])  stetig, d.h.
	 (Underscript[lim , x→(Subscript[x, 0])])(f + g)(x)=(Underscript[lim , x→(Subscript[x, 0])])(f(x) + g(x))=(Underscript[lim , x→(Subscript[x, 0])])f(x)+(Underscript[lim , x→(Subscript[x, 0])])g(x)=f((Subscript[x, 0])) + g((Subscript[x, 0])) = (f + g) ((Subscript[x, 0])) .
	  
(iii)	f · g  ist bei  (Subscript[x, 0])  stetig, d.h.
	(Underscript[lim , x→(Subscript[x, 0])])(f·g)(x)=(Underscript[lim , x→(Subscript[x, 0])])(f(x)·g(x))=(Underscript[lim , x→(Subscript[x, 0])])f(x)·(Underscript[lim , x→(Subscript[x, 0])])g(x)=f((Subscript[x, 0]))·g(
                    (Subscript[x, 0])) = (f·g) ((Subscript[x, 0])) .
	
(iv)	Falls  g((Subscript[x, 0])) ≠  0 ,  ist  (f/g)  bei  (Subscript[x, 0])  stetig, d.h. 

	(Underscript[lim , x→(Subscript[x, 0])])((( f)/( g)))(x)=(Underscript[lim , x→(Subscript[x, 0])])\((\(\(\ \)\(f(x)\)\)\/\(\(\ \)\(g(x)\)\))\)=(((Underscript[lim , x→(Subscript[x, 0])])f(x))/((Underscript[lim , x→(Subscript[x, 0])])g(x)))=\(\(\(\ \)\(f(x\_0)\)\)\/\(\(\ \)\(g(x\_0)\)\) = \(\(\(\ \ \)\(f\)\)\/\(\(\ \)\(g\)\)\) \(\((x\_0)\)\(\ \ \)\(.\)\)\)

Die Beweise sind direkte Folgerungen aus den Sätzen 4.8 und 1.2.9 . (i) läßt sich auch einfach mit (iii) beweisen. Es ist hier so angeführt, um die vollständige Analogie zu Satz 1.2.9 zu erhalten.
Bei (iv) ist zu beachten, dass  g  nach Satz 4.6 nicht nur bei  (Subscript[x, 0]) , sondern in einer ganzen abgeschlossenen Umgebung von  (Subscript[x, 0])  ungleich Null ist.

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Satz 4.10:
Verkettung stetiger Funktionen
Es seien  I := [a,  b] ,  J := [c, d]  und  g : I → ℝ , f : J → ℝ . g  sei stetig bei  (Subscript[x, 0]) ∈ I und  g(x) ∈  J für alle  x ∈ I  . f  sei  bei  g((Subscript[x, 0]))  stetig. Dann ist auch  f∘g  bei  (Subscript[x, 0])  stetig.

Beweis:
Es sei  (Subscript[x, 0]) ∈ I .  Es sei  ((Subscript[x, n]))  eine beliebige Folge mit  (Subscript[x, n]) ∈ I  und  lim ((Subscript[x, n])) = (Subscript[x, 0])  .
Dann gilt  g((Subscript[x, n])) ∈ J  für alle  n .  Da  g  stetig bei  (Subscript[x, 0]) ,  gilt  (Underscript[lim , x→(Subscript[x, 0])])g(x)=g((Subscript[x, 0]))  . Nach dem Folgenkriterium (Satz 4.8) folgt, da  f  bei  g((Subscript[x, 0]))  stetig ist, auch 
	  (Underscript[lim , x→(Subscript[x, 0])])(f∘g)(x)=(Underscript[lim , x→(Subscript[x, 0])])f(g(x))=f ( (Underscript[lim , x→(Subscript[x, 0])])g(x))=f(
                  g((Subscript[x, 0]))) = (f∘
                      g) ((Subscript[x, 0]))  .

◼

Als Folgerung der Sätze 4.9 und 4.10 ergibt sich die Stetigkeit der elementaren Funktionen wie Polynomfunktionen und rationalen Funktionen. Darauf wird später noch eingegangen.

Oft herrscht die falsche Vorstellung "eine stetige Funktion sei in einem Zug durchziehbar"; das soll heißen: Der Graph der Funktion läßt sich ohne abzusetzen zeichnen. Beispiel 4.7 möge dagegen genügend Bedenken erwecken. Die falsche Vorstellung wird jedoch durch den folgenden – richtigen! – Satz genährt.

Satz 4.11:
Zwischenwertsatz
Es seien  I := [a,  b] und  f : I → ℝ  auf  I  stetig.   
z i)	Es gelte  f(a) < 0 < f(b) . 
	Dann gibt es ein  (Subscript[x, 0])∈ []a, b  []mit  f((Subscript[x, 0])) = 0 .
z ii)	Es seien nun  f(a) = :α  und  f(b) = :β  und  \(TraditionalForm\`α ≠ \ \(\(β\)\(\ \)\(.\)\)\) 
	Dann gibt es zu JEDEM  γ  zwischen  α  und  β  ein  (Subscript[x, γ])∈ []a, b []mit  f((Subscript[x, γ])) = γ  .

Diese Eigenschaft auf Intervallen stetiger Funktionen wird die Zwischenwerteigenschaft genannt.

Beweis zu z i): 
Mit Hilfe der sog. Intervallhalbierungsmethode wird eine Intervallschachtelung für eine Nullstelle von  f  konstruiert. Dieses Verfahren soll zuerst am Beispiel der folgenden Grafik motiviert werden. Es sind von Ihnen noch einige Bezeichnungen in die Grafik einzutragen.

Es werden zwei Folgen  ((Subscript[u, n]))  und  ((Subscript[o, n]))  (entsprechend unten und oben) mit (Subscript[u, n]), (Subscript[o, n]) ∈ I  konstruiert, für die gilt
(i)		a ≤  (Subscript[u, n]) ≤  
        (Subscript[u, n + 1]) ≤  (Subscript[o, n + 1]) ≤ 
        (Subscript[o, n]) ≤ b  ,
(ii) 	\(TraditionalForm\`\(\(	\)\(\(o\_n - 
          u\_n = \(1\/2\^n\) \((b - a)\)\)\(\ \ \)\(,\)\)\)\)
(iii)		f((Subscript[u, n])) ≤ 
        0 ≤ f((Subscript[o, n]))  .

(i) bedeutet insbesondere, dass die Folgen  ((Subscript[u, n]))  und  ((Subscript[o, n]))  monoton und beschränkt sind. Sie sind also auch konvergent und es gelte
		u := lim ((Subscript[u, n]))  und  o := lim ((Subscript[o, n]))  .

Nun die rekursive Konstruktion der Folgen  ((Subscript[u, n]))  und  ((Subscript[o, n])) :  
Am Anfang seien  (Subscript[u, o]) :=  a und  (Subscript[o, 0]) :=  b  gesetzt. Es seien nun für ein  n ∈ (Subscript[ℕ, 0])  (Subscript[u, n]) und  (Subscript[o, n])  schon definiert. 
Dann sei  (Subscript[m, n]) :=  (1/2) ((Subscript[u, n]) + (Subscript[o, n])) .  (Subscript[m, n]) ∈ I  gilt trivialerweise.
1. Fall: f((Subscript[m, n])) ≤ 0 . Dann wird  (Subscript[u, n + 1]) := (Subscript[m, n])  gesetzt und  (Subscript[o, n + 1]) := (Subscript[o, n]) .
2. Fall: f((Subscript[m, n])) > 0 . Dann wird  (Subscript[u, n + 1]) := (Subscript[u, n])  und  (Subscript[o, n + 1]) := (Subscript[m, n])  gesetzt.

Die so konstruierten Folgen  ((Subscript[u, n]))  und  ((Subscript[o, n])) erfüllen qua Konstruktion die Bedingungen (i) und (iii).
Durch Induktion wird (ii) bewiesen:
I:	Induktionsanfang:  n = 0 . Dann gilt  (Subscript[o, 0]) - 
          (Subscript[u, 0]) = b - a = (1/(2^0)) (b - a) .
II:	Induktionsschritt: Für  ein  n ∈ (Subscript[ℕ, 0])  gelte  (Subscript[o, n]) - (Subscript[u, n]) = (1/(2^n)) (b - a) .
Dann folgt für

	(Subscript[o, n + 1]) - (Subscript[u, n + 1])={({{ (Subscript[o, n]) - ((Subscript[u, n]) + (Subscript[o, n]))/2 = ((Subscript[o, n]) - (Subscript[u, n]))/
                            2    im Fall 1}, {((Subscript[u, n]) + (Subscript[o, n]))/2  -  
                          (Subscript[u, n]) = ((Subscript[o, n]) - (Subscript[u, n]))/2    im Fall 2}})   ,

also in jedem Fall

 	(Subscript[o, n + 1]) - 
          (Subscript[u, n + 1]) = (1/2) ((Subscript[o, n]) - 
                (Subscript[u, n])) = (1/(2^(n + 1))) (b - 
                  a)  .
 
Mit (ii) folgt nun sofort die Existenz eines  (Subscript[x, 0])  mit  lim ((Subscript[u, n]))=(Subscript[x, 0])=lim ((Subscript[o, n]))  .
Mit (iii) und der Stetigkeit von  f  folgt  lim (f((Subscript[u, n])))=lim (f((Subscript[o, n]))) .
Andererseits folgt mit (iii)   lim (f((Subscript[u, n])))≤0  und   lim (f((Subscript[o, n]))) ≥ 0 .
Also ergibt sich insgesamt   0=lim (f((Subscript[u, n])))= f(lim ((Subscript[u, n]))) = f((Subscript[x, 0])) .
Der Beweis zu z ii) folgt als Verallgemeinerung aus z i):
1. Fall: Es gelte  α := f(a)  < 
            f(b)  = : β  und es sei  γ∈ []α, β []. Für  x ∈ I  sei  \(TraditionalForm\`\(f\&~\)(x) := 
        f(x) - \(\(γ\)\(\ \ \)\(.\)\)\) Dann gilt  \(TraditionalForm\`\(\(\(f\&~\)(a) = 
        f(a) - γ < 0\)\(\ \ \)\(,\)\)\)  \(TraditionalForm\`\(\(\(f\&~\)(b) = 
        f(b) - γ > 0\)\(\ \ \)\(,\)\)\) und es gibt nach (i) ein  (Subscript[x, 0])  mit  \(TraditionalForm\`0 = \(\(f\&~\)(x\_0) = f(x\_0) - γ\)\) , d.h. f((Subscript[x, 0])) = γ  .

2. Fall: Es gelte  f(a) >f(b) . Dann wird analog zu Fall 1 verfahren bei entsprechender Umbenennung einiger Bezeichnungen.

◼

Ohne Beweis sei noch der folgende Satz angeführt:

Satz 4.12:
Es seien  I := [a,  b] und  f : I → ℝ  auf  I  stetig.  Dann gibt es  \(TraditionalForm\`x\+_\ , x\&_ ∈ I\ , \) so dass für alle  x ∈ I folgt
 	\(TraditionalForm\`f(x\+_) ≤ 
        f(x) ≤ \(\(f(x\&_)\)\(\ \ \)\(.\)\)\)
Werden noch  \(TraditionalForm\`c := f(x\+_)\) und  \(TraditionalForm\`d := f(x\&_)\)  gesetzt, so folgt mit dem Zwischenwertsatz (Satz 4.11) weiterhin, dass es zu jedem  φ ∈ [c, d]  ein  (Subscript[x, 0]) ∈ I gibt mit  f((Subscript[x, 0])) = φ  .

Also ist die Wertemenge der stetigen Funktion  f  (definiert auf  [a , b] )  das Intervall  [c , d] .
Kurz wir das so geschrieben:
				f[a, b] = [c, d] .

Aus den letzten beiden Sätzen folgt also als WICHTIGE ERKENNTNIS:
Stetige Funktionen bilden abgeschlossene Intervalle auf abgeschlossene Intervalle ab. Stetige Funktionen nehmen auf abgeschlossenen Intervallen Minimum und Maximum an.