6. Integration

Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 2003 / 4

6.1 Integrale

Wie kann der Flächeninhalt eines Kreises berechnet werden? Das war eine Fragestellung zu Beginn dieser Vorlesung.
Die Kreisgleichung für einen Kreis mit Radius Eins und dem Mittelpunkt  (0, 0)  lautet
		(x^2) + (y^2) = 1 .
Nach  y  aufgelöst ergibt sich  y = (Sqrt[1 - (x^2)])  oder  y = -(Sqrt[1 - (x^2)]) .
Es sei nun für  x ∈ [-1, 1]  die Funktion  f  definiert durch  f(x) := (Sqrt[1 - (x^2)]) .
Den Graphen von  f  sehen Sie im linken Bild:

Es entspricht unserem anschaulichen Verständnis, die Fläche "unter" dem Graphen von  f  (rechtes Bild) als Halbkreis zu interpretieren und dieser Fläche den Wert  (π/2)  zuzuordnen. Diese geometrischen Vorstellungen führen zu den Begriffen Integration und Integral einer Funktion.

Definition 6.1:
INTEGRAL einer positiven, stetigen Funktion
Es seien  I := [a, b] und  f : I → ℝ  stetig. Es gelte  f(x) ≥ 0  für  x ∈ I. Der Flächeninhalt der durch die x-Achse, die Geraden  x = a  und  x = b  sowie durch den Graphen von  f  begrenzten Fläche wird das INTEGRAL von  f  über dem Intervall  [a , b]  genannt; 
in Zeichen
		  (∫_a^b)f(t)dt  .
a  bzw.  b  heißen untere bzw. obere Integrationsgrenze. t  heißt die Integrationsvariable. Sie kann auch  x oder  t oder  u  genannt werden und umbenannt werden, so wie die Summationsvariable  ν  bei Summen  \(TraditionalForm\`\(Σ\+\(ν = 0\)\%n\) a\_ν\)  auch umbenannt werden kann, ohne dass sich der Wert der Summe ändert:

		\(TraditionalForm\`\(Σ\+\(ν = 0\)\%n\) 
          a\_ν = \(Σ\+\(μ = 0\)\%n\) a\_μ\)  ;   (∫_a^b)f(t)dt= (∫_a^b)f(x)dx  .

Das Integralzeichen ∫  ist ein stilisiertes  S . Das kommt von Summe. Das Integralzeichen wurde am 29. 10. 1675 von Gottfried Wilhelm Leibniz in einem Brief eingeführt. Das Zeichen (∫_a^b) wurde 1822 zuerst von Jean Baptiste Fourier (1768 –1830) benutzt.

Eine andere Möglichkeit Integrale zu definieren, besteht darin – anschaulich gesprochen – "die Fläche in kleine Streifen zu zerschneiden" und die Flächeninhalte dieser Streifen aufzusummieren. Von dieser Summe kommt das  S , das dann zum Integralzeichen mutierte. Später wird darauf nochmals kurz eingegangen.

Zum Kennenlernen einiger Eigenschaften des oben definierten Integrals seien auf  I := [0, 1]  die Funktionen  (Subscript[f, 1]) , (Subscript[f, 2])  betrachtet, wobei  (Subscript[f, 1])(x) := x + 1 ,  (Subscript[f, 2])(x) := 
        2 (x + 1) ,  also  (Subscript[f, 2]) = 2·(Subscript[f, 1])  sei.

Es ist geometrisch klar, dass  (∫_0^1)(Subscript[f, 2])(t)dt=(∫_0^1)2·(Subscript[f, 1])(t)dt=2·(∫_a^b)(Subscript[f, 1])(t)dt  .


Es gilt auch in anderen Fällen für  λ > 0   (∫_a^b)λ·f(t)dt=λ·(∫_a^b)f(t)dt  .

Bei	Davis, Bill; Porta, Horacio; Uhl, Jerry
	Calculus&Mathematica 
	Reading: Addison-Wesley, 1994
fand ich eine Funktion  ψ , die in einigen folgenden Grafiken mit leichten Variationen benutzt wird.
Mit der Hilfsfunktion  φ(x):=((x^2)/(1 + (x^2))) für reelle  x  läßt sich  ψ  so darstellen:

ψ(x):=(5/2)2cos(2  x)  φ( cos((4/5)x) )sin( 
                x + sin((4/5) x))+(17/20) (e^(-(((1.85 - x))^2))) .

Diese Funktion wird noch durch additive bzw. multiplikative Konstanten geeignet variiert.

Hier die Grafiken für   (∫_a^b)ψ(t)dt   und   2·\(\(\(∫\)\(\ \)\)\+a\%b\)ψ(t)dt .

Nun seien auf  I := [0, 1]  die Funktionen  (Subscript[f, 1]) , (Subscript[f, 2])  betrachtet, wobei  (Subscript[f, 1])(x) := x + 1 ,  (Subscript[f, 2])(x) := 1 .

Die Graphen motivieren die Beziehung

		 (∫_0^1)( (Subscript[f, 1])(t) + (Subscript[f, 2])(t) )dt= (∫_0^1)(Subscript[f, 1])(t)dt+(∫_0^1)(Subscript[f, 2])(t)dt ,
		 
was auch bei nicht so einfachen Funktionen gilt.

Der Funktion  nix(x) := 0  für  x ∈ [a, b]  wird das Integral Null zugeordnet:

Auch das ist geometrisch sinnvoll.

Wenn nun  f  eine Funktion mit positiven Werten ist, welches Integral ist für die Funktion  – f  sinnvoll?

Wenn auch hier das Integral bloß ein Maß für den Flächeninhalt sein sollte, so ließe sich wieder eine positive Zahl für ein solches Integral  ∮  zuordnen. Man käme dann jedoch zu Widersprüchen: Mit  (Subscript[f, 1])(x) := x , (Subscript[f, 2])(x) := -x und  (Subscript[f, 3])(x) := 0  für  x ∈ [0, 1]  würde folgen:

	0 = (∮_0^1)(Subscript[f, 3])(t) dt =(∮_0^1)((Subscript[f, 1])(t) + (Subscript[f, 2])(t)) dt  ≠ (∮_0^1)(Subscript[f, 1])(t) dt+(∮_0^1)(Subscript[f, 2])(t) dt=(1/2) + (1/2) = 1  .

Dieser Widerspruch löst sich auf, wenn die Fläche unterhalb der x-Achse negativ bewertet wird, also "negative Flächeninhalte" definiert werden:

	0 = (∫_0^1)(Subscript[f, 3])(t) dt =(∫_0^1)((Subscript[f, 1])(t) + (Subscript[f, 2])(t)) dt  = (∫_0^1)(Subscript[f, 1])(t) dt+(∫_0^1)(Subscript[f, 2])(t) dt=(1/2) - (1/2) = 0  .

So läßt sich jetzt sofort (anschaulich) das Integral für stetige Funktionen auf einem Intervall definieren.

Definition 6.2:
INTEGRAL einer stetigen Funktion
Es seien  I := [a, b]  und  f : I → ℝ  stetig. Dann bezeichnet das Symbol
		  (∫_a^b)f(t)dt 
eine reelle Zahl, die INTEGRAL von  f  über  a, b  genannt wird. Diese Zahl beschreibt ein Maß für den Flächeninhalt zwischen der x-Achse, den Geraden  x = a  bzw.  x = b  und dem Graphen von  f .
"Flächenanteile", die unterhalb der x-Achse liegen, werden dabei negativ bewertet.

Beispiel 6.1:
Beachten Sie, dass ein solches Integral sich z.B. aus unendlich vielen "Flächenstücken" zusammensetzen kann. Es seien  a = 0  und  b  geeignet und  f(t):=t·sin((1/t)) für  t ≠ 0  mit  f(t) = 0  . Nach Beispiel 4.5 ist  f  stetig bei Null.

Für derart einfache Funktionen wie  sign  ist aber bisher noch kein Integral definiert, obwohl anschaulich eine Integraldefinition naheliegt.

Nun sollen für zwei Funktionen die Integrale ausgerechnet werden: Es seien  a, b, c ∈ ℝ und  (Subscript[f, 1])(x) := c  , (Subscript[f, 2])(x):=x  für  x ∈ [a, b] . Dann folgt anschaulich (siehe das nächste linke Bild)

		(∫_a^b)(Subscript[f, 1])(t) dt =(∫_a^b)c dt  =c·(b - a)  .
				
Falls  0 ≤ a ≤ b , folgt (siehe rechtes Bild)
		
		(∫_a^b)(Subscript[f, 2])(t) dt =(∫_a^b)t dt  =(1/2) (b^2)  - (1/2) 
                (a^2) = (1/2) ((b^2) - (a^2))  .
		
In allen anderen Fällen folgt auch

		(∫_a^b)(Subscript[f, 2])(t) dt =(1/2) ((b^2) - (a^2))  .

Beispiel 6.2:
Drei elementare Ungleichungen
Es seien  I := [a, b] und  f : I → ℝ  stetig. Es sei  | f(
          t) |≤M  für ein  M  und alle  t ∈ I . 
Dann gilt
(i)			(∫_a^b)| f(t) |dt ≤ M·(b - 
              a)  , 
(ii)			| (∫_a^b) f(t) dt |≤ M·(b - 
                  a)  
und
(iii)			| (∫_a^b) f(t) dt |≤(∫_a^b)| f(t) |dt  .
		
Zu (i):
Gilt  | f(
          t) |≤ M, dann liegt die Fläche unter dem Graphen von  | f |   in dem Rechteck mit den Ecken  (a, 0) , (b, 0) , (b, M) ,(a, M)  und dessen Flächeninhalt ist  M·(b - a)  .
Zu (ii):
Gilt  -M ≤ f(t) ≤ M, so liegt der Graph von  f  im Rechteck mit den Ecken  (a, –M) , (b, –M) , (b, M) , (a, M) . Der Betrag der Fläche "unter" dem Graphen von  f  wird am größten, wenn die Werte  f(t)  alle das gleiche Vorzeichen haben, dann können sich keine positiv und negativ bewerteten Flächenstücke "kompensieren". Also ist  M·(b - a)  wieder eine obere Schranke für das Integral.
Zu (iii):
Wenn alle  f(t)  das gleiche Vorzeichen besitzen, dann gilt in (iii) das Gleicheitszeichen. Im anderen Falle vergleichen Sie die beiden folgenden Bilder. Dann wird die Ungleichung anschaulich klar.

Was ist nun, wenn mit einem  c ,  a < c < b  das Intervall  [a, b]  in zwei Intervalle  [a, c]  und  [c, b]  zerlegt wird?

Anschaulich ist klar, dass dann auch 

		  (∫_a^b)f(t)dt =  (∫_a^c)f(t)dt  +  (∫_c^b)f(t)dt
		
gilt. Damit folgt

		 (∫_a^c)f(t)dt =  (∫_a^b)f(t)dt  –  (∫_c^b)f(t)dt 
		
und die rechte Seite motiviert nun

		– (∫_c^b)f(t)dt =  (∫_b^c)f(t)dt  ,
		
denn dann folgt
		 (∫_a^c)f(t)dt =  (∫_a^b)f(t)dt  +  (∫_b^c)f(t)dt  ,
so dass mit dieser Interpretation die bisher benutzte Konvention "die untere Integrationsgrenze ist kleiner als die obere" fallengelassen werden kann.
Insbesondere folgt damit etwas, was anschaulich auch wieder klar ist ("eine Linie ist keine Fläche")

		 (∫_a^a)f(t)dt=0  ,
da		 (∫_a^a)f(t)dt= (∫_a^b)f(t)dt  + (∫_(b )^a)f(t)dt= (∫_a^b)f(t)dt -  (∫_a^b)f(t)dt=0  .

6.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Für eine auf  I := [a, b]  reelle, stetige Funktion  f  wird nun eine Funktion  F : I -> ℝ  definiert durch
		F(x) := (∫_a^x)f(t) dt  .
Mit dieser Funktion läßt sich der Zusammenhang von Differentiation und Integration herstellen.

Das Mathematica-Programm für die folgenden Grafiken bzw. für die entsprechende Animation ist eine Erweiterung des Progamms  AreaAccumulationMovie von Packel, Wagon aus dem Buch Animating Calculus.

Satz 6.1:
Hauptsatz der Differentialrechnung und Integralrechnung, Teil 1
Es seien  I := [a, b] und  f : I → ℝ  stetig. Weiterhin sei für  x ∈ I  die Funktion  F  definiert durch
		F(x) := (∫_a^x)f(t) dt  .
Dann ist  F  auf  I  differenzierbar und es gilt dort  F' = f  .

Beweis: 
Es sei ein beliebiges  (Subscript[x, 0]) ∈ I  fest gewählt und  x ∈ I mit  x ≠ (Subscript[x, 0]) . Die Behauptung läßt sich nun mit diesen Bezeichnungen so formulieren:
			(Underscript[(lim ), x -> (Subscript[x, 0])])(((F(x)  - F((Subscript[x, 0])))/(x - (Subscript[x, 0])))-f((Subscript[x, 0])))=0  .
			
Durch geschicktes Umformen wird diese Gleichung beweisbar sein:

Es gilt	 	F(x) - F((Subscript[x, 0]))= (∫_a^x)f(t) dt-(∫_a^((Subscript[x, 0])))f(t) dt=(∫_((Subscript[x, 0]))^x)f(t) dt 

und		(∫_((Subscript[x, 0]))^x)f((Subscript[x, 0])) dt=f((Subscript[x, 0])) (x - (Subscript[x, 0]))  ,
wie aus einem obigen Beispiel mit  c = f((Subscript[x, 0]))  und  (Subscript[x, 0])  anstelle von  a  bzw.  x  anstelle von  b  folgt. 
Damit ist
	((F(x)  - F((Subscript[x, 0])))/(x - (Subscript[x, 0])))-f((Subscript[x, 0]))=(1/(x - (Subscript[x, 0])))(∫_((Subscript[x, 0]))^x)f(t) dt-(1/(x - (Subscript[x, 0])))(∫_((Subscript[x, 0]))^x)f((Subscript[x, 0])) dt
			=(1/(x - (Subscript[x, 0])))(∫_((Subscript[x, 0]))^x)( f(t) - f((Subscript[x, 0])) ) dt  .
Nun wird nach längerer Zeit mal wieder etwas Epsilontik getrieben:  f  ist in  (Subscript[x, 0])  stetig: Also gibt es zu jedem  ε > 0  ein  δ > 0 , so dass für alle  t∈I⋂[](Subscript[x, 0])-δ,(Subscript[x, 0])+δ []immer | f(t) - 
          f((Subscript[x, 0])) |< ε  gilt. Mit  \(TraditionalForm\`δ\&_ := δ\/2\)  folgt erst recht für alle  t∈I⋂ \([x\_0 - δ\&_, x\_0 + δ\&_]\)  immer | f(t) - 
          f((Subscript[x, 0])) |< ε .
Schließlich folgt für diese  t  und damit, falls  x∈I⋂ \([x\_0 - δ\&_, 
                x\_0 + δ\&_]\) : 
	          | ((F(x)  - F((Subscript[x, 0])))/(x - (Subscript[x, 0])))-f((Subscript[x, 0])) |=| (1/(x - (Subscript[x, 0])))(∫_((Subscript[x, 0]))^x)( f(t) - f((Subscript[x, 0])) ) dt |
	          
	          				≤  (1/(| x - (Subscript[x, 0]) |))(∫_((Subscript[x, 0]))^x) |f(t) - f((Subscript[x, 0])) |dt 
	          				
					≤ (1/(| x - (Subscript[x, 0 ])|))·ε·| x - (Subscript[x, 0])| = ε	
						   	
nach obigem Beispiel 6.2. 
Also gilt
 		(Underscript[(lim ), x -> (Subscript[x, 0])])(((F(x)  - F((Subscript[x, 0])))/(x - (Subscript[x, 0])))-f((Subscript[x, 0])))=0  ,
was zu beweisen war.

◼

Nun soll noch ein zweiter, etwas "anschaulicherer" Beweis folgen.

Wie oben errechnet sich
		((F(x)  - F((Subscript[x, 0])))/(x - (Subscript[x, 0])))-f((Subscript[x, 0]))=(1/(x - (Subscript[x, 0])))(∫_((Subscript[x, 0]))^x)( f(t) - f((Subscript[x, 0])) ) dt  .
Nun werde der Einfachheit halber der Spezialfall angenommen, dass es für  t ∈ [(Subscript[x, 0]), x]  (mit  (Subscript[x, 0])<x ) wegen der Stetigkeit von  f  auf  I  mit Satz 4.12 von  (Subscript[x, 0])  und  x  abhängende Zahlen  m,  M  gibt mit
		0 ≤ m ≤ 
        f(t) ≤ M  .
Dann folgt wieder anschaulich
		(x - 
              (Subscript[x, 0]))·m≤ (∫_((Subscript[x, 0]))^x) f(t) dt≤ (x - (Subscript[x, 0]))·M
oder		m≤(1/(x - (Subscript[x, 0]))) (∫_((Subscript[x, 0]))^x) f(t) dt≤ M ,

d.h.		m≤((F(x)  - F((Subscript[x, 0])))/(x - (Subscript[x, 0])))≤M  .
Anschaulich folgt jetzt
		f(
          (Subscript[x, 0]))  = (Underscript[(lim ), x -> (Subscript[x, 0])])m≤(Underscript[(lim ), x -> (Subscript[x, 0])])((F(x)  - F((Subscript[x, 0])))/(x - (Subscript[x, 0])))≤(Underscript[(lim ), x -> (Subscript[x, 0])]) M=f((Subscript[x, 0]))
und damit
		f(
          (Subscript[x, 0]))  = (Underscript[(lim ), x -> (Subscript[x, 0])])((F(x)  - F((Subscript[x, 0])))/(x - (Subscript[x, 0])))  ,
was zu beweisen waäre.
Überlegen Sie sich, wo in dieser Form eines Beweises die Anschauung sehr stark strapaziert wird. Überlegen Sie auch, wie vom behandelten Spezialfall auf den allgemeinen Fall geschlossen werden kann.

□

Definition 6.3:
STAMMFUNKTION, UNBESTIMMTES INTEGRAL
Es seien  I := [a, b] und  f, F : I → ℝ .  Auf  I  seien  F  differenzierbar und  f  stetig.
F  heißt eine STAMMFUNKTION zu  f  auf  I , wenn 
		F' = f .
Wenn  F  eine Stammfunktion zu  f  auf  I  ist, dann ist auch für jedes  c ∈ ℝ  die Funktion  H  mit  H(x) := F(x) + c  eine Stammfunktion, denn  H' = F' = f .
Statt von Stammfunktionen, wird auch von UNBESTIMMTEN INTEGRALEN gesprochen.

Satz 6.2:
Hauptsatz der Differentialrechnung und Integralrechnung, Teil 2
Es seien  I := [a, b] und  f : I → ℝ  stetig. Es sei  F  eine Stammfunktion zu  f  auf  I . Dann gilt für jedes  c ∈ I 
		(∫_a^c)f(t) dt=F(c) - F(a)  .
also insbesondere
		(∫_a^b)f(t) dt=F(b) - F(a)  .

Beweis: 
Nach dem vorigen Satz ist  Φ(x):= (∫_a^x)f(t) dt  eine Funktion auf  I  mit  Φ'=f , d.h.  Φ  ist eine spezielle Stammfunktion zu  f  auf  I . Nach Korollar 5.2 unterscheiden sich zwei Stammfunktionen  F  und  Φ  nur um eine Konstante, etwa  γ , d.h.  F=Φ+γ . Nun ist  Φ(a)=0  und  Φ(c)=(∫_a^c)f(t) dt  und es folgt
		
		(∫_a^c)f(t) dt=Φ(c)-Φ(a)=(F(c) - γ) - (F(a) - γ) = 
              F(c) - F(a)  .

◼

Mit diesem Satz lassen sich jetzt sofort viele Integrale berechnen.

Beispiel 6.3:
Auf  ℝ  gilt  sin' = cos  und  cos' = –sin . Also gilt:

		(∫_a^b) cos(t) dt=sin(b) - sin(a)  ,   (∫_a^b)sin(t) dt=-(cos(b) - cos(a)) = 
            cos(a) - cos(b)  .

Beispiel 6.4:
Auf  ℝ  gilt mit \(TraditionalForm\`\(\(\ \)\(n ∈ ℕ\)\)\) und   (Subscript[f, n + 1])(x) := (1/(n  +  1)) 
          (x^(n + 1)) und  (Subscript[f, n + 1]^(\(\ \ \_'\)))(x):=(x^n), d.h.
		(∫_a^b)(t^n)dt=(1/(n  +  1)) ( 
                (b^(n + 1)) - (a^(n + 1)) )  .

Schreibweise:
Statt  F(b) - F(a)  wird häufig  F(x) |(Underoverscript[i, a, b])  oder  F |(Underoverscript[i, a, b])  geschrieben.

Satz 6.2 läßt sich nun auch noch anders interpretieren: Es ist dort ja  F' = f  und
		(∫_a^b)f(t) dt=F(b) - F(a) 
also		 (∫_a^b)F'(t) dt=F(b) - F(a)  .

6.3 Integrationsregeln

Die Produktregel und die Kettenregel der Differentiation lassen sich so merken: 
		(f·g)' = 
        f'·g + g'·f   bzw.   (f∘g)' = 
        g'·f'∘g  .
		
Auf diese Regeln wird nun der Hauptsatz angewandt.

Satz 6.3:
Partielle Integration, Produktintegration
Es seien  I := [a, b] und  f, g : I → ℝ  auf  I  differenzierbar. Dann gilt
		(∫_a^b)f(t)·g'(t) dt=  f·g |(Underoverscript[i, a, b]) -\(TraditionalForm\`\(\(\ \ \)\(∫\+a\%b\)\)\)f'(t)·g(t)dt  .

Beweis: 
Mit dem Hauptsatz und der Produktregel der Differentiation (Satz 5.3) folgt für alle  t ∈ I
		(f·g)' (t)  = 
        f' (t)·g(t) + g' (t)·f(t)  
		   f·g |(Underoverscript[i, a, b])   =  (∫_a^b)(f·g)'(t)dt=(∫_a^b)f'(t)·g(t)dt+(∫_a^b)g'(t)·f(t)dt  .

◼

Entsprechend folgt aus der Kettenregel

Satz 6.4:
Substitutionsregel
Es seien  (Subscript[I, 1]) := [a, b] , (Subscript[I, 2]) := [c, d]  und  g : (Subscript[I, 1]) → ℝ  f : (Subscript[I, 2]) → ℝ  mit  g((Subscript[I, 1])) ⊂ (Subscript[I, 2]) . Weiterhin seien  g  auf  (Subscript[I, 1])  und  f  auf  (Subscript[I, 2])  differenzierbar. 
Dann gilt
		(∫_a^b)f'(g(t))·g'(t)dt =(∫_(g(a))^(g(b)))f'(t)dt = f |(Underoverscript[i, (g(a)), (g(b))])  .

Beweis:
Mit dem Hauptsatz und der Kettenregel (Satz 5.4) folgt für alle  t ∈ (Subscript[I, 1])
		 (f∘g)' (t) = 
        f' (g(t))·g' (t) 
und damit
 	  f |(Underoverscript[i, (g(a)), (g(b))]) = f∘g |(Underoverscript[i, a, b])  =(∫_a^b)(f∘g)'(t)dt =(∫_a^b)f'(g(t))·g'(t)dt  .
Nun gilt auch    f |(Underoverscript[i, (g(a)), (g(b))]) = (∫_(g(a))^(g(b)))f'(t)dt .

Jetzt wird für die Substitutionsregel eine andere Schreibweise gebraucht. Für geeigntes  φ  sei
 		Φ(x):=(∫_a^b)φ(t) dt  .
Dann ist  Φ'(x)=φ(x)  und die obige Formel ändert sich mit  Φ  anstelle von  f  bzw.  φ  anstelle von  f'  
		(∫_a^b)φ(g(t))·g'(t)dt =  Φ |(Underoverscript[i, (g(a)), (g(b))]) =(∫_(g(a))^(g(b)))φ(t)dt  . 
Wird  nun wieder  f  für  φ  eingesetzt, so erhält die Formel ihr übliches Aussehen, z.B. in Formelsammlungen notiertes Aussehen:

		(∫_a^b)f(g(t))·g'(t)dt =(∫_(g(a))^(g(b)))f(t)dt  .

◼

Jetzt wird für die Substitutionsregel eine andere Schreibweise gebraucht. Für geeigntes  φ  sei
 		Φ(x):=(∫_a^x)φ(t) dt  .
Dann ist  Φ'(x)=φ(x)  und die obige Formel ändert sich mit  Φ  anstelle von  f  bzw.  φ  anstelle von  f'  
		(∫_a^b)φ(g(t))·g'(t)dt = Φ |(Underoverscript[i, (g(a)), (g(b))]) =(∫_(g(a))^(g(b)))φ(t)dt  . 
Wird  nun wieder  f  für  φ  eingesetzt, so erhält die Formel ihr übliches, z.B. in Formelsammlungen notiertes Aussehen:

		(∫_a^b)f(g(t))·g'(t)dt =(∫_(g(a))^(g(b)))f(t)dt  .

Beispiel 6.5:
zur partiellen Integration:
		(∫_a^b)f(t)·g'(t) dt= f·g(Subscript[|, a]^b)  -(∫_a^b)f'(t)·g(t) dt 
Es seien  a := 0 , b := π ,  f(t) := t ,  
      f' (t) = 1 ,  g(t)  := -cos(t) ,  
      g' (t) = sin(t)  .

		     (∫_0^π)t·sin(t) dt =  x·(-cos(x)) |(Underoverscript[i, 0, π]) -(∫_0^π)(-cos(t)) dt
				=π·(-cos(π))-0+(∫_0^π)cos(t) dt
				=π + 1·sin(
              x) |(Underoverscript[i, 0, π])   = π + (sin(π)-sin(0)) = π .

Die hellgraue, krummlinig berandete Fläche hat also den gleichen Flächeninhalt wie der untere Halbkreis, also  (π/2)  .

Beispiel 6.6:
zur  Substitutionsregel:

		(∫_a^b)f'(g(t))·g'(t)dt =(∫_(g(a))^(g(b)))f'(t)dt = f |(Underoverscript[i, (g(a)), (g(b))])  . 
		
Es seien  a := 0 , b := (π/4),  
      f(t) := -cos(t) ,  f' (t) = sin(t) ,  
      g(t)  := 2  t .
		(∫_0^(π/4))sin(2  t)dt=(1/2)(∫_0^(π/4))2·sin(2  t)dt =(1/2)(∫_0^(π/2))sin(t)dt = -(1/2)·cos(x) |(Underoverscript[i, 0, (π/2)])=(1/2)  .

Es seien  a := 1 ,b := 4, f(t) := 1, g(t)  := (Sqrt[t]) ,g' (t)=(1/(2(Sqrt[x]))) .

		(∫_1^4)(dt/((Sqrt[t]))) =(∫_1^4)g'(t)dt =2(∫_1^1)f(g(t))g'(t)dt=2(∫_1^2) 1dt= 2 .

◼

6.4 Logarithmenfunktionen und Exponentialfunktion

Im vorigen Abschnitt wurden Ausdrücke der Gestalt  F(x) := (∫_a^x)f(t) dt  betrachtet.
Jetzt soll ein sehr wichtiger, doch einfacher Spezialfall behandelt werden.
Für  x > 0  sei die Funktion  ℓ  definiert durch

		ℓ(x):=(∫_1^x)(dt/t) .
Später wird sich zeigen, dass hierdurch der natürliche Logarithmus von  x  definiert wird. Doch dazu muss erst Einiges bewiesen werden

Satz 6.5:
(i)	Für alle  x > 0  gilt  ℓ' (x)=(1/x)  und  ℓ  ist dort stetig. 
(ii)	Für alle  a, b > 0   gilt   ℓ(
          a·b) = ℓ(
            a) + ℓ(b)  .
(iii)	Für  n ∈ ℕ  und  x > 0  gilt  ℓ((x^n)) = 
        n·ℓ(x) .
(iv)	Für alle  x > 0  gilt
	(*)		1-(1/x)≤ ℓ(x)≤ x - 1 .
(v)	Es gilt		ℓ(e) = 1 .
(vi)	ℓ  ist strengmonoton wachsend.
(vii)	Mit  \(TraditionalForm\`ℓ\  : \ \(ℝ\^+\) -> ℝ\)  gilt: Der Wertebereich von  ℓ  ist ganz  ℝ ; kurz:  \(TraditionalForm\`ℓ(\(ℝ\^+\))\  = \(\(ℝ\)\(\ \ \)\(.\)\)\)

Die Beweise erfordern unterschiedliche Mühe:

Zu (i): 
Es sind direkte Folgerungen aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und aus Satz 5.2.
Zu (ii): 
Für  a, x > 0  sei  f(x) := ℓ(a·x) . Dann folgt mit der Kettenregel
		f' (x)=(1/(a·x))·a=(1/x)=ℓ' (x) .
Damit unterscheiden sich die Funktionen  f  und  ℓ  nach Korrolar 5.2 nur um eine Konstante, etwa  c , 
d.h.		ℓ(
          a·x) = f(x) = ℓ(x) + c . 
Insbesondere gilt für  x = 1
		ℓ(a) = ℓ(1) + c . 
Nun ist aber  ℓ(1) = (∫_1^1)(dt/t)=0 , also  ℓ(1) = 0  bzw.  c = ℓ(a) . Damit gilt  ℓ(
          a·x) = ℓ(x) + ℓ(a) , woraus die Behauptung (ii) folgt.

Zu (iii): 
Mit  ℓ(a·a) = 
        2  ℓ(a)  nach (ii) , folgt die Behauptung mit einem trivialen Induktionsbeweis.

Zu (vi): 
1. Fall:  a = 1. Dann ist (*) eine triviale, richtige Gleichung.
2. Fall:  a > 1 .

Aus der Grafik folgt  (1/a)(a - 1)≤ℓ(a)=(∫_1^a)(dt/t)≤ (a - 1)·1 ,  d.h.  1-(1/a)≤ℓ(a) ≤ a - 1  .
3. Fall:  0 < a < 1. Dann ist  (1/a)>1  und damit nach dem 2. Fall 

		1-(1/(1/a))≤ℓ((1/a)) ≤ (1/a)-1 .

Mit  0=ℓ(1)=ℓ(a·(1/a))=ℓ(a)+ℓ((1/a))  folgt  ℓ((1/a))=-ℓ(a) , so dass

 		1 - a≤-ℓ(a)≤(1/a)-1  bzw .   1-(1/a)≤ ℓ(a)≤ a - 1  .
 		
Damit ist (*) für alle  a > 0  gültig.

Zu (v):

Nach Satz 1.2.13 gilt  e=lim ((((1+(1/n)))^n)) .

Mit (iv) folgt für  (Subscript[a, n]):=1+(1/n) 

		(1/(n  +  1))=1-(n/(n  +  1))=1-(1/(1  +  (1/n)))=1-(1/((Subscript[a, n])))≤ ℓ((Subscript[a, n])) ≤ (Subscript[a, n]) - 1=(1/n) .
		
Nach Multiplikation mit  n  folgt mit (iii)

		(n/(n + 1))≤n·ℓ((Subscript[a, n]))=ℓ((Subscript[a, n]^n))=ℓ((((1+(1/n)))^n))=n·ℓ((Subscript[a, n])) ≤ 1 .
		
Nach (i) ist  ℓ  stetig für  x > 0 , und nun folgt mit der Stetigkeit von  ℓ

	1=lim ((n/(n + 1)))≤ lim (((ℓ(1+(1/n)))^n)) = ℓ(lim ((((1+(1/n)))^n)))=ℓ(e)  ≤  
                  lim (1) = 1  .

Zu (vi): 
1. Fall: Für  (Subscript[x, 1]) < (Subscript[x, 2]) ≤ 1  gilt:
		ℓ(
          (Subscript[x, 1])) = -(∫_((Subscript[x, 1]))^1)(dt/t) =(∫_1^((Subscript[x, 1])))(dt/t)=(∫_1^((Subscript[x, 2])))(dt/t)+(∫_((Subscript[x, 2]))^((Subscript[x, 1])))(dt/t)<(∫_1^((Subscript[x, 2])))(dt/t)=ℓ((Subscript[x, 2]))  .
In der Grafik ist zu beachten, dass die Flächeninhalte negativ bewertet sind, da  (Subscript[x, 1]) < (Subscript[x, 2]) ≤ 1  .

2.Fall: Es sei (Subscript[x, 1]) ≤ 1 < (Subscript[x, 2]). Hier gilt: ℓ((Subscript[x, 1])) ≤ 
        0 < ℓ((Subscript[x, 2]))  .

3.Fall: Es sei 1 ≤ (Subscript[x, 1]) < (Subscript[x, 2]). 

Es gilt: 	ℓ((Subscript[x, 1]))=(∫_1^((Subscript[x, 1])))(dt/t)< (∫_1^((Subscript[x, 1])))(dt/t)+(∫_((Subscript[x, 1]))^((Subscript[x, 2])))(dt/t)=(∫_1^((Subscript[x, 2])))(dt/t)=ℓ((Subscript[x, 2]))  .

Damit ist allgemein für  0 < (Subscript[x, 1]) < (Subscript[x, 2])  bewiesen, dass  ℓ(
          (Subscript[x, 1])) < ℓ((Subscript[x, 2]))  .

Zu (vii): 
Für  \(TraditionalForm\`a\_n := 
        2\^\(\(n\)\(\ \)\), \(\(n\)\(∈\)\(ℕ\)\(\ \)\)\) und mit (iv)  gilt

		ℓ((2^n))=n·ℓ(2) ≥  
              n·(1 - (1/2))=(n/2) .
		
Aus   ℓ((1/a))=-ℓ(a)  folgt  ℓ((1/((2^n))))=-n·ℓ(2)≤-(n/2) .

Nun ist  ℓ  auf  \(TraditionalForm\`\(ℝ\^+\)\) nach  (i)  stetig und nimmt daher nach dem Zwischenwertsatz (Satz 4.11) alle Wert des Intervalls []-(n/2),(n/2)[] an.  n  war beliebig. Damit folgt die Behauptung von  (vii) .

◼

Definition und Satz 6.6:
NATÜRLICHER LOGARITHMUS
Für  x > 0  sei die Funktion  ln  definiert durch

		ln(x) := (∫_1^x)(dt/t).	
Die Funktion  ln  wird logarithmus naturalis bzw. NATÜRLICHER LOGARITHMUS genannt.
Sie hat die Eigenschaften:
Für alle  a, b > 0 , n ∈ ℤ gelten die folgenden Gleichungen:

	  	ln(a·b) = 
        ln(a) + ln(b) ,
	  	ln((1/a))=-ln(a) ,
	    	ln((a^n)) = n·ln(a) ,
	    	ln(1) = 0 ,
	    	ln(e) = 1 .
Weiterhin gilt:
		\(TraditionalForm\`ln(\ \(ℝ\^+\)) = ℝ\),
ln  ist stetig und differenzierbar auf  \(TraditionalForm\`\(ℝ\^+\)\) und dort gilt  ln' (x) = (1/( x))  .

Die Beweise folgen mit  ℓ = ln .

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Häufig wird auch der sog. DEKADISCHE LOGARITHMUS (in Zeichen  lg ) verwandt:

		lg(x):=((ln(x))/(ln(10))) .
Für eine Basis  α ( α > 0 , α ≠ 
          1 )  ist der LOGARITHMUS ZUR BASIS  α  (in Zeichen  (Underscript[log, α]) ) definiert durch
		(Underscript[log, α])(x):=((ln(x))/(ln(α))) .
Dann gilt für  a, b > 0
		(Underscript[log, α])(a·b)=((ln(a·b))/(ln(α)))=((ln(a)  +  ln(b))/(ln(α)))=(Underscript[log, α])(a) + (Underscript[log, α])(b) .
Es gelten die Gleichungen  lg(10) = 1 und  (Underscript[log, α])(α)=1 .

Wird der Graph von  ln  an der 1. Winkelhalbierenden gespiegelt, so entsteht der Graph der Umkehrfunktion des  ln . Diese Funktion heißt EXPONENTIALFUNKTION.

Deshalb werden jetzt einige Eigenschaften von Umkehrfunktionen behandelt.

Definition 6.7:
UMKEHRFUNKTION für eine streng monotone, stetige Funktion
Es sei  f : [a, b] -> [c, d]  streng monoton wachsend und stetig und  f[a, b] = [c, d] . Dann gibt es zu jedem  t ∈ [c, d]  ein τ ∈ [a, b]  mit  f(τ) = t .Da  f  streng monoton, ist  τ  eindeutig bestimmt. Also gibt es eine Funktion  g : [c, d] -> [a, b]  mit g(t) := τ .Dann gilt  τ = g(t) = g(f(τ)) , d.h.  g∘f = 
        (Subscript[id, [a, b]]) , wobei  (Subscript[id, [a, b]])  die identische Funktion auf  [a, b]  bezeichnet.
Weiterhin gilt
		t = f(τ) = f(g(t)) , d.h. f∘g = (Subscript[id, [c, d]])  .
g  heißt die UMKEHRFUNKTION zu  f . Sie wird häufig mit  (f^(-1))  bezeichnet.

(Das Symbol  (f^(-1))  ist nicht zu verwechseln mit dem Symbol  (1/f) !!!)

Umkehrfunktionen für streng monoton fallende Funktionen lassen sich analog definieren.

Ohne Beweis sei der folgende Satz notiert.

Satz 6.5:
Stetigkeit der Umkehrfunktion
Es seien  I := [a, b]  und  f : I -> ℝ  stetig. Es sei  f  streng monoton. Dann existiert die Umkehrfunktion (f^(-1)) auf  f(I)  und  (f^(-1))  ist dort stetig.

Satz 6.6:
Ableitung der Umkehrfunktion
Es seien  I := [a, b]  und  f : I -> ℝ  stetig. Weiterhin sei  f  auf  I  streng monoton, besitze also eine Umkehrfunkltion  (f^(-1))  auf  J := f(I) . Ist  f  bei  x ∈ I  differenzierbar und  (f^′)(x) ≠ 
        0 , dann ist  (f^(-1))  bei  t = f(x)  differenzierbar und es gilt
		((f^(-1)))' (t)=(1/(f '(x)))=(1/(f '((f^(-1))(t)))) ,
		
		      ((f^(-1)))'=(1/(f ' ∘ (f^(  -1)))) .

Beweis:
Es sei  (Subscript[t, n]) ∈ J ,  
      n ∈ ℕ ,  mit  lim ((Subscript[t, n])) = t  und  (Subscript[t, n]) ≠ t . Dann gilt  (Subscript[x, n]) := (f^(-1))((Subscript[t, n])) ∈ I  und wegen der Stetigkeit von  (f^(-1))  gilt   lim ((f^(-1))((Subscript[t, n]))) = (f^(-1))(
            t) . Mit  (f^(-1))(t) = (f^(-1))(f(x)) = x  gilt damit   lim ((Subscript[x, n])) = x .
Nun folgt
		(((f^( -1))(t)  - (f^( -1))((Subscript[t, n])))/(t  -  (Subscript[t, n])))=((x  -  (Subscript[x, n]))/(f(x)  -  f((Subscript[x, n]))))=(1/((f(x)  -  f((Subscript[x, n])))/(x  -  (Subscript[x, n]))))
und damit	(1/(f ' (x)))=lim  ( (1/((f(x)  -  f((Subscript[x, n])))/(x  -  (Subscript[x, n])))))=lim ((((f^( -1))(t)  - (f^( -1))((Subscript[t, n])))/(t  -  (Subscript[t, n]))))=\(\(\((f\^\(-1\))\)\^′\) \(\((t)\)\(\ \)\(.\)\)\)
Da  x = (f^(-1))(t)  folgt schließlich
		((f^(-1)))' (t)=(1/(f ' ((f^(-1))(t)))) .

◼

Jetzt sei die Umkehrfunktion von  ln  mit  E  bezeichnet, d.h. für  t ∈ ℝ  gelte mit
(*)		t = ln(x)    E(
              t) := x  .

Siehe dazu das vorvorige Bild.

Es folgt mit  ln' (x)=(1/x)

		E' (t)=(1/(ln'(E(t))))=E(t) .
		
Aus (*) folgt, da  x > 0 , dass  E(t) > 0 .
Weiterhin sei nun für  (Subscript[t, 1]), (Subscript[t, 2]) ∈ ℝ ein  \(TraditionalForm\`x\&_\)  so gewählt, dass  \(TraditionalForm\`E(t\_1 + t\_2) = x\&_\) , d.h.  \(TraditionalForm\`ln(x\&_) = t\_1 + \(\(t\_2\)\(\ \)\(.\)\)\) Seien nun  (Subscript[x, 1]) und  (Subscript[x, 2]) derart, dass  ln((Subscript[x, 1])) = (Subscript[t, 1]) und  ln((Subscript[x, 2])) = (Subscript[t, 2]) , bzw.  E((Subscript[t, 1])) = (Subscript[x, 1]), E((Subscript[t, 2])) = (Subscript[x, 2]) ,
dann gilt  \(TraditionalForm\`ln(
          E(t\_1 + t\_2)) = \(ln(
            x\&_) = \(t\_1 + 
              t\_2 = \(ln(x\_1) + ln(x\_2) = \(ln(x\_1·x\_2) = 
                ln(\(E(t\_1)\)·\(E(t\_2)\))\)\)\)\)\) .
Da  ln  injektiv, gilt  E(
          (Subscript[t, 1]) + (Subscript[t, 2])) = E(
            (Subscript[t, 1]))·E((Subscript[t, 2])) .
Sei nun  n ∈ ℕ , dann folgt induktiv
		E(n) = (((E(1)))^n) .
Aber  E(1)  ist die Zahl  x , für die  ln(x) = 1  gilt. Nach Satz 6.6 gilt  ln(e) = 1 , d.h.  E(1) = e  und damit  E(n) = (e^n) .

Entsprechend folgt  e=E(1)=E( (Underscript[(1/m)+⋯+(1/m), (Underscript[(m Summanden), ⎵])]) )=((E(((1/m))))^m)  für  \(TraditionalForm\`\(\(m ∈ ℕ\)\(\ \)\(,\)\)\) also  E((1/m))=(e^((1/m))) .

Die letzten beiden Ergebnisse zusammen ergeben

		E((n/m))=E( (Underscript[(1/m)+⋯+(1/m), (Underscript[(n Summanden), ⎵])]) )=(((E((1/m))))^n)=((((e^((1/m)))))^n)=(e^((n/m))) .
Für positive rationale Zahlen  r  gilt also  E(r) = (e^r) . Aus Stetigkeitsgründen gilt damit  E(x) = (e^x)  für  x > 0 .

Da  ln(1) = 0 , gilt  E(0) = 1 . Daraus folgt  1 = E(
            0) = E(
              x + (-x)) = E(
                x)·E(-x) ,
also		E(x)=(1/(E(-x))) ,
was auch für  x < 0
		E(x)=(1/(E(-x)))=(1/((e^(-x ))))=(e^x)
ergibt.

Damit folgt

Definition und Satz 6.7:
EXPONENTIALFUNKTION
Die Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion heißt EXPONENTIALFUNKTION. Sie wird häufig mit  exp  bezeichnet. Statt  E(x)  wird oft nur  (e^x)  geschrieben.
Für  x, y ∈ ℝ  gilt
	     exp(x + y)	=   exp(x) · exp(y) ,
	          exp(0)	=   1 ,
	          exp(1)	=   e ,
	             exp '	=   exp ,
	          exp(ℝ) 	=   \(TraditionalForm\`\(\(ℝ\^+\)\(\ \ \)\(.\)\)\)

6.5 Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen

Es sei  I := [((-π)/2), (π/2)] . Für  x ∈ I  sei  f(x) := sin(x) . Mit  sin' = cos  und  cos(x) > 0  für  I:=[]((-π)/2),(π/2)[]folgt, dass  f  streng monoton wachsend auf   I  ist (Satz 5.12). Daher läßt sich die Sinusfunktion auf   I  umkehren.

Definition 6.7:
ARCUSSINUS, arcsin
Es seien   I := [((-π)/2), (π/2)]  und  J := [-1, 1] . Es sei  f(x) := sin(x)  für  x ∈ I . Dann gilt f(I) = J . Die Umkehrfunktion  (f^(-1))  auf  J  wird ARCUSSINUS genannt, abgekürzt  arcsin . Damit gilt:
	sin(arcsin(t)) = t  ,  
      t ∈ J , 
arcsin(sin(x)) = x ,  
      x ∈ I .

Satz 6.8:
Ableitung von arcsin
Es seien  J:=[]-1,1[]und  φ(t) := arcsin(t)  auf  J .
Dann gilt
		φ' (t)=(1/(Sqrt[1 - (t^2)])) =arcsin' (t).

Beweis: 
Mit Satz 6.6 folgt für  f(x) := sin(x)  auf  I := [((-π)/2), (π/2)]  und  (f^(-1)) = φ  auf  J

		φ' (t)=(1/(sin' (x)))=(1/(cos(x)))=(1/(cos(φ(t)))) . 
		
Nun gilt  (cos^2)(x) + (sin^2)(x) = 1  und daher  cos(
          x) = (Sqrt[1 - (sin^2)(x)])  ,
und damit

		\(TraditionalForm\`cos(φ(
            t)) = \(\@\(1 - \(sin\^2\)(φ(t))\) = \(\@\(1 - \(sin\^2\)(arcsin(t))\) = \(\(\@\(1 - t\^2\)\)\(\ \)\(.\)\)\)\)\)

Also gilt	φ' (t)=(1/(Sqrt[1 - (t^2)])) .

◼

Definition 6.8:
ARCUSCOSINUS, arccos
Es seien   I := [0, π]  und J := [-1, 1] . Es sei  f(x) := cos(x)  für  x ∈ I . Dann gilt f(I) = J . Die Umkehrfunktion  (f^(-1))  auf  J  wird ARCUSCOSINUS genannt, abgekürzt  arccos . Damit gilt:
	cos(arccos(t)) = t  ,  
      t ∈ J , 
arccos(cos(x)) = x ,  
      x ∈ I .

Analog zu Satz 6.8 gilt für  t∈[]-1,1 []

		arccos' (t)=((-1)/(Sqrt[1 - (t^2)])) .
		
Ähnlich werden für  x∈[]-(π/2),(1/2)1 []:=(Subscript[I, 1]) bzw. für  \(x\&_\)∈[]-0,π []:=(Subscript[J, 1])  die Umkehrfunktionen von Tangens und Cotangens definiert: Arcustangens und Arcuscotangens, geschrieben: arctan und arccot .
Die Funktionsgraphen von  tan und  arctan .

Bei diese Grafik ist zu beachten, dass der Wertebereich von  tan  ganz  ℝ  ist und daher der Definitionsbereich von arctan auch  ℝ  ist!

Weiterhin gilt:
		arctan' (t)=(1/(1 + (t^2))) , t ∈ ℝ ,
arccot' (t)=((-1)/(1 + (t^2))) , t ∈ ℝ .

Beweis für die Ableitung von  arctan:
Zur Erinnerung die Formel für die Ableitung einer Umkehrfunktion:

		((f^(-1)))' (t)=(1/(f '(x)))=(1/(f '((f^(-1))(t)))) ,
		
		      ((f^(-1)))'=(1/(f ' ∘ (f^(  -1)))) .

Zuerst die Ableitung von  tan. Mit der Quotientenregel folgt:

	(tan^′)(x) = (((sin/cos)))'(x)=((cos(x) · cos(
                        x)  -  (-sin(x)) ·sin(
                        x))/((cos^2)(x)))=
=1+(((sin^2)(x))/((cos^2)(x)))=1+(tan^2)(x)=(1/((cos^2)(x))) .

Also folgt mit der Formel für die Ableitung einer Umkehrfunktion:
	(arctan^′)(t)=(1/((tan^′)(x)))=(1/(1 +  (tan^2)(x)))=(1/(1 +  (tan^2)(arctan(t))))=(1/(1 +  (t^2)))

Soweit einige Ergebnisse über Umkehrfunktionen.
Bisher wurden nur Integrale für stetige Funktionen definiert. Für eine einfache Funktion wie sign  ist also noch kein Integral definiert.

Definition 6.9:
FASTSTETIG
Es seien  I := [a, b]  und  f : I -> ℝ . Es seien  (Subscript[x, 0]), …, (Subscript[x, n]) ∈ I  mit  a = (Subscript[x, 0]) < (Subscript[x, 1]) < (Subscript[x, 2]) < ⋯ < 
            (Subscript[x, n]) = b . Für  x ∈ I ,  x ≠  (Subscript[x, ν])  sei   f  sei stetig. Bei  (Subscript[x, 0]), …, (Subscript[x, n - 1]) besitze  f  rechtsseitige Grenzwerte  (Subscript[r, v]) , bei  (Subscript[x, 1]), …, (Subscript[x, n]) besitze  f  linksseitige Grenzwerte  (Subscript[l, v]) . Dann heißt  f  FASTSTETIG.

Diese Definition ist nicht konventionell !!! In der Literatur findet sich manchmal in diesem Zusammenhang der Begriff Regelfunktion.

Wenn  (Subscript[l, ν]) = (Subscript[r, ν])  für ein  ν , dann ist  f stetig ergänzbar.  Gilt noch  (Subscript[l, ν]) = (Subscript[r, ν]) = f((Subscript[x, ν])) , dann ist  f  sogar bei  (Subscript[x, ν])  stetig.

Definition 6.10:
INTEGRALE FASTSTETIGER Funktionen
Es sei  f  wie eben definiert faststetig. Es seien  (Subscript[I, ν]) := [(Subscript[x, ν - 1]), (Subscript[x, ν])]  , ν = 1, 2, …, n , und  

		(Subscript[f, v])(x):={  ({{({{\(r\_\(ν - 1\)\ \ , \ \ \ x = 
                              x\_\(\(ν\)\(\ \)\(-\)\(1\)\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \)\)\)}, {f(x)  ,    (Subscript[x, ν - 1]) <  x <  
                              (Subscript[x, ν  ])}})}, {\(\(\ \ \)\(l\_ν\ \ \ , \ \ \ \(\(x\)\(=\)\(x\_ν\)\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \)\)\)\)}}).
		
Dann sind die  (Subscript[f, ν])  auf  (Subscript[I, ν])  jeweils stetig.

Nun wird  	(∫_a^b)f(t) dt :=(Underoverscript[Σ, (ν = 1), n]) (∫_((Subscript[x, ν - 1]))^((Subscript[x, ν])))(Subscript[f, ν])(t) dt

gesetzt und damit das Integral einer INTEGRAL einer FASTSTETIGEN Funktion definiert.

Es bedarf einiger zusätzlicher Überlegungen, dass dieses Integral unabhängig von der Wahl der Zerlegung  (Subscript[x, 0]), …, (Subscript[x, n])  ist. Darauf soll hier nicht weiter eingegangen werden.

Jetzt kann auch der Signum-Funktion ein Integral zugeordnet werden. sign  ist auf jedem Intervall faststetig und es gilt
		(∫_a^b)sign(t) dt = | 
              b |  -  | 
                a | .

Sie sehen im nächsten Bild den Graphen der Funktion  f  mit  f(x) := (x^2)  auf  [0, 1]  und den Graphen einer sog. Treppenfunktion. Auf  [0 , 1]  läßt sich für ein  n ∈ ℕ  jeweils die Funktion  (Subscript[trep, n])  mit  1 ≤ ν ≤ n  definieren mit durch

		(Subscript[trep, n]):={   ({{({{((ν^2)/(n^2)), für  ((ν  -  1)/n)<x≤ (ν/n)}})}, {({{   0  , \(\(für\ \ \ x\)\(=\)\(0\)\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \)\)}})}}) .

  (Subscript[trep, n])  ist faststetig. Anschaulich ist klar, dass
  
		 (∫_0^1) (t^2)dt≤ (∫_0^1) (Subscript[trep, n])(t) dt  .

Das rechte Integral läßt sich elementar ausrechnen:

	    (∫_0^1) (Subscript[trep, n])(t) dt	\(TraditionalForm\`\(\(=\)\(Σ\+\(ν = 1\)\%n\)\)\)(1/n)·((ν^2)/(n^2))=(1/(n^3))\(Σ\+\(ν = 1\)\%n\) (ν^2)=(1/(n^3))·(1/6)·n·(n + 1)·(2  n + 1)
	    
			=(1/6)·(n/n)·(((n  +  1))/n)·(((2  n  +  1))/n)=(1/6)·(1+(1/n))·(2+(1/n))  .
			
Damit gilt  lim (  (∫_0^1) (Subscript[trep, n])(t) dt)=lim ((1/6)·(1 + (1/n))·(2 + 
                      (1/n)))=(1/3) .
Andererseits gilt auch  (∫_0^1) (t^2)dt =(1/3) .
Mit  f(t) := (t^2)  folgt  \(TraditionalForm\`Σ\+\(ν = 1\)\%n\)\(TraditionalForm\`1\/n·ν\^2\/n\^2 = \(1\/n\) \(Σ\+\(ν = 1\)\%n\) \(\(f(ν\/n)\)\(\ \)\(.\)\)\)

Diese Summe wird als eine OBERSUMME zu  f  auf [0 , 1]  bezeichnet.
Analog ist   (1/n) \(TraditionalForm\`Σ\+\(ν = 0\)\%\(n - 1\)\)f((ν/n))   eine UNTERSUMME zu   f  auf  [0 , 1]  :

Mit  us(n):= (1/n) \(Σ\+\(ν = 0\)\%\(n - 1\)\)f((ν/n))  =(1/n) \(Σ\+\(ν = 0\)\%n\)f((ν/n)) -(1/n)·(1^2)=(1/6)·(1+(1/n))·(2+(1/n))-(1/n)

fogt wie oben	lim ( us(n) ) = (1/3) .

Mit diesem Beispiel soll nur verdeutlicht werden, dass sich das Integral von stetigen Funktionen auch anders als bisher in dieser Vorlesung definieren läßt, nämlich mit Hilfe von sog. Treppenfunktionen und Unter- bzw. Obersummen. Dabei können die Teilintervalle und auch die Punkte, an denen die Funktioneswerte genommen werden sehr beliebig gewählt werden. Dazu sollen die nächsten drei Grafiken ein wenig Anschauung bieten.