7. Taylor-Polynome

Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 2003 / 4

Zuerst soll untersucht werden, wie die Koeffizienten einer Polynomfunktion mit ihren Ableitungen zusammenhängen.

Für  x ∈ ℝ  sei also mit reellen  (Subscript[a, ν]) ,  ν  =  0, 1, 2, …, 
      n  und  (Subscript[a, n]) ≠ 0  ,
		\(TraditionalForm\`p(
          x) := \(\(Σ\+\(ν = 0\)\%n\) \(a\_ν\) 
            x\^ν = 
          a\_0 + \(a\_1\) x + \(a\_2\) 
              x\^2 + ⋯ + \(a\_n\) \(\(x\^n\)\(\ \ \)\(.\)\)\)\)
Dann gilt  p(0) = (Subscript[a, 0]) . Nun wird  p  einmal abgeleitet:
		\(TraditionalForm\`p' \((x)\) := \(0 + a\_1 + 2 \( a\_2\) x + 
            3 \( a\_3\) x\^2 + ⋯ + 
            n\ \(a\_n\) 
              x\^\(n - 1\)\ \ und\ \ p' \((0)\) = \(\(a\_1\)\(\ \ \)\(.\)\)\)\)
p  wird zweimal abgeleitet:
		p'' (x) := 
        0 + 0 + 2  (Subscript[a, 2]) + 3·2  (Subscript[a, 3]) x  + 
          4·3  (x^2) + ⋯ + 
          n· (n - 1) (Subscript[a, n]) (x^(n - 2))  ,  
      p'' (0) = 2  (Subscript[a, 2]) .
Induktiv folgt leicht für  k ≤ n

		(p^((k)))(x)	= k·(k - 
                    1)···(k - k + 
                  1)·(Subscript[a, k])·(x^0) + \(TraditionalForm\`\(\(\(Σ\+\(ν = 
              k + 1\)\%n\) ν·\((ν - 
              1)\)···\((ν - k + 
              1)\) \(a\_ν\) x\^\(ν - k\)\)\(\ \)\(,\)\)\)
			\(TraditionalForm\`\(\(\(=\)\(\ \)\(\(Σ\+\(ν = 
                k\)\%n\) ν·\((ν - 
                1)\)···\((ν - k + 
                1)\) \(a\_ν\) x\^\(ν - k\)\)\)\(\ \ \)\(,\)\)\)
			
woraus sofort  (p^((k)))(0) = 
        k·(k - 
              1)···1· 
          (Subscript[a, k])  bzw.  (Subscript[a, k])=(((p^((k))) (0))/(k!))  folgt.

Dies ist der gesuchte Zusammenhang zwischen den Ableitungen einer Polynomfunktion und ihren Koeffizienten.

Satz 7.1
Für  x ∈ ℝ  sei mit reellen  (Subscript[a, ν]) ,  ν  =  0, 1, 2, …, 
      n  und  (Subscript[a, n]) ≠ 0  ,

		\(TraditionalForm\`p(
          x) := \(\(Σ\+\(ν = 0\)\%n\) \(a\_ν\) 
            x\^ν = 
          a\_0 + \(a\_1\) x + \(a\_2\) 
              x\^2 + ⋯ + \(a\_n\) \(\(x\^n\)\(\ \ \)\(.\)\)\)\)
		
Dann gilt  (Subscript[a, ν])=(((p^((ν)))(0))/(ν!)) und damit  p(x):=\(Σ\+\(ν = 0\)\%n\)(((p^((ν)))(0))/(ν!))(x^ν)  .

◼

Von dieser Beobachtung ausgehend soll nun entsprechend analysiert werden, wie bei anderen Funktionen Beziehungen zwischen den Ableitungen und sogenannten Näherungspolynomfunktionen hergestellt werden können.
Also: In welcher Beziehung stehen für eine geeignete Funktion  f  die Zahlen

		f(x)  und  \(Σ\+\(ν = 0\)\%n\)(((f^((ν)))(0))/(ν!))(x^ν)  .
		
f  muss dann selbstverständlich n-mal differenzierbar sein und etwa auf einem Intervall  I := [a, b]  definiert sein. 

Es seien nun  α, β ∈ I  und  α < β . Wir betrachten für  x ∈ I  die Funktion  h  mit

		h(x):= f(x)+(((β  -  x))/(1!))(f^′)(x) +(((((β  -  x))^2))/(2!))(f^″)(x)+⋯+ (((((β  -  x))^(n - 2)))/((n  -  2)!))(f^((n - 1)))(x) + (((((β  -  x))^(n - 1)))/((n  -  1)!))(f^((n - 1)))(x)
und leiten  h  fleißig ab:


h' (x)=((\(Σ\+\(ν = 0\)\%\(n - 1\)\)  (((((β  -  x))^ν))/(ν!))(f^((ν)))(x)))' =\(\(\(Σ\)\(\ \ \)\)\+\(ν = 
                        0\)\%\(n - 1\)\) (((((((β  -  x))^ν))/(ν!))))'(f^((ν)))(x) + \(\(\(Σ\)\(\ \ \)\)\+\(ν = 
                        0\)\%\(n - 1\)\) (((((β  -  x))^ν))/(ν!))(f^((ν + 1)))(x)  

			=\(\(\(Σ\)\(\ \)\)\+\(ν = 0\)\%\(n - 
                    1\)\)((\(\(-ν\)·\((β\  - \ x)\)\^\(ν - 1\)\))/(ν!))(f^((ν)))(x)  +\(\(\(Σ\)\(\ \ \)\)\+\(ν = 0\)\%\(n - 
                    1\)\) (((((β  -  x))^ν))/(ν!))(f^((ν + 1)))(x)  
			
			=\(\(\(Σ\)\(\ \)\)\+\(ν = 1\)\%\(n - 
                    1\)\)((-(((β  -  x))^(ν - 1)))/((ν  -  1)!))(f^((ν)))(x)  +\(\(\(Σ\)\(\ \ \)\)\+\(ν = 0\)\%\(n - 
                    1\)\) (((((β  -  x))^ν))/(ν!))(f^((ν + 1)))(x)  
			
			  = \(\(\(Σ\)\(\ \)\)\+\(ν = 0\)\%\(n - 2\)\)((-(((β  -  x))^ν))/(ν!))(f^((ν + 1)))(x)  +\(\(\(Σ\)\(\ \ \)\)\+\(ν = 0\)\%\(n - 
                  1\)\) (((((β  -  x))^ν))/(ν!))(f^((ν + 1)))(x)  
			 
			 =(((((β  -  x))^(n - 1)))/((n  -  1)!))(f^((n)))(
                x)  .  


Jetzt werde  σ:=((f(β)  -  h(α))/((((β  -  α))^n))) gesetzt. Dann gilt mit g(x) := 
        f(β) - h(x) - σ·(((β - x))^n)

	g(α) =f(β)-h(α)-((f(β)  -  h(α))/((((β  -  α))^n)))(((β - α))^n)=0
	
und da  h(β) = f(β), auch  \(TraditionalForm\`g(β) = \(f(β) - 
            f(β) - σ·\((β - β)\)\^n = \(\(0\)\(\ \ \)\(.\)\)\)\)
	
Also ist mit  f  auch  g  differenzierbar, und da  f  n-mal differenzierbar ist, folgt mit dem Satz von Rolle:
Es gibt ein  γ∈[]α,β [],so dass  \(TraditionalForm\`\(\(\(g\^′\)(γ) = \(\(-\(\(h\^′\)(γ)\)\) + 
            n·σ·\((β - γ)\)\^\(n - 1\) = 0\)\)\(\ \ \)\(,\)\)\)
woraus nun 
	σ=(((h^′)(γ))/(\(n·\((β\  - \ γ)\)\^\(n - 1\)\)))=(((((β  -  γ))^(n - 1))(h^((n)))(γ))/((n  -  1)!·n·(((β - γ))^(n - 1))))=(((f^( (n)))(γ))/(n!))
folgt.
Also ist  g(x)=f(β)-h(x)-(((f^( (n)))(γ))/(n!))(((β - 
                        x))^n)  . 

Nun war  g(α) = 0 , und damit folgt

		f(β)=h(α)+(((f^( (n)))(γ))/(n!))(((β - α))^n) ,
d.h.
f(β)=f(α)+(((β - α))/(1!))(f^′)(α) +((((β - α))^2)/(2!))(f^″)(α)+⋯+((((β - α))^n)/(n!))(f^((n)))(α)  .

Um nun zu den üblichen Bezeichnungen zu kommen, seien  I := [a, b] , f : I -> ℝ , f (n + 1)-mal differenzierbar. Es werde also  n  durch n + 1 , β  durch  x , α  durch  (Subscript[x, 0])  und  γ   durch  ξ  ersetzt.

Dann gilt der berühmte

Satz 7.1:
Satz von Taylor (1715)
(Brook Taylor, 1685 - 1731, englischer Mathematiker)
Es seien  I := [a, b] , f : I -> ℝ,  f  (n + 1)-mal differenzierbar und  x, (Subscript[x, 0]) ∈ I . Dann gilt mit einem  ξ  zwischen  x  und   (Subscript[x, 0])

	f(x)=f((Subscript[x, 0]))+(((x - (Subscript[x, 0])))/(1!))f'((Subscript[x, 0])) +((((x - (Subscript[x, 0])))^2)/(2!))f''((Subscript[x, 0]))+⋯+((((x - (Subscript[x, 0])))^n)/(n!))(f^((n)))((Subscript[x, 0])) + ((((x - (Subscript[x, 0])))^(n + 1))/((n  +  1)!))(f^((n + 
                          1)))(ξ)  .

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\(Σ\+\(ν = 0\)\%n\) ((((x - (Subscript[x, 0]) ))^ν)/(ν!))(f^((ν)))((Subscript[x, 0]))  heißt das  n-te Taylor-Polynom von  f .

Nun soll für einige wichtige Funktionen die jeweiligen Taylor-Polynome bzw. die Taylor-Reihen berechnet werden. Man spricht auch von Taylor-Entwicklungen.

Früher wurde schon bewiesen: Für  x ≠ 1  gilt
		\(\(Σ\+\(ν = 0\)\%n\) x\^ν\)=(1/(1  -  x))-(((x^(n + 1)))/(1  -  x))  bzw.  (1/(1  -  x))=\(\(Σ\+\(ν = 0\)\%n\) x\^ν\)+(((x^(n + 1)))/(1  -  x)) .

Gilt nun noch  | x |<1, so ist  (Underscript[(lim ), n -> ∞])((((x^(n + 1)))/(1  -  x)))=0  .
Daher folgt

Satz 7.2:
Für  | x |<1 gilt 

		(1/(1  -  x))=\(\(Σ\+\(ν = 0\)\%∞\) x\^ν = 
              1 + x + x\^2 + x\^3 + ⋯\)  ,
		
		(1/(1  +  x))=\(Σ\+\(ν = 0\)\%∞\ \(\((\(-1\))\)\^ν\) x\^ν = 
            1 - x + x\^2 - 
              x\^3 + \(-\(\(⋯\)\(\ \ \)\(.\)\)\)\)

◼

Satz 7.3:
Es seien  I := [a, b] , f : I -> ℝ ,  f  beliebig oft differenzierbar auf  I . Es existiere eine Konstante  M > 0 , so dass   | (f^((n)))(
            t) | ≤ M  für alle  t ∈ I  und alle  \(TraditionalForm\`n ∈ \(\(ℕ\)\(\ \ \)\(.\)\)\) 
Dann gilt für jedes betrachtete  (Subscript[x, 0])∈I  und alle  x ∈ I 

	f(x)=\(Σ\+\(ν = 
                  0\)\%∞\)(f^((ν)))((Subscript[x, 0])) ((((x - (Subscript[x, 0])))^ν)/(ν!)) .

Beweis:
Für x = (Subscript[x, 0]) ist die Behauptung trivial. Es sei also nun  x ≠ (Subscript[x, 0]) .
Nach Satz 7.1 gilt für jedes  n ∈ ℕ  mit einem  ξ  zwischen  x  und  (Subscript[x, 0]) 

	f(x)=\(Σ\+\(ν = 
                    0\)\%n\)(f^((ν)))((Subscript[x, 0])) ((((x - (Subscript[x, 0])))^ν)/(ν!)) +((((x - (Subscript[x, 0])))^(n + 1))/((n  +  1)!))(f^((n + 
                          1)))(ξ)  .
	
Nach Voraussetzung ist  \(TraditionalForm\`|\ \ \(f\^\((n + 
                    1)\)\)(ξ)\ | ≤ \(\(M\)\(\ \)\(.\)\)\) Es bleibt also zu zeigen, dass  (((((x - (Subscript[x, 0])))^(n + 
                  1))/((n  +  1)!))) eine Nullfolge ist. 
Diese Behauptung kann elementar bewiesen werden! Hier soll sie aber nach einer Manier bewiesen werden, die dem gleicht, was üblicherweise bezeichnet wird als: Mit Kanonen auf Spatzen schießen. Doch dieses Verfahren ist hier bequem und zusätzlich lehrreich:

Die Reihe  \(Σ\+\(ν = 0\)\%∞\) ((((x - (Subscript[x, 0])))^ν)/(ν!))  wird mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz untersucht: 
Es sei also 	(Subscript[a, n]):=((((x - (Subscript[x, 0])))^n)/(n!)).

Dann ist  (((Subscript[a, n + 1]))/((Subscript[a, n])))=((((x - (Subscript[x, 0])))^(n + 1))/((n  +  1)!))·((n!)/(((x - (Subscript[x, 0])))^n))=((x  -  (Subscript[x, 0]))/(n  +  1)). 

Nun gibt es nach Archimedes ein  (Subscript[n, 0]) ∈ ℕ  mit  0 < 2 (b - a) < (Subscript[n, 0]) , also  0<((b  -  a)/((Subscript[n, 0])))<(1/2) .
Damit folgt für alle  n ≥ (Subscript[n, 0])

		|(((Subscript[a, n + 1]))/((Subscript[a, n])))|=|((x  -  (Subscript[x, 0]))/(n  +  1))|<((b  -  a)/((Subscript[n, 0 ])))<(1/2) ,
		
was jetzt die absolute Konvergenz der Reihe  \(Σ\+\(ν = 0\)\%∞\) ((((x - (Subscript[x, 0])))^ν)/(ν!))  beweist. Nun bilden aber bekanntlich nach Satz 2.1.3 die Summanden einer konvergenten Reihe eine Nullfolge; also ist  (((((x - (Subscript[x, 0])))^n)/(n!))) eine Nullfolge und der Satz ist bewiesen.

◼

Satz 7.4:
Für  x ∈ ℝ  gilt  \(exp(
                x)\  = \ Σ\+\(ν = 0\)\%∞\) (((x^ν))/(ν!)) .

Beweis:
Es sei I := [a, b] . Dann gilt für alle  x ∈ I und alle  n ∈ ℕ  auch  exp(a) ≥  
          exp(x) = (exp^((n)))(x) = exp(x) > 0 , da die Exponentialfunktion monoton wachsend ist und nur positive Werte annimmt.
Wird nun das in Satz 7.3 geforderte  M  als  exp(a)  gewählt, so folgt mit Satz  7.3  und der Wahl  (Subscript[x, 0]) =  0 , dass für alle  x ∈ I  gilt  \(exp(
                x)\  = \ Σ\+\(ν = 0\)\%∞\) (((x^ν))/(ν!)) . Da  a, b  beliebig waren, gilt diese Darstellung auf ganz  ℝ .

◼

Mit  ln(x) = (∫_1^x)(dt/t)  folgt  ln(1 + x) = (∫_0^x)(dt/(1  +  t)) . Üblicher Weise wird dann die Taylor-Reihe von  ln(1 + x) so hergeleitet:
	ln(1 + x) = (∫_0^x)(dt/(1  +  t)) =(∫_0^x)\(Σ\+\(ν = 0\)\%∞\) (((-1))^ν)(t^ν) dt =\(TraditionalForm\`Σ\+\(ν = 0\)\%∞\) (∫_0^x) (((-1))^ν)(t^ν) dt = \(Σ\+\(ν = 0\)\%∞\) (((((-1))^ν))/(ν  +  1))(x^(ν + 1)) .
	
Das Problem liegt in der Vertauschung von Integration und Summation, die mit den in dieser Vorlesung zur Verfügung stehenden Mitteln nicht direkt geleistet werden kann. Daher ein etwas längerer Beweis zu

Satz 7.5:
Für  x  mit  -1 < x ≤ 1  gilt

		ln(1 + x)=\(Σ\+\(ν = 0\)\%∞\) (((((-1))^ν))/(ν  +  1)) (x^(ν + 1)) =x-((x^2)/2)+((x^3)/3)-((x^4)/4)+-⋯  .
		
Insbesondere folgt für  x = 1 :

		ln(2)=\(Σ\+\(ν = 0\)\%∞\) (((((-1))^ν))/(ν  +  1))=1-(1/2)+(1/3)-(1/4)+-⋯  .

Beweis:
Für  n ∈ ℕ  und  x > -1  sei  (Subscript[f, n])(x):=ln(1 + x) -\(Σ\+\(ν = 0\)\%n\) (((((-1))^ν))/(ν  +  1))(x^(ν + 1)) . 
Damit gilt  (Subscript[f, n])(0) = 0 .
Dann ist            ((Subscript[f, n])^′)(x)	=(1/(1  +  x))-\(Σ\+\(ν = 0\)\%n\) (((((-1))^ν))/(ν  +  1))(ν + 1)·
                  (x^ν)=(1/(1  +  x))-\(Σ\+\(ν = 0\)\%n\) (((-1))^ν)(x^ν)=

			=(1/(1  +  x))-((1/(1  +  x))-(((((-x))^(n + 1)))/(1  +  x)) )=(((((-x))^(n + 1)))/(1  +  x))
und  ((Subscript[f, n])^′)(0) = 0  .
Nun sei  n  ungerade, etwa  n = 2  m + 1 . 

Dann ist   ((Subscript[f, n])^′)(x)=(((((-x))^(2  m + 2)))/(1  +  x))≥0  für  x ≥ 0 , also mit  (Subscript[f, n])(0)  und dem sog. horse track principle (siehe Übungsaufgabe) folgt  (Subscript[f, n])(x) ≥ 0  für  x ≥ 0 , 

d.h.		\(Σ\+\(ν = 0\)\%\(2  m + 1\)\) (((((-1))^ν))/(ν  +  1))(x^(ν + 1))≤ln(1 + x)  .

Ist  n  dagegen gerade, etwa  n = 2  m , so ist  ((Subscript[f, n])^′)(x)=(((((-x))^(2  m + 1)))/(1  +  x))≤ 0  für  x ≥ 0  und wieder folgt

		\(Σ\+\(ν = 0\)\%\(2  m\)\) (((((-1))^ν))/(ν  +  1))(x^(ν + 1))≥ ln(1 + x)  ,
also insgesamt

		\(Σ\+\(ν = 0\)\%\(2  m + 1\)\) (((((-1))^ν))/(ν  +  1))(x^(ν + 1))≤ln(1 + x)  ≤\(Σ\+\(ν = 0\)\%\(2  m\)\) (((((-1))^ν))/(ν  +  1))(x^(ν + 1))  .
		
Die Differenz zwischen der linken und rechten Summe beträgt 
		(((((-1))^(2  m + 1)))/(2  m  +  2))(x^(2  m + 2))=-(((x^(2  m + 2)))/(2  m  +  2))  .
		
Für  | 
          x | ≤ 1  gilt  (Underscript[(lim ), m -> ∞])((((x^(2  m + 2)))/(2  m  +  2)))=0  .

Damit folgt	ln(1 + x)=\(Σ\+\(ν = 0\)\%∞\) (((((-1))^ν))/(ν  +  1)) (x^(ν + 1))   .

◼

Satz 7.6:
Für  x ∈ ℝ  gilt 
		 \(sin(
                  x)\ \ \  = \ Σ\+\(ν = 0\)\%∞\) (((((-1))^ν))/((2ν+1)!))(x^(2  ν + 1)) ,
cos(x)\(\(\ \)\(\(=\)\(\ \)\(Σ\+\(ν = 
                      0\)\%∞\)\)\) (((((-1))^ν))/((2ν)!))(x^(2  ν))   .

Beweis:
Ein Beweis verläuf analog zu dem Beweis des Satzes 7.4, wenn beachtet wird, dass die Ableitungen von  sin   und  cos  bis auf Vorzeichen wieder  cos  oder  sin  sind und sowohl  | 
          sin(x) | ≤ 1 als auch  | 
          cos(x) | ≤ 1 gilt.

Taylorentwicklung von  sin :

Taylorentwicklung von  cos :

◼

Zum Schluss wird die Taylor-Reihe des  arctan  hergeleitet. Damit ergibt sich eine neue Möglichkeit  π  numerisch zu berechnen.

Satz 7.7:
Für  x ∈ ℝ  mit  | 
          x | ≤ 1  gilt  \(arctan(
                x)\  = \ Σ\+\(ν = 0\)\%∞\) (((((-1))^ν))/(2  ν  +  1))(x^(2  ν + 1)) .

Beweis:
Im Beweis wird hier ähnlich verfahren wie bei der Entwicklung von  ln(x + 1)  in Satz 7.5.
Für  x ∈ ℝ  und  n ∈ ℕ  sei
              (Subscript[f, n])(x) 	:= arctan(x) -((x/1)-(((x^3))/3)+-⋯+(((-1))^(n - 1))  (((x^(2  n - 1)))/(2  n  -  1)))
              
		:= \(arctan(
                  x)\  - \ Σ\+\(ν = 0\)\%\(n - 1\)\) (((((-1))^ν))/(2  ν  +  1))(x^(2  ν + 1)) .
		
Also ist  (Subscript[f, n])(0) = 0  und

	((Subscript[f, n])^′)(x) := (1/(1  +  (x^2)))-( \(1 - x\^2 + 
                x\^4 - \(+⋯\) + \((\(-1\))\)\^\(n - 1\)\ \ x\^\(2  n - 2\)\) )

		:= (1/(1  +  (x^2)))- \(Σ\+\(ν = 0\)\%\(n - 1\)\) (((-1))^ν)(x^(2  ν)) 
	
		:= (1/(1  +  (x^2)))-((1/(1  +  (x^2)))-(((((-1))^n) (x^(2  n)))/(1  +  (x^2))) )
	
		:= (((((-(x^2)))^n))/(1  +  (x^2)))  .

Es sei nun  n  gerade, etwa  n = 2  m . Dann ist  ((Subscript[f, n])^′)(x)  ≥ 0  für  x ≥ 0  und damit  (Subscript[f, n])  für diese  x  monoton wachsend. Da  (Subscript[f, n])(0) = 0 , gilt  (Subscript[f, n])(x)  ≥ 0  für  x ≥ 0  ,

d.h.		 \(arctan(
                  x)\  ≥ \ \ Σ\+\(ν = 0\)\%\(2  m - 1\)\)  (((((-1))^ν))/(2  ν  +  1)) (x^(2  ν + 1)) .

Nun sei  n ungerade, etwa  n = 2  m + 1 . Dann ist  (Subscript[f, n])' (x)  ≤  0  für  x ≥ 0  und analog zum vorigen Ergebnis folgt 
		 \(arctan(
                x)\  ≤ \ \ \ Σ\+\(ν = 0\)\%\(2  m\)\)  (((((-1))^ν))/(2  ν  +  1)) (x^(2  ν + 1)) .

Also gilt für  x ≥ 0

		\(\(\ \)\(Σ\+\(ν = 0\)\%\(2  m - 
                    1\)\)\) (((((-1))^ν))/(2ν + 1))(x^(2  ν + 1))≤  \(arctan(
                  x)\  ≤ \ \ Σ\+\(ν = 0\)\%\(2  m\)\) (((((-1))^ν))/(2ν + 1))(x^(2  ν + 
                    1)) .

Die Differenz zwischen der rechten und linken Seite beträgt  (((x^(4  m + 1)))/(4  m  +  1)). 
Gilt nun noch  0 ≤ x ≤ 1, so folgt mit   (Underscript[(lim ), m -> ∞])((((x^(4  m + 1)))/(4  m  +  1)))=0

		 \(arctan(
                  x)\  = \ \ Σ\+\(ν = 0\)\%∞\) (((((-1))^ν))/(2ν + 1))(x^(2  ν + 
                    1)) .
		
Nun ist  arctan  eine ungerade Funktion und auch  (Subscript[f, n])  ist ungerade, d.h. (Subscript[f, n])(x) = -(Subscript[f, n])(-x) . Für  -1 ≤ x ≤ 0  gilt  \(TraditionalForm\`\(\(\(lim\)\(\ \)\)\+\(n -> ∞\)\) \((\(f\_n\)(\(-x\)))\) = 0\)  und damit gilt auch   \(TraditionalForm\`\(\(\(lim\)\(\ \)\)\+\(n -> ∞\)\) \((\(f\_n\)(x))\) = \(\(0\)\(\ \ \)\(.\)\)\)

Beide Ergebnisse zusammen bedeuten:

Für  x  mit  \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\ \)\(x\)\(\ \)\(|\)\(\(≤\)\(\ \)\(1\)\)\)\)  gilt  \(arctan(
                x)\  = \ Σ\+\(ν = 0\)\%∞\)  (((((-1))^ν))/(2  ν  +  1)) (x^(2  ν + 1)) .

◼

Bekanntlich gilt  tan(x)=((sin(x))/(cos(x)))  und  sin((π/4)) = cos((π/4)) , d.h. tan((π/4)) = 1 , bzw.  arctan(1)=(π/4) .

Also gilt  (π/4) = arctan(1) =  
          1 - (1/3) + (1/5) - 
            (1/7) + -⋯  .

(James Gregory, 1671, Gottfried Wilhelm Leibniz, 1674) 
Diese Reihe konvergiert sehr langsam, und es ist nicht ratsam damit einen numerischen Wert von  π   berechnen zu wollen. Es ist jedoch lange darüber nachgedacht worden, wie die obige Formel für eine numerische Berechnung von  π  benutzt werden kann.
Aus dem Additionstheorem für den Tangens

	                   tan(x + y)=((tan(x)  +  tan(y))/(1  -   tan(x)·tan(y)))
		
folgt		          tan(2  x) 	=((2  tan(x) )/(1  -   (tan^2) (x)))  .

Nun sei  α:=arctan(
          (1/5))    

Dann folgt	tan(2  α) =((2  tan(α) )/(1  -   (tan^2) (α)))=(((2/5))/(1  -  (1/25)))=(5/12) 

und		tan(4  α) =((2  tan(2  α) )/(1 -  (tan^2)(2  α)))=(((10/12))/(1  -  (25/144)))=(120/119)  .

Nun seien β := arctan((1/239))  ,x:= 4  α  und y:=-β  .
Dann ist  tan(4  α - β)=((tan(x)  +  tan(y))/(1  +   tan(x)·tan(y)))=(((120/119)  -  (1/239))/(1 + (120/119)·(1/239)))=((120·239  -  119)/(119·239  +  120))=((119·239   +  239  -  119)/(119·239  +  120))=1  .

Also gilt  4  α - β=(π/4)  bzw.  π = 
        16  α - 4  β  .

Nun ist 	α=(1/5)-(1/3)((((1/5)))^3)+(1/5)((((1/5)))^5)-+⋯  , β=(1/239)-(1/3)((((1/239)))^3)+(1/5)((((1/239)))^5)+-⋯  . 

Mit diesen Formeln läßt sich  π  gut berechnen. Sie wurden von John Machin (englischer Astronom, 1680 - 1751) 1706 gefunden.
In der folgenden Tabelle sind einige Werte eingetragen.  n  in der ersten Spalte gibt dabei jeweils an, wieviele Summanden für  α  bzw.  β  berechnet wurden.
Die ersten 10 Dezimalstellen von  π  lauten: 3.141 592 654 .

({{ 1 , 5359397032/
                1706489875, 3.140 597 029}, {2 , 38279241713339684/
                12184551018734375, 3.141 621 029}, {2 , 76528487109180192540976/
                24359780855939418203125, 3.141 591 772}, {4 , 327853873402258685803048818236/
                104359128170408663038552734375, 3.141 592 682}, {5 , \(\(\ \)\(\(5150018754384552205994973405622666696/
                1639301884061026141391921953564453125\)\(\ \)\)\), \(\(\ \)\(\(3.141\)\(\ \)\(592\)\(\ \)\(653\)\(\ \)\)\)}})