Satz II 2.6:
Es sei  (V, ( , ))  endlichdimensionaler innerer Produktraum über  𝕂 . Es sei  B = ( (Subscript[e, 1]), ..., (Subscript[e, n]))  Orthonormalbasis von  V . 
Es sei  A∈hom(V,V) .  A  habe bzgl. B  die Matrix [ A ]=( (Subscript[a, i j]) ) . 
Genau dann ist  A  selbstadjungiert, wenn
	 (Subscript[a, i j])= (Subscript[(OverBar[a]), j i])     ,   i,j∈𝕟 .
Insbesondere sind die  (Subscript[a, i i])  reell.

Von daher ist die folgende Definition angebracht:

Definition  II.2.2:
SYMMETRISCHE bzw. HERMITESCHE MATRIX  (symmetric or hermitian matrix)
Es sei  A∈𝕂(n,n) . A  heißt symmetrisch oder hermitesch, falls
	A=   (OverBar[(A^T)])=((((OverBar[  A]) ))^T) ,
also mit  A =( (Subscript[a, i j]) ) 
	 (Subscript[a, i j])= (Subscript[(OverBar[a]), j i])     ,   i,j∈𝕟 .
Ist  𝕂   =ℝ , so ist  (Subscript[a, i j])= (Subscript[a, j i])  , also  A=(A^T) ; daher die Bezeichnung hermitesch.

Die Aussage von Satz II.2.6 lautet jetzt:
Genau dann ist  A  selbstadjungiert, wenn  [ A ]  hermitesch ist.

Beweis:
Es sei  B = ( (Subscript[e, 1]), ..., (Subscript[e, n]))  Orthonormalbasis von  V . Dann gilt mit  (Subscript[a, i j])∈𝕂
	A (Subscript[e, j])=(∑_(i=1)^n)(Subscript[a, i j])(Subscript[e, i])  .
A  ist selbstadjungiert. Von daher (warum?) sind die folgenden Gleichungen äquivalent:
	(A (Subscript[e, i]),(Subscript[e, j]))=((Subscript[e, i]),A (Subscript[e, j]))
(A (Subscript[e, i]),(Subscript[e, j]))=(OverBar[(A (Subscript[e, j]),(Subscript[e, i]))])
	        (Subscript[a, j i])=(OverBar[(Subscript[a, i j])])    	  ■

Die nächsten Sätze behandeln Eigenwerte und das charakteristische Polynom von selbstadjungierten Abbildungen.

Satz II 2.7:
Es sei  (V, ( , ))  endlichdimensionaler innerer Produktraum über  𝕂 .  
Es sei  A∈hom(V,V)   selbstadjungiert. Dann gilt

(  i  )	(A x,x)=(x,A x) ∈ℝ	 für alle  x∈V .
(  ii )	Die Eigenwerte von  A  sind reell.
( iii )	Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.

Beweis:
Zu ( i ) :
Es sei  x∈V . Dann gilt
	(A x,x)=(x,(SuperStar[A])x )=(x, A x)=(OverBar[(A x, x)]) .
Also ist  (A x, x)∈ℝ .
Zu ( ii ) :
Es sei  α EW von  A . Dann gilt (weshalb?)
	α(x, x)=(α x,x)=(A x,x)
                                           =(OverBar[(A x, x)])
			=(OverBar[(α x,x)])
			=((OverBar[α])x,x)
			=(OverBar[α]) (x,x)  .
Also ist  α=(OverBar[α]) , d.h. α∈ℝ .
Zu ( iii ) :
Es sei  für  i=1,2   (Subscript[α, i])  Eigenwert zum Eigenvektor  (Subscript[x, i])  und  (Subscript[α, 1])≠(Subscript[α, 2]) .  Dann gilt
	(Subscript[α, 1 ])((Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2]))=((Subscript[α, 1]) (Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]))=(A (Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]))=((Subscript[x, 1]),A (Subscript[x, 2]))=((Subscript[x, 1]),(Subscript[α, 2]) (Subscript[x, 2]))=(Subscript[α, 2])((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])) . 
Da   (Subscript[α, 1])≠(Subscript[α, 2])  folgt  ((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]))=0, d.h. (Subscript[x, 1])⊥ (Subscript[x, 2])  	  ■

Satz II 2.8:
Es sei  (V, ( , ))  endlichdimensionaler innerer Produktraum über  𝕂  mit dim V=n .  
Es sei  A∈hom(V,V)   selbstadjungiert. 
Dann zerfällt das charakteristische Polynom von  A  über  ℝ ; 

d.h.	(Subscript[P, A])=(∏_(k=1)^n)(x-(Subscript[α, k]))  , (Subscript[α, k])∈ℝ .

Beweis:
1. Fall: Es sei  𝕂=ℂ  , also A  unitär.
Dann zerfällt  (Subscript[P, A]) nach dem Fundamentalsatz der Algebra über  ℂ . Nach dem vorigen Satz ist aber jeder Eigenwert von  A , also jede Nullstelle von  (Subscript[P, A])  reell. Also gilt in diesem Fall die Behauptung.

2. Fall: Es sei  𝕂=ℝ  , also A  euklidisch.
Es sei  B = ( (Subscript[e, 1]), ..., (Subscript[e, n]))  Orthonormalbasis von  V  und   [ A ] ∈ ℝ(n,n)  sei die Matrix von  A  bzgl. dieser Basis. Dann ist nach Satz II 2.6   [ A ]  hermitesch, insbesondere reell symmetrisch. Die Matrix  [ A ]  definiert eine lineare Abbildung, etwa  (OverTilde[A])  auf dem  (ℂ^n) mit dem Skalarkörper  ℂ , der kanonischen Einheitsbasis und dem kanonischen inneren Produkt. Nach Satz  II 2.6 ist dann   (OverTilde[A])  selbstadjungiert und hat nach Fall 1 ein charakteristisches Polynom, dass über  ℝ  zerfällt.
Nach der Definition des charakteristischen Ploynoms gilt nun
	(Subscript[P, A])=(Subscript[P, [A]])=(Subscript[P, (OverTilde[A])]) ;
also gilt auch in diesem Falle die Behauptung   	  ■

II.3. Kegelschnitte

Conic Section Curves

Weitere Applets.

Alle Punkte x=((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])) , die die Gleichung
	(Subscript[x, 1]^2)+(Subscript[x, 2]^2)=(r^2)
erfüllen, liegen auf einem Kreis um den Nullpunkt mit Radius  r  .

Manipulate[ContourPlot[(x^2)+(y^2)==(r^2),{x,-2,2},{y,-2,2},
PlotRange->2.1{{-1,1},{-1,1}},
MaxRecursion->2, Frame->False, Axes->True],{{r,1},0.1,2,ControlPlacement->Bottom}]

Eine Ellipsengleichung sieht nur wenig anders aus:
	(Subscript[λ, 1])(Subscript[x, 1]^2)+(Subscript[λ, 2])(Subscript[x, 2]^2)=c

Manipulate[ContourPlot[λ1 (x1^2)+λ2 (x2^2)==c,{x1,-2,2},{x2,-2,2},
PlotRange->2.1{{-1,1},{-1,1}},
MaxRecursion->2, Frame->False, Axes->True],{{c,1},0.1,2,ControlPlacement->Bottom},
{{λ1,1},0.25,2,ControlPlacement->Bottom},{{λ2,1},0.25,2,ControlPlacement->Bottom}]

Die Gleichung

	(Subscript[λ, 1])(Subscript[x, 1]^2)+(Subscript[λ, 2])(Subscript[x, 2]^2)=c
	
läßt sich - auf den ersten Blick - etwas umständlicher Schreiben:

	((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]))(({{(Subscript[λ, 1]), 0}, {0, (Subscript[λ, 2])}}))(({{(Subscript[x, 1])}, {(Subscript[x, 2])}}))-c=0 
oder auch 
	                        (x^T) D  x-c=0 .
	                        
Jetzt soll die Ellipse noch gedreht werden mit einer Drehmatrix

	R(α):=(({{cos(α), -sin(α)}, {sin(α),    cos(α)}})) .
	
Also wird  x  ersetzt durch  R x  und  (x^T)  durch  (x^T)(R^T) :
	 (x^T) (R^T)D  R  x-c=0 .
	 
Schließlich soll mit einem Verschiebungsvektor  v  die Ebene noch verschoben werden, also  x  durch  x-v  ersetzt werden:
 	( (x^T)-(v^T)) (R^T)D  R ( x-v)-c=0  .
 	
 Da  A:= (R^T)D  R  symmetrisch ist, gilt  (x^T)A v=(v^T)A x  und damit folgt:
 	(x^T)A x-2(x^T)A v+(v^T)A v-c=0 .
 	
 Werden nun noch  b:=A v  und  d:=(v^T)A v-c  gesetzt, so folgt als allgemeine Ellipsengleichung
 	 (x^T) A  x-2(x^(T ))b+d=0 .

Manipulate[R={{Cos[α],Sin[α]},{-Sin[α], Cos[α]}};M={{2,0},{0,4}};
A=Transpose[R] . M . R;
ContourPlot[{x1-v1,x2-v2}.A.{x1-v1,x2-v2}==1,{x1,-4,4},{x2,-4,4},
PlotRange->3.1{{-1,1},{-1,1}},
MaxRecursion->2, Frame->False, Axes->True],{{α,45Degree},0,2π,ControlPlacement->Bottom},
{{v1,2},-2,2,ControlPlacement->Bottom},{{v2,-1},-2,2,ControlPlacement->Bottom}]

Wird speziell  D=(({{2, 0}, {0, 4}})) , α=45° und  v=(({{    2}, {-1}}))  gewählt, so folgt

	R=(({{(1/(Sqrt[2])), -(1/(Sqrt[2]))}, {(1/(Sqrt[2])),     (1/(Sqrt[2]))}}))  und  A=(({{ 3, 1}, {1, 3}}))
	
und nach einigen Rechnungen

	3(Subscript[x, 1]^2)-2(Subscript[x, 1])(Subscript[x, 2])+3(Subscript[x, 2]^2)-14(Subscript[x, 1])+10(Subscript[x, 2])+18=0 .
	
In allgemeiner Form:

	a (Subscript[x, 1]^2)+2b (Subscript[x, 1])(Subscript[x, 2])+c (Subscript[x, 2]^2)+2d (Subscript[x, 1])+2e (Subscript[x, 2])+f=0 .

10+3 (x^2)+10 y+3 (y^2)-2 x (7+y)

10-14 x+3 (x^2)+10 y-2 x y+3 (y^2)

10-14 x+3 (x^2)+10 y+2 x y+3 (y^2)

ContourPlot[3(x^2)+2x y+3(y^2)-14x+10y+10==0,{x,-6,6},{y,-6,6},
PlotRange->5.1{{-1,1},{-1,1}},
MaxRecursion->2, Frame->False, Axes->True]

α=45Degree

R=(({{Cos[α], -Sin[α]}, {Sin[α],    Cos[α]}}))//TraditionalForm

α=.;α=45Degree;R=(({{Cos[α], -Sin[α]}, {Sin[α],    Cos[α]}}))

Transpose[R].(({{2, 0}, {0, 4}})).R//TraditionalForm

R.(({{2, 0}, {0, 4}})).Transpose[R]//TraditionalForm

(({{3, -1}, {-1, 3}}))

A=(({{3, 1}, {1, 3}}));

Expand[{x,y}.A.{x,y}-2{x,y}.{7,-5}+10]

{x,y}.

{{},0,2π,ControlPlacement->Bottom},
{{},-2,2,ControlPlacement->Bottom},{{},-2,2,ControlPlacement->Bottom}

α=45Degree;v1=2;v2=-1;
R={{Cos[α],Sin[α]},{-Sin[α], Cos[α]}};M={{2,0},{0,4}};
A=Transpose[R] . M . R;
ContourPlot[{x1-v1,x2-v2}.A.{x1-v1,x2-v2}==1,{x1,-4,4},{x2,-4,4},
PlotRange->3.1{{-1,1},{-1,1}},
MaxRecursion->2, Frame->False, Axes->True]

Expand[{x1-v1,x2-v2}.A.{x1-v1,x2-v2}]