Definition 1.13a (Kollinear)

Seien  A,B,C∈ Γ . Gibt es eine Gerade g⊂ Γ  mit  A,B,C∈g , 
so heißen  A,B,C  kollinear.

Die Definition überträgt sich in "natürlicher" Weise auf mehr als drei Punkte.

Definition 1.13b (Norm, Metrik)

Es seien  Γ  :=(ℝ^2) und P:=(x,y)∈(ℝ^2)   .
Die Abbildung  ‖ . (Subscript[‖, e]) :  (ℝ^2)→ ℝ  mit P  → ‖ P (Subscript[‖, e]):=(Sqrt[(x^2)+(y^2)]) 
heißt euklidische Norm .

Die Abbildung  ‖ . (Subscript[‖, m]) :  (ℝ^2)→ ℝ  mit P  → ‖ P (Subscript[‖, m]) := max( |x|, |y| )
heißt Maximumsnorm .

Die Abbildung ‖ . (Subscript[‖, b]) :  (ℝ^2)→ ℝ  mit P  → ‖ P (Subscript[‖, b]) := |x| + |y|
heißt Summennorm .

Analog zur Definition 2.11 (Seite 116) werden zu diesen Normen die entsprechenden Metriken definiert; 
etwa mit  P := (x, y) und  Q := (u, v) 

 	(Subscript[|P,Q|, b]):= |x-u| +|y-v | .
 

Bemerkung 1.13c 
Wie sieht bzgl. dieser Metrik der Kreis mit Radius 1 aus?

Definition 1.18 (Winkel)

Seien  S,A,B∈ Γ  mit S∉{A,B} und g=⌊SA, h=⌊SB zwei Halbgeraden mit Anfangspunkt  S .  
S  heißt in diesem Zusammenhang Scheitelpunkt des Winkels 
und die Halbgeraden werden Schenkel des Winkels genannt.

Fall 1: 
Seien  A,B,S  kollinear; d.h. es gibt eine Gerade g⊂ Γ  mit  A,B,S∈g . 
Es sei  H eine der beiden abgeschlossenen Halbebenen, in die Γ  durch  g  zerlegt wird.
Wenn A<S<B oder B<S<A , dann heißt  H  ein gestreckter Winkel .
( A  und  B  "liegen auf verschiedenen Seiten" von  S .)

Wenn S<A<B oder S<B<A oder  B<A<S oder A<B<S , 
dann heißt die jeweilige Halbgerade mit Anfangspunkt  S  ein Nullwinkel .
( A  und  B  "liegen auf der gleichen Seiten" von  S .)

Fall 2: 
Seien  A,B,S  nicht kollinear. 
Es bezeichne (OverBar[g]):=(OverBar[SA])  bzw. (OverBar[h]):=(OverBar[SB])  die zu  g  bzw. h  gehörenden Geraden. 
Es sei nun (Subscript[H, gB]) die Menge aller Punkte  P∈ Γ  , die auf der selben Seite wie  B  bezüglich  g  liegen; also die offene Halbebene mit Rand  (OverBar[g]) , in der  B  liegt. 
Analog sei (Subscript[H, hA]) die offene Halbebene mit Rand  (OverBar[h])  in der  A  liegt. 

Dann heißt  ⟨g,h⟩:=(Subscript[H, gB])⋂(Subscript[H, hA])  ein Innenwinkelbereich
und ⟨(g,h):=((Subscript[H, gB])⋂(Subscript[H, hA])) ⋃ (g⋃h)  ein Innenwinkel .
Das Komplement  bzgl. Γ  des Innenwinkelbreichs  ⟨g,h⟩ heißt Aussenwinkel und wird mit  ⟩(g,h)  bezeichnet.

Winkel sind Nullwinkel, gestreckte Winkel sowie Innen- und Außenwinkel.

Bemerkung 1.19a
Nach dieser Definition haben Winkel keine Orientierung: D.h. es gilt z.B.   ⟨(g,h)=⟨(h,g) , in Konsistenz mit dem gleich folgenden Axiom 11.