II.2. Lineare Abbildungen auf inneren Produkträumen

Zuerst werden lineare Abbildungen  A, B  zwischen verschiedenen Vektorräumen betrachtet. Dabei interessiert erst einmal, ob folgende Gleichungen überhaupt möglich sind:

	(Ax, y) = (x, By) ,  (Ax,  Ay) = (x, y) , (Ax, y) = (x, Ay) .

Die Gleichungen werden in diesem Kapitel erkenntnisleitend sein.

Definition  II.2.1:
ADJUNGIERTE ABBILDUNG (adjoint mapping)
Es seien  (V, ( , )) ,  (W, ⟨ , ⟩)  innere Produkträume über dem selben Körper  𝕂 . Es sei  A ∈ hom(V, W) . Eine lineare Abbildung  B ∈ hom(W, V)  heißt die Adjungierte von  A , falls für alle  v ∈ V  und alle  w ∈ W  gilt  ⟨Av, w⟩  =  (v, Bw) .

Satz II.2.1:
Es seien  (V, ( , )),  (W, ⟨ , ⟩)  innere Produkträume über dem selben Körper  𝕂 . Es sei  A ∈ hom(V, W) . Dann gibt es höchstens eine adjungierte Abbildung zu  A .

Beweis:
Es seien etwa  B, C ∈ hom(W, V)  mit  ⟨Av, w⟩ = {({{(v,Bw)}, {(v,Cw)}})  für alle  v ∈ V  und  w ∈ W . (v, Bw) = (v, Cw)  bedingt  
Bw = Cw , d.h. B = C	       ■

Beispiel II.2.1:
Es sei  V = W = (ℝ^n). Es seien  ((Subscript[e, 1]), ..., (Subscript[e, n]))  die kanonische Einheitsbasis des  (ℝ^n) und  x = (∑_(ν = 1)^n) (Subscript[x, ν]) (Subscript[e, ν]) ,  y = (∑_(ν = 1)^n) (Subscript[y, ν]) (Subscript[e, ν]) .

Es seien  (Subscript[a, ν])μ ∈ ℝ  mit  ν, μ ∈ 𝕟 , wobei  (Subscript[a, ν])μ = (Subscript[a, μ])ν .  A ∈ hom(V, V)  sei definiert durch:
	A(Subscript[e, ν]):= (∑_(μ = 1)^n) (Subscript[a, μ])ν 
          (Subscript[e, μ]) ,  ν ∈ 𝕟 .
Dann folgt
	(Ax, y) 	=  ( A((∑_(ν = 1)^n) (Subscript[x, ν]) (Subscript[e, ν])), (∑_(κ = 1)^n) (Subscript[y, κ]) 
          (Subscript[e, κ]) )  
		=  ( (∑_(ν = 1)^n)(Subscript[x, ν])A (Subscript[e, ν]), (∑_(κ = 1)^n) (Subscript[y, κ]) 
          (Subscript[e, κ]) )  
		=   (∑_(ν = 1)^n) (Subscript[x, ν]) (∑_(μ = 1)^n) (Subscript[a, μ])ν ( (Subscript[e, μ]), (∑_(κ = 1)^n) (Subscript[y, κ]) 
          (Subscript[e, κ]) )  
		=   (∑_(ν = 1)^n) (Subscript[x, ν]) (∑_(μ = 1)^n) (Subscript[a, μ])ν (∑_(κ = 1)^n) (Subscript[y, κ])((Subscript[e, μ]), (Subscript[e, κ])) 
		=   (∑_(ν = 1)^n) (Subscript[x, ν]) \(TraditionalForm\`∑\+\(μ = 1\)\%n a\_μν\ y\_μ\) ,
und
	(x, Ay) =  ( (∑_(ν = 1)^n) (Subscript[x, ν]) (Subscript[e, ν]), A( (∑_(μ = 1)^n) 
              (Subscript[y, μ]) (Subscript[e, μ]) ) )
		=  ( (∑_(ν = 1)^n) (Subscript[x, ν]) (Subscript[e, ν]), (∑_(μ = 1)^n) (Subscript[y, μ]) 
          A (Subscript[e, μ]) ) 
		=  ( (∑_(ν = 1)^n) (Subscript[x, ν]) (Subscript[e, ν]), \(TraditionalForm\`∑\+\(μ = 1\)\%n y\_μ\ \(∑\+\(κ = 1\)\%n\( a\_κμ\) e\_κ\)\) )  
		=   (∑_(ν = 1)^n) (Subscript[x, ν]) \(TraditionalForm\`∑\+\(μ = 1\)\%n y\_μ\ \(∑\+\(κ = 1\)\%n a\_κμ\)\)((Subscript[e, ν]),(Subscript[e, κ]))  
		=   (∑_(ν = 1)^n) (Subscript[x, ν]) \(TraditionalForm\`∑\+\(μ = 1\)\%n y\_μ\ a\_νμ\)  
		=   (∑_(ν = 1)^n) (Subscript[x, ν]) \(TraditionalForm\`∑\+\(μ = 1\)\%n y\_μ\ a\_μν\) .

Also gilt  (Ax, y)  =  (x, Ay)	    ■

Satz II 2.2:
Es sei  (V, ( , ))  innerer Produktraum über  𝕂 . Zu jedem linearen Funktional  L ∈ hom (V, 𝕂)  gibt es genau ein  a ∈ V  mit  L(x) = (x, a) für alle  x ∈ V .

Beweis:
Es sei  ( (Subscript[e, 1]), ..., (Subscript[e, n]))  Orthonormalbasis von  V . Dann seien  (Subscript[l, ν]) := L((Subscript[e, ν]))  ∈ 𝕂 und  (Subscript[a, ν]) := \(TraditionalForm\`\(l\_ν\)\&_\) . 
Mit  a := (∑_(ν = 1)^n) (Subscript[a, ν]) (Subscript[e, ν])  und  x := (∑_(μ = 1)^n) (Subscript[x, μ]) (Subscript[e, μ]) folgt
	L(x) 	=  L( (∑_(μ = 1)^n) 
              (Subscript[x, μ]) (Subscript[e, μ]) )  
		=  (∑_(μ = 1)^n) (Subscript[x, μ])L((Subscript[e, μ]))  
		=  (∑_(μ = 1)^n) (Subscript[x, μ])(Subscript[l, μ])  
		=  (∑_(μ = 1)^n) (Subscript[x, μ])\(\(a\_μ\)\&_\) ,

andererseits gilt auch  (x, a)  =  ((∑_(μ = 1)^n) (Subscript[x, μ]) (Subscript[e, μ]) , (∑_(ν = 1)^n) (Subscript[a, ν]) (Subscript[e, ν]))  = \(TraditionalForm\`\(\(\ \)\(∑\+\(μ = 1\)\%n\( 
              x\_μ\) \(a\_μ\)\&_\)\)\)  .

Zur Eindeutigkeit: 
Es sei  b ∈ V , so dass auch  L(x) = (x, b)  für alle  x ∈ V . Aus  (x, a) = (x, b)  für alle  x ∈ V  folgt   a = b     ■

Nun der wichtige

Satz II 2.3:
Es seien  (V, ( , )) , (W, ⟨ , ⟩)  innere Produkträume über dem selben Körper  𝕂 . Es sei  V  endlichdimensional. 
Es sei  A ∈ hom(V, W) . Dann existiert zu  A  eine Adjungierte.

Beweis:
Es sei  w ∈ W . Mit  x ∈ V  wird durch  L(x)  := ⟨Ax, w⟩ ( = (Subscript[L, w])(x) )  ein lineares Funktional  L ∈ hom(V,  𝕂)  definiert. 
Nach Satz II.2.2 gibt es dann zu  w  und  L  ein  y ∈ V  mit  L(x) = (x, y) . Nun wird  \(TraditionalForm\`\(A\^*\)\)(w) := y  für  w ∈ W  gesetzt, d.h.  \(TraditionalForm\`\(A\^*\)\) ∈ abb(W, V) . Dann gilt für alle  x ∈ V  und jedes  w ∈ W 
	L(x) = ⟨Ax, w⟩ = (x, y) = (x, \(TraditionalForm\`\(A\^*\)\)(w)) .

Es bleibt zu zeigen, dass  \(TraditionalForm\`\(A\^*\)\) linear ist: Es sei  α ∈ 𝕂 :
(\(TraditionalForm\`x, \(A\^*\)(a\ w)\)) = ⟨Ax, αw⟩ = \(TraditionalForm\`α\&__\)⟨Ax, w⟩ = \(TraditionalForm\`α\&__\)(\(TraditionalForm\`x, \(A\^*\) w\)) = (\(TraditionalForm\`x, α\ \(A\^*\) w\)) .
Also ist  \(TraditionalForm\`\(A\^*\)\)(α,w) = α \(TraditionalForm\`\(A\^*\)\)(w) . 
Mit  v, w ∈ W  folgt	
(\(TraditionalForm\`x, \(A\^*\)\ \((v + w)\)\)) = ⟨Ax, v+w⟩ = ⟨Ax, v⟩ + ⟨Ax, w⟩ = (\(TraditionalForm\`x, \(A\^*\) v\)) + (\(TraditionalForm\`x, \(A\^*\) w\)) = (\(TraditionalForm\`x, \(A\^*\) v\  + \ \(A\^*\) w\)) .
Also ist  \(TraditionalForm\`\(A\^*\)\ \((v + w)\)\) = \(TraditionalForm\`\(A\^*\) v\  + \ \(A\^*\) w\)  und insgesamt  \(TraditionalForm\`\(A\^*\)\)  linear    ■

Satz II 2.4:
Es seien  (V, ( ,)), (W, ⟨ , ⟩)  innere Produkträume über dem selben Körper  𝕂 . Es seien  A ∈ hom(V, W)  und  ((Subscript[e, 1]), ..., (Subscript[e, n]))  Orthonormalbasis. Dann ist \(TraditionalForm\`\(\(\ \)\(\(A\^*\) w\)\)\) = (∑_(ν = 1)^n)⟨w, 
            A (Subscript[e, ν])⟩ (Subscript[e, ν]) für alle  w ∈ W .

Beweis:
Für alle  x ∈ V  gilt  x = (∑_(ν = 1)^n)(x,  
            (Subscript[e, ν])) (Subscript[e, ν])  und damit auch  \(TraditionalForm\`\(A\^*\) w\) = (∑_(ν = 1)^n)(\(TraditionalForm\`\(A\^*\) w, \ e\_ν\)) (Subscript[e, ν]) = (∑_(ν = 1)^n) ⟨w, A (Subscript[e, ν])⟩ (Subscript[e, ν])	  ■

Satz II 2.5:
Es seien  (V, ( , )), (W, ⟨ , ⟩)  innere Produkträume über dem selben Körper  𝕂 . Zu  A ∈ hom(V, W)  existiere die Adjungierte \(TraditionalForm\`\(A\^*\)\). 
Dann gilt:
(i)	Es existiert (SuperStar[(\(A\^*\))]) und es gilt  \(TraditionalForm\`\(A\^ ** \)\) :=  (SuperStar[(\(A\^*\))]) = A .
(ii)	ker \(TraditionalForm\`\(A\^*\)\) = (((im A))^ ⊥)  .
(iii)	ker A   = (((im \(A\^*\)))^⊥) .
(iv)	Ist  A surjektiv, so ist  \(TraditionalForm\`\(A\^*\)\)  injektiv.
(v)	Ist  \(TraditionalForm\`\(A\^*\)\)  surjektiv, so ist  A  injektiv.

Beweis:
Zu (i):	Es seien  v ∈ V  und  w ∈ W . 
Dann folgt  (\(TraditionalForm\`\(A\^*\) w, v\)) = (OverBar[(\(v, \(A\^*\) w\))]) = \(TraditionalForm\`⟨Av, w⟩\&_\) = ⟨w, Av⟩ , also  \(TraditionalForm\`\(A\^ ** \)\) = A .

Zu (ii):    im A 	= { w ∈ W  |  Es gibt ein  v ∈ V  mit  Av = w }
           (((im A))^ ⊥) = { w ∈ W  |  w ⊥ Av  für alle  v ∈ V }
		= { w ∈ W  |  0 = ⟨Av, w⟩ = (\(TraditionalForm\`v, \(A\^*\) w\))  für alle  v ∈ V }
		= { w ∈ W  | \(TraditionalForm\`\(A\^*\) w\) = 0 }
		=  \(TraditionalForm\`ker\ \(A\^*\)\)

zu (iii):	 ker A 	= { w ∈ W   |  Aw = 0 }
		= { w ∈ W  |  0 = ⟨(A^⋆)v, w⟩ = (v, Aw) }
		= { w ∈ W  |  w ⊥ (A^⋆)v  für alle  v ∈ V }
		=  (((im \(A\^*\)))^⊥)

Zu (iv): Ist  A  surjektiv, dann ist  imA = W . Da  {0} = (W^ ⊥)  = (((im A))^ ⊥)  = ker\(TraditionalForm\`\(A\^*\)\) folgt, dass  \(TraditionalForm\`\(A\^*\)\) injektiv ist.

Zu (v):  Ist  (A^⋆)  surjektiv, dann ist  im(A^⋆) = W . Da  {0} = (W^ ⊥)  = (((im (A^⋆)))^ ⊥)  = kerA folgt, dass  A  injektiv ist  	■