II.4. Moduln

Als Vorlage für den größten Teil dieses Textes diente ein Skript von Professor Rück zur Linearen Algebra II im Sommersemester 2002. Vielen Dank.

Grundlegende Begriffe

Am Anfang zur Erinnerung die Definitionen einiger grundlegender algebraischer Strukturen und zweier Schreibweisen:
Für  n ∈ ℕ  sei  𝕟 := {1,…, n} . Entsprechend werden die Bezeichnungen  𝕜, 𝕝, 𝕞, … benutzt.
Statt  ℤ / nℤ  wird auch  (Subscript[ℤ, n])  geschrieben.

Definition II.4.1: 
GRUPPE (group)
ABELSCHE GRUPPE  (abelian group)
Eine nichtleere Menge  G  mit einer Verknüpfung  ⊕  heißt GRUPPE, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
(G i)	Assoziativgesetz: 
         	Für alle  (Subscript[g, 1]),(Subscript[g, 2]), (Subscript[g, 3]) ∈ G  gilt: (Subscript[g, 1])⊕ ((Subscript[g, 2])⊕ (Subscript[g, 3])) = ((Subscript[g, 1])⊕ (Subscript[g, 2])) ⊕ (Subscript[g, 3 ]) .
(G ii) 	Existenz eines neutralen Elementes:
	Es gibt ein  n ∈ G  mit  n ⊕ g = g ⊕ n = g  für alle  g ∈ G .
(G iii) 	Existenz von Inversen:
	Zu jedem  g ∈ G  gibt es ein  g' ∈ G  mit  g ⊕ g' = g' ⊕ g = n .

Eine Gruppe heißt ABELSCH, wenn die Verknüpfung  ⊕  kommutativ ist, d.h. für alle  (Subscript[g, 1]),(Subscript[g, 2]) ∈ G  gilt:  
(Subscript[g, 1])⊕ (Subscript[g, 2]) = (Subscript[g, 2])⊕ (Subscript[g, 1]) .

Definition II.4.2: 
RING (ring)
Eine nichtleere Menge  R  mit zwei Verknüpfungen  +  und  ·  heißt RING, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
(R i)	(R, +)  ist abelsche Gruppe; das neutrale Element bzgl.  +  wird Null genannt.
(R ii)	Assoziativgesetz für die Multiplikation: 
         	Für alle  (Subscript[r, 1]),(Subscript[r, 2]), (Subscript[r, 3]) ∈ R  gilt: (Subscript[r, 1])· ((Subscript[r, 2])· (Subscript[r, 3])) = ((Subscript[r, 1])· (Subscript[r, 2])) · (Subscript[r, 3 ]).
(R iii) 	Distributivgesetze:
	 Für alle  (Subscript[r, 1]),(Subscript[r, 2]), (Subscript[r, 3]) ∈ R  gilt:  
	 (Subscript[r, 1])· ((Subscript[r, 2])+ (Subscript[r, 3])) = ((Subscript[r, 1])· (Subscript[r, 2])) + ((Subscript[r, 1])· (Subscript[r, 3])) , ((Subscript[r, 1])+ (Subscript[r, 2])) · (Subscript[r, 3]) = ((Subscript[r, 1])· (Subscript[r, 3])) + ((Subscript[r, 2])· (Subscript[r, 3])) .

Ein Ring  R  heißt KOMMUTATIV, wenn die Verknüpfung  ·  kommutativ ist, d.h. für alle  (Subscript[r, 1]) ,(Subscript[r, 2]) ∈ R  gilt: 
(Subscript[r, 1])· (Subscript[r, 2]) =  (Subscript[r, 2]) · (Subscript[r, 1]) .       
Ein  Element  e ∈ R  heißt EINSELEMENT (multiplcative identity), wenn  e · r = r · e = r  für alle  r ∈ R  gilt; oft wird  e  als  1  geschrieben.

Beispiele:
Wichtige Ringe sind :
	ℤ , der Ring der ganzen Zahlen mit Addition und Multiplikation,
	(Subscript[ℤ, n]), der Restklassenring modulo n .
	2ℤ , die Menge der geraden ganzen Zahlen; sie bildet einen kommutativen Ring ohne Einselement.
	ℤ[X] , der Ring der Polynome mit Koeffizienten aus ℤ .
	K[X] , der Ring der Polynome mit Koeffizienten aus einem Körper  K .
	K(n, n) , der Ring der n×n-Matrizen mit Komponenten aus einem Körper  K .

Definition II.4.3: 
IDEAL (ideal)
Eine nichtleere Teilmenge  I  eines Ringes  R   heißt IDEAL, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
(I i)	(I, +)  ist Unterguppe der Gruppe  (R, +) .
(I ii)	Für alle  r ∈ R  und alle  x ∈ I  gilt  r · x ∈ I .

Beispiel:
Es sei  R = 2ℤ . 4ℤ  ist Ideal von  2ℤ .

Definition II.4.4: 
HAUPTIDEAL (principal ideal)
Ein Ideal  I  eines Ringes  R   heißt HAUPTIDEAL, wenn es ein  y ∈ I  gibt, so dass zu jedem  z ∈ I  ein  r ∈ R  existiert mit  z = y · r . Das Element  y  erzeugt das Ideal  I  und wird auch Erzeuger (generator) genannt.
Es werden dann folgende Schreibweisen benutzt: I = ⟨y⟩  oder  I = [y] .

Definition II.4.5: 
INTEGRITÄTSBEREICH (integral domain)
Ein kommutativer Ring  R  mit Einselement heißt INTEGRITÄTSBEREICH, wenn für alle  (Subscript[r, 1]), (Subscript[r, 2]) ∈ R  mit  (Subscript[r, 1])≠ 0 , 
(Subscript[r, 2]) ≠ 0  folgt  (Subscript[r, 1])· (Subscript[r, 2]) ≠ 0 .

Manchmal werden Integritätsbereiche auch Integritätsringe genannt.

Definition II.4.6: 
NULLTEILER (zero divisor)
Es sei  R  ein Ring. Ein  a ∈ R  heißt NULLTEILER, wenn  a ≠ 0  und es ein  b ∈ R  gibt mit  b ≠ 0  und  a·b = 0 .

Beispiel:
Ist  n ∈ ℕ  keine Primzahl, etwa  n = a·b  mit  a, b ∈ ℕ \ {1} , so gibt es in  (Subscript[ℤ, n]) Nullteiler, nämlich z.B.  \(TraditionalForm\`a\&_\)  und  \(TraditionalForm\`b\&_\) , denn  \(TraditionalForm\`\(a·b\)\&_\) = \(TraditionalForm\`n\&_\) = \(TraditionalForm\`0\&_\) .

Definition II.4.7: 
KÖRPER (field)
Ein kommutativer Ring mit Einselement  (K, +, ·)  heißt KÖRPER, wenn  (K \ {0}, ·)  abelsche Gruppe ist.

Also besitzt jedes Element  k ∈ K \ {0}  ein multiplikatives Inverses. Es gibt in  K  keine Nullteiler.

Definition II.4.8: 
VEKTORRAUM (vector space)
Es sei  K  ein Körper. Eine nichtleere Menge  V  mit einer Verknüpfung (Addition) + : V × V → V und einer äußeren Verknüpfung (skalare Multiplikation) · : K × V → V  heißt VEKTORRAUM, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
(V i)	(V, +)  ist abelsche Gruppe.
Für alle  α, β ∈ K  und  alle  v, w ∈ V  gelten:
(V ii)	Distributivgesetze:
	(α + β) · v = (α·v) + (β·v) , α · (v + w) = (α·v) + (α·w) ,
(V iii)	Assoziativgesetz:
	α · (β·v) = (α·β) · v ,
(V iv)	1 · v = v .

Definition II.4.9: 
R-MODUL (module)
Es sei  R  ein Ring mit Eins. Eine nichtleere Menge  M  mit einer Verknüpfung (Addition)  + :  M × M → M  und einer äußeren Verknüpfung (skalare Multiplikation)  · :  R × M → M  heißt  R-MODUL, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
(M i)	(M, +)  ist abelsche Gruppe.
Für alle  α, β ∈ R  und  alle  v, w ∈ M  gelten:
(M ii)	 Distributivgesetze:
    	 (α + β ) · v = (α·v) + (β·v) , α · (v + w) = (α·v) + (α·w) ,
(M iii)	Assoziativgesetz:
	 α · (β·v) = (α·β) · v ,
(M iv)	 1 · v = v .

Beispiele: 
1)
Vektorräume sind Module.

2)
Es sei  R := ℤ   mit einem  m ∈ ℤ  sei  M := (Subscript[ℤ, m])  der Restklassenring modulo  m  mit der dort üblichen Addition  + . Die skalare Multiplikation  μ  sei (in naheliegender Weise) definiert durch: μ : ℤ × (Subscript[ℤ, m]) → (Subscript[ℤ, m])  durch  μ(r, \(TraditionalForm\`a\&_\)) := \(TraditionalForm\`\(r·a\)\&_\) . Es ist zu überprüfen, ob  μ  wohldefiniert ist: Es sei also mit  a, b ∈ ℤ   \(TraditionalForm\`a\&_\)  = \(TraditionalForm\`b\&_\) , d.h.  m | (a – b) . Es folgt  m | r·(a – b) , also auch   \(TraditionalForm\`\(r·a\)\&_\)  = \(TraditionalForm\`\(r·b\)\&_\) , w.z.b.w. . Üblicherweise wird statt  "μ"  nur  "·"  geschrieben.
Als Übungsaufgabe ist zu beweisen, dass  M  ein R-Modul ist. 

R  ist eine unendliche Menge, aber  M  ist endlich. Es gilt für  m ∈ R  mit  m ≠ 0  und  \(TraditionalForm\`1\&_\) ≠ \(TraditionalForm\`0\&_\) aber  m· \(TraditionalForm\`1\&_\) = \(TraditionalForm\`m\&_\) = \(TraditionalForm\`0\&_\) . Also gibt es hier nicht "so etwas", wie lineare Unabhägigkeit.

3)
Es seien  R := ℤ  und  M := ℚ  mit der üblichen Addition und Multiplikation. Wieder läßt sich leicht zeigen, dass  M  ein R-Modul ist. 
In diesem Modul läßt sich die Null als nichttriviale Linearkombination zweier beliebiger Elemente ungleich Null darstellen:
Es seien  (Subscript[m, v]) = ((Subscript[a, ν])/(Subscript[b, ν])) für  ν = 1, 2  und  (Subscript[a, ν]), (Subscript[b, ν]) ∈ ℤ \ {0} . Dann folgt  (Subscript[a, 2])·(Subscript[b, 1])·(Subscript[m, 1]) + ((Subscript[–a, 1])·(Subscript[b, 2])) · (Subscript[m, 2]) = 0 .
M  läßt sich nicht "endlich erzeugen", denn angenommen es gäbe nun für  ν ∈ 𝕟  (Subscript[m, v]) = ((Subscript[a, ν])/(Subscript[b, ν])), die das leisten, dann hat  ein  m  mit  m = (Subscript[λ, 1])·(Subscript[m, 1]) + ⋯ + (Subscript[λ, n])·(Subscript[m, n])  höchstens das Produkt  (Subscript[b, 1])⋯ (Subscript[b, n])  im Nenner.

4)
Es sei  V  ein Vektorraum über einem Körper  K . Es seien  φ ∈ hom(V, V)  und  p(X) ∈ K[X] . Dann sei die skalare Multiplikation  · : K[X] × V → V  definiert durch  p(X) · v := (p(φ))(v) . Dann ist  V  ein K[X]-Modul.
Beweis als Übung.
Dieses Beispiel ist sehr grundlegend für die Anwendung eines zentralen Satzes der Modultheorie auf die Darstellung von linearen Abbildungen.

Definition II.4.10: 
UNTERMODUL (submodule)
Eine nichtleere Teilmenge  N  eines R-Moduls  M  heißt UNTERMODUL, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: 
(UM i)    N  ist Untergruppe der additiven Gruppe von  M .
(UM ii)   Für alle  r ∈ R  und alle  n ∈ N  ist auch  r · n ∈ N .

Lemma II.4.1
Eine nichtleere Menge  N  eines R-Moduls  M  ist Untermodul, wenn gilt:
Für alle  (Subscript[n, 1]), (Subscript[n, 2]) ∈ N  ist auch  (Subscript[n, 1])+ (Subscript[n, 2]) ∈ N .
Für alle  r ∈ R  und alle  n ∈ N  ist auch  r · n ∈ N . 
Beweis als Übung.

Dieses Kriterium wird meist zum Nachweis der Untermoduleigenschaft benutzt.

Definition II.4.11: 
MODULHOMOMORPHISMUS (homomorphism of modules)
Es seien  M, N  R-Moduln. Eine Abbildung  f : M → N  heißt MODULHOMOMORPHISMUS, oder auch R-LINEARE ABBILDUNG, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: 
(H i)	Für alle  (Subscript[m, 1]), (Subscript[m, 2])∈ M  gilt: f ((Subscript[m, 1])+ (Subscript[m, 2])) = f ((Subscript[m, 1])) + f ((Subscript[m, 2])) .
(H ii)	Für alle  m ∈ M  und alle  r ∈ R  gilt  f (r · m) = r · f (m) .

Die Vorsilben Auto-, Endo-, Iso- werden sinngemäß auch bei diesen -homomorphismen gebraucht.

Bemerkung: Das Zeichen  ≃  soll im Folgenden für die Isomorphie von Moduln benutzt werden.

Definition II.4.12: 
KERN, BILD (kernel, image)
Es seien  M, N  R-Moduln und  f : M → N  ein Homomorphismus. 
kern f := { m ∈ M  |  f (m) = 0 }  heißt der KERN von  f  und ist ein R-Modul.
bild f := { f (m) ∈ N  |   m ∈ M }  heißt das BILD von  f  und ist ein R-Modul.

Beweis für die R-Modul-Eigenschaft:
Es seien  für  ν = 1, 2  (Subscript[m, ν]) ∈ M  und  r ∈ R .
Zum Bild:  f ((Subscript[m, 1])) + f ((Subscript[m, 2])) = f ((Subscript[m, 1])+ (Subscript[m, 2])) ∈ bild f  , r · f ((Subscript[m, 1])) = f (r·(Subscript[m, 1])) ∈ bild f  .
Zum Kern:  Es seien  (Subscript[m, ν]) ∈ kern f . Mit  f ((Subscript[m, 1])+ (Subscript[m, 2])) = f ((Subscript[m, 1])) + f ((Subscript[m, 2])) = 0 + 0 = 0  folgt auch  (Subscript[m, 1])+ (Subscript[m, 2]) ∈ kern f  .
 f (r·(Subscript[m, 1]))  = r · f ((Subscript[m, 1]))  = r·0 = 0 .

Definition II.4.13: 
SUMME, DIREKTE SUMME, DIREKTES PRODUKT (sum, direct sum, direct product)
Es seien  M, N  Untermodulen eines R-Moduls. 
Die Menge  { n + m | n ∈ N , m ∈ M } =: M + N  heißt die SUMME von  N  und  M  und ist ein R-Untermodul.
Die Summe  M + N  heißt DIREKT, wenn  M ⋂ N = {0} ; Schreibweise:  M ⊕ N  .
Die Menge  {(n, m) | n ∈ N , m ∈ M } =: M × N  heißt DIREKTES PRODUKT von  N  und  M  und ist ein R-Modul.

Folgerung: 
Sind  (Subscript[M, ν]) , ν ∈ 𝕟 , Untermoduln eines R-Moduls  M , so ist  M  direkte Summe der  (Subscript[M, ν]) , geschrieben  
M = (Subscript[M, 1])⊕ ⋯ ⊕ (Subscript[M, n]) , wenn  M = (Subscript[M, 1])+ ⋯ + (Subscript[M, n]) = \(TraditionalForm\`Σ\+\(ν = 1\)\%n\) (Subscript[M, ν])  und  (Subscript[M, μ])⋂ (Underscript[Σ, ν ≠ μ])(Subscript[M, ν]) = {0}  für  μ ∈ 𝕟 .

Lemma II.4.2
Es seien  (Subscript[M, ν]) , ν ∈ 𝕟 , Untermoduln eines R-Moduls  M . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(i)	M  ist direkte Summe der  (Subscript[M, ν]) .
(ii)	Jedes  m ∈ M  ist eindeutig darstellbar als  m = \(TraditionalForm\`Σ\+\(ν = 1\)\%n\) (Subscript[m, ν]) mit  (Subscript[m, ν]) ∈ (Subscript[M, ν]) .

Der Beweis ist analog dem entsprechenden bei Vektorräumen.

Bemerkung: 
Es seien  (Subscript[N, 1]), (Subscript[N, 2])  Untermoduln von  M , dann ist  φ :  (Subscript[N, 1]) × (Subscript[N, 2]) → M  mit  φ((Subscript[n, 1]), (Subscript[n, 2])) := (Subscript[n, 1]) + (Subscript[n, 2])  genau dann ein  
R-Modul-Isomorphismus, wenn  M  direkte Summe von  (Subscript[N, 1]) und  (Subscript[N, 2])  ist.
Beweis als Übung.

Definition II.4.14: 
QUOTIENTENMODUL (quotient module)
Es seien  M  ein R-Modul und  N  ein R-Untermodul von  M . Es seien  x, y ∈ M . Es gelte  x ∼ y  genau dann, 
wenn  x – y ∈ N  . Dann wird durch  ∼  eine Äquivalenzrelation definiert. Es bezeichne  M / N  die Menge der zugehörigen Äquivalenzklassen  \(TraditionalForm\`m\&_\) = m + N . 
M / N  heißt QUOTIENTENMODUL und ist ein R-Modul.
Statt des Namens Quotientenmodul wird auch der Name Faktormodul benutzt.

Die Addition von Restklassen ist wohldefiniert durch  \(TraditionalForm\`\(m\_1\)\&_\) + \(TraditionalForm\`\(m\_2\)\&_\) := \(TraditionalForm\`\(m\_1 + \ m\_2\)\&_\) , denn für ν = 1, 2 , (Subscript[μ, ν]) ∈  M / N  und  
\(TraditionalForm\`\(m\_ν\)\&_\)  = \(TraditionalForm\`\(μ\_ν\)\&_\)  folgt  (Subscript[m, ν]) – (Subscript[μ, ν]) ∈ N , also auch   ((Subscript[m, 1])+ (Subscript[m, 2])) – ((Subscript[μ, 1]) + (Subscript[μ, 2])) ∈ N  .
Die skalare Multiplikation wird durch  r·\(TraditionalForm\`m\&_\) := \(TraditionalForm\`\(r·m\)\&_\) definiert.

Beispiele:
1)  
Es seien  M  der ℤ-Modul  ℚ  und  N  der ℤ-Untermodul mit  N :=  ℤ .
ℚ / ℤ = { q + ℤ | q ∈ ℚ } . Zwei Elemente  \(TraditionalForm\`p\&_\)  und  \(TraditionalForm\`q\&_\) aus  ℚ / ℤ  sind genau dann gleich, wenn  p – q ∈ ℤ .

2)
Es seien  M  der ℚ-Modul mit  M := ℚ × ℚ  und  N  der Untermodul mit  N := { (r, r) | r ∈ ℚ } . 
Dann gilt  M / N = ℚ × ℚ / N =  { (a, b) + N  |  (a, b) ∈ M } . Zwei Elemente aus  M / N  , etwa  (a, b) + N  und  
(c, d) + N , sind genau dann gleich in  M / N  , wenn  (a, b) – (c, d) ∈ N , also genau dann, wenn  a – c = b – d . Damit sind  (4, 3)  und  (2, 1)  Elemente der gleichen Restklasse  { (2, 1) + (r, r) | r ∈ ℚ } , also einer Geraden in  ℚ × ℚ .

Lemma II.4.3
π : M → M / N  mit  π(m) := \(TraditionalForm\`m\&_\)  ist ein R-Modul-Homomorphismus.

Beweis trivial!

Satz II.4.1 1. Isomorphiesatz für Module
Es seien  M  ein R-Modul und  N  ein R-Untermodul von  M . Es seien  f : M → N  ein R-Modul-Homomorphismus und  π : M → M / N  mit  π(m) := \(TraditionalForm\`m\&_\) .
i)  Dann ist  kern f  ein R-Untermodul von  M  und  bild f  ein R-Untermodul von  N  .
ii) Es gibt einen eindeutig bestimmten R-Modul-Isomorphismus  \(TraditionalForm\`f\&_\) : M / kern f  → bild f  mit  f = \(TraditionalForm\`f\&_\) ∘ π .

Beweis:
Der Beweis zu i) folgt mit den Definitionen von Kern und Bild .
Zu ii) : Es seien  m, μ ∈ M . \(TraditionalForm\`f\&_\) :  M / kern f  → bild f   mit  \(TraditionalForm\`f\&_\)(\(TraditionalForm\`m\&_\)) :=  f (m)  ist wohldefiniert, denn mit  \(TraditionalForm\`m\&_\) = \(TraditionalForm\`μ\&_\) , was ja  
m – μ ∈ kern f   bedeutet, folgt  f (m) = f (m) – 0 = f (m) + f (μ – m) = f (m + μ – m) = f (μ) . 
Die Surjektivität von  \(TraditionalForm\`f\&_\)  ist trivial. 
Zur Injektivität: Es seien  \(TraditionalForm\`m\&_\), \(TraditionalForm\`μ\&_\) ∈ M / kern f  mit \(TraditionalForm\`f\&_\)(\(TraditionalForm\`m\&_\)) = \(TraditionalForm\`f\&_\)(\(TraditionalForm\`μ\&_\)) , also  f (m) = f (μ) . Dann folgt  f (m – μ) = 0 , also  
m – μ ∈ kern f , d.h.  \(TraditionalForm\`m\&_\) = \(TraditionalForm\`μ\&_\) .

Definition II.4.15: 
LINEARKOMBINATION (linear combination)
Es seien  M  ein R-Modul,  (Subscript[m, 1]),…, (Subscript[m, n]) ∈ M  und  (Subscript[a, 1]),…, (Subscript[a, n]) ∈ R . 
\(Σ\+\(ν = 1\)\%n\)(Subscript[a, ν])·(Subscript[m, ν]) heißt LINEARKOMBINATION der  (Subscript[m, 1]),…, (Subscript[m, n]) . Die Menge der Linearkombinationen von  (Subscript[m, 1]),…, (Subscript[m, n])  wird mit  Lin ((Subscript[m, 1]),…, (Subscript[m, n]))  oder auch mit  [(Subscript[m, 1]),…, (Subscript[m, n])]  bezeichnet.

Definition II.4.16: 
ENDLICH ERZEUGTER R-MODUL (finitely generated R-modul)
ZYKLISCHER R-MODUL (cyclic R-modul)
FREIER R-MODUL (free R-modul)
Es sei  M  ein R-Modul. 
M  heißt ENDLICH ERZEUGT, falls es  (Subscript[m, 1]),…, (Subscript[m, n]) ∈ M  gibt mit  M = [(Subscript[m, 1]),…, (Subscript[m, n])] . 
M  heißt ZYKLISCHER R-MODUL, falls es ein  m ∈ M  gibt mit  M = [m] .
M  heißt FREIER R-MODUL, falls es ein  n ∈ ℕ  und  (Subscript[m, 1]),…, (Subscript[m, n]) ∈ M  gibt, so dass zu jedem  m ∈ M  eindeutig bestimmte  (Subscript[a, 1]),…, (Subscript[a, n]) ∈ R  existieren mit  m = \(Σ\+\(ν = 1\)\%n\)(Subscript[a, ν])·(Subscript[m, ν]) .

Bei zyklischen Moduln wird statt  M = [m]  häufig die Schreibweise  mR  benutzt.

Beispiele: 
1)
Es sei  R  ein R-Modul und  1 ∈ R . M := [1]  ist zyklischer R-Modul.

2)
Es sei  R  ein R-Modul und  m ∈ R . Es sei  M := [m] . Es sei  φ : R → M  definiert durch  φ(r) := r · m . Dann ist  φ  surjektiver Modul-Homomorphismus.
kern φ = { r ∈ R |  r · m = 0 } =: Y  ist Ideal in  R . Deshalb gilt nach Satz II.4.1  R / Y ≃ M , d.h. jeder zyklische Modul ist isomorph zum Quotientenmodul des Rings nach einem Ideal.

3)
Der Nullmodul  {0}  ist ein freier Modul, der durch die leere Menge erzeugt wird.

Lemma II.4.4
Es sei  M  ein R-Modul. M  ist genau dann frei, wenn es einen R-Modul-Isomorphismus von  (R^n)  nach  M  gibt.

Beweis als Übung.

Definition II.4.17: 
LINEAR UN / ABHÄNGIG (linear in / dependent)
Es sei  M  ein R-Modul. 
Es seien  (Subscript[m, 1]),…, (Subscript[m, n]) ∈ M . Die Familie  F := ((Subscript[m, 1]),…, (Subscript[m, n]))  heißt LINEAR UNABHÄNGIG, wenn aus  \(Σ\+\(ν = 1\)\%n\)(Subscript[a, ν])·(Subscript[m, ν]) = 0  mit  (Subscript[a, 1]),…, (Subscript[a, n]) ∈ R  auch  (Subscript[a, ν]) = 0  für alle  ν ∈ 𝕟  folgt.  Andernfalls heißt  F  LINEAR ABHÄNGIG.

Bemerkung: Die Definition eines freien Moduls ist äquivalent zur Existenz eines linear unabhängigen Erzeugendensystems. Dieses wird dann wieder BASIS genannt.

Satz II.4.2
Es seien  R  ein Integritätsbereich, M  ein R-Modul mit einer Basis  ((Subscript[m, 1]),…, (Subscript[m, n]))  und  ((Subscript[x, 1]),…, (Subscript[x, k]))  eine linear unabhängige Familie von Elementen aus  M . Dann ist  k ≤ n .

Beweis:
Induktion nach  n :
n = 1 :  
Es sei  M := [(Subscript[m, 1])]  und damit  M ≃ R . Angenommen es sei  ((Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2]))  linear unabhängig.
Mit  (Subscript[x, 1])= (Subscript[r, 1])·(Subscript[m, 1]) und  (Subscript[x, 2]) = (Subscript[r, 2])·(Subscript[m, 1]), (Subscript[r, 1]), (Subscript[r, 2]) ≠ 0  folgt dann  (Subscript[r, 2])·(Subscript[x, 1])– (Subscript[r, 1])·(Subscript[x, 2]) = (Subscript[r, 2])·(Subscript[r, 1])·(Subscript[m, 1]) – (Subscript[r, 1])· (Subscript[r, 2])·(Subscript[m, 1]) = 0 , d.h. ein Widerspruch; also gilt  k ≤ 1 .

Allgemeiner Induktionsschritt:
Es sei  ((Subscript[x, 1]),…, (Subscript[x, k]))  linear unabhängig und es sei  M := [(Subscript[m, 1]),…, (Subscript[m, n])] ≃ (R^n) . Es sei  M' := [(Subscript[m, 2]),…, (Subscript[m, n])] ≃ (R^(n–1)). Falls  {(Subscript[x, 1]),…, (Subscript[x, k])} ⊂ M' , dann ist nach Induktionsvoraussetzung  k ≤ n – 1 < n .
Falls  {(Subscript[x, 1]),…, (Subscript[x, k])} ⊄ M' , dann sei o.B.d.A.  (Subscript[x, 1])∉ M' . 
Es gilt  M / M'  ≃ R·(Subscript[m, 1]). Von daher ist  ((Subscript[\(x\&_\), 1]), (Subscript[\(x\&_\), ν]))  für jedes  ν ≥ 2  linear abhängig in  M / M'  (analog zum Fall  n = 1), d.h. es gibt  (Subscript[r, ν]), (Subscript[s, ν]) ∈ R , nicht beide gleich Null mit  (Subscript[r, ν]) (Subscript[\(x\&_\), 1]) + (Subscript[s, ν]) (Subscript[\(x\&_\), ν]) = \(TraditionalForm\`0\&_\) . Es ist  (Subscript[s, ν]) ≠ 0 , denn sonst wäre  (Subscript[r, ν]) (Subscript[\(x\&_\), 1]) = \(TraditionalForm\`0\&_\) , also  (Subscript[\(x\&_\), 1]) = 0 + M' , d.h.  (Subscript[x, 1])∈ M' .
Es sei nun  (Subscript[y, ν]) := (Subscript[r, ν])(Subscript[x, 1])+ (Subscript[s, ν])(Subscript[x, ν]) ∈ M'  für  ν = 2,…, k .  ((Subscript[y, 2]),…, (Subscript[y, k]))  ist l.u. in  M' , denn sei
 \(Σ\+\(ν = 2\)\%k\)(Subscript[a, ν])·(Subscript[y, ν]) = 0 , dann ist  ( \(Σ\+\(ν = 2\)\%k\)(Subscript[a, ν])·(Subscript[r, ν]) ) (Subscript[x, 1])+ \(Σ\+\(ν = 2\)\%k\)(Subscript[a, ν])·(Subscript[s, ν])·(Subscript[x, ν]) = 0 . Da  ((Subscript[x, 1]),…, (Subscript[x, k]))  linear unabhängig und  (Subscript[s, ν]) ≠ 0 , folgt  
 (Subscript[a, ν]) = 0  für  ν = 2,…, k , da  R  Integritätsbereich. Also ist nach Induktionsvoraussetzung  k – 1 ≤ n – 1 , d.h.  k ≤ n     ◼

Bemerkung:
Die Elementeanzahl einer Basis ist daher wohlbestimmt; sie heißt RANG (rank) von  M . Der Ausdruck Dimension ist bei Moduln nicht gebräuchlich.

Beispiele:
1)
M := ℤ, R := ℤ . M  ist frei vom Rang 1 .
Es sei  N := { 2·z | z ∈ ℤ } = 2ℤ . Dies ist ein  R-Untermodul von  M  und  N   ist frei vom Rang 1 , aber  N ≠ M . 
(Wie ist das bei Untervektorräumen  U ⊂ V  mit dim U = dim V  ?)

2)
Bei Moduln gilt nicht, dass jedes Erzeugendensystem eine Basis enthält.
Dazu sei  ℤ  als ℤ-Modul betrachtet. (1) ist Basis und  (2, 3)  ist ein Erzeugendensystem, denn  3 – 2 = 1 . Aber  
X := (2, 3)  ist keine ℤ-Basis von  ℤ , denn wegen  3·2 – 2·3 = 0  ist  X  linear abhängig.

3)
Es sei  G  eine endliche abelsche Gruppe mit der Ordnung  n ≠ 0. Dann ist  G  ein  ℤ-Modul. Jede nichtleere Teilfamilie von  G   ist linear abhängig, denn sei  g ∈ G ; dann gilt  n·g = 0 . Also hat dieser ℤ-Modul keine Basis!

Moduln über Euklidischen Ringen

Definition II.4.18: 
EUKLIDISCHER RING (euclidian ring)
Ein Integritätsbereich  R  heißt  EUKLIDISCHER RING, wenn es eine Funktion  n : R \ {0} → (Subscript[ℕ, 0])  mit folgenden Eigenschaften gibt:
(ER i)   n(a) ≤ n(a·b)  für alle  a, b ∈ R \ {0} .
(ER ii)  Zu beliebigen  a, b ∈ R  mit  b ≠ 0  gibt es  q, r ∈ R , so dass gilt:
	 a = q·b + r , wobei  r = 0  oder  n(r) < n(b) .

Die Funktion  n  wird  häufig NORM oder GRAD genannt.

(ER ii) fordert  " < "  und nicht  " ≤ " !

Beispiele: 
1)
Im Ring der ganzen Zahlen  ℤ  entspricht (ER ii) gerade der üblichen Division mit Rest, bei der  n(r) := | r |  benutzt wird.

2)
Es sei  K  ein Körper und  R = K[X]  der Polynomring über  K . Für die Normfunktion wird jetzt der Grad eines Polynoms gesetzt. Das Nullpolynom hat den "Grad" –∞ . Der Grad eines nicht konstanten Polynoms ungleich dem Nullpolynom ist größer als Null und es gilt für Polynome  g(X), h(X)  ungleich Null  grad( g(X) ) ≤ grad( g(X)·h(X) ) .
Die (Polynom-) Division mit Rest liefert, falls  h(X) ≠ 0 , Polynome  q(X)  und  r(X)  mit  g(X) = q(X)·h(X) + r(X) , wobei entweder  r(X) = 0  oder  grad( r(X) ) < grad( h(X) ) .

3) 
Polynomdivision über ℤ:

   (x^3) + 2  (x^2) + 3 x + 2 = ((x^2)  +  4)(x + 2) – (x + 6)
–(
        (x^(3        ))          +  4  x)
_________________________________________________________________________________________
                            2  (x^2)         –x
    –(2  (x^2)            + 8)  
              _______________________________________________________________________________________
                                           –x – 6                      

4)
Polynomdivision über (Subscript[ℤ, 5]):
 
   (x^3) + \(TraditionalForm\`\(2\&_\) x\^2\) + \(TraditionalForm\`3\&_\) x + \(TraditionalForm\`2\&_\) = \(TraditionalForm\`\((x\^2\  + 4\&_)\)\)(x + \(TraditionalForm\`2\&_\)) + (\(TraditionalForm\`4\&_\)x + \(TraditionalForm\`4\&_\))
\(TraditionalForm\`–(
        x\^\(\(3\)\(\ \ \ \ \ \ \ \ \)\)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \  + \ \(4\&_\) 
            x)\)
_________________________________________________________________________________________
                             \(TraditionalForm\`\(2\&_\) x\^2\)    + \(TraditionalForm\`4\&_\) x
     –(\(TraditionalForm\`\(2\&_\) x\^2\)            + \(TraditionalForm\`8\&_\))  
                       _______________________________________________________________________________________
                                           \(TraditionalForm\`4\&_\)x + \(TraditionalForm\`–6\&_\)

Satz II.4.3
In euklidischen Ringen sind alle Ideale Hauptideale.

Beweis:
Es seien  R  ein euklidischer Ring und  I  ein Ideal.
1. Fall:  I = {0}  trivial!
2. Fall: Es sei  I ≠ {0} . Dann gibt es ein  y ∈ I , y ≠ 0 , so dass  n(y)  minimal ist. 
Jetzt wird gezeigt, dass jedes  x ∈ I  ein Vielfaches von  y  ist: 
Zu  y  und  x  gibt  q, r ∈ R  mit  x = q·y + r , wobei  r = 0  oder  n(r) < n(y) . Mit  x  und  q·y  ist auch  r = x – q·y  ∈ I . Nun ist  n(y)  aber minimal vorausgesetzt, dh.  n(r) < n(y)  ist nicht möglich, also ist  r = 0 , also  x = q·y . Damit ist  
I = R·y , d.h. Hauptideal   ◼

Bemerkung:
Ringe, in denen alle Ideale Hauptideale sind, werden Hauptidealringe (principal ideal domain : PID) genannt.

Satz II.4.4
Es sei  R  ein euklidischer Ring,  M  sei ein freier R-Modul und  N  ein Untermodul von  M . Dann ist auch  N  ein freier R-Modul.

Im Beweis wird eine Basis von  N  konstruiert:
Als freier R-Modul gilt nach Lemma II.4.4  M := [(Subscript[m, 1]),…, (Subscript[m, n])] ≃ (R^n). 
Für die Untermoduln  (Subscript[N, ν]) := N ⋂ [(Subscript[m, 1]),…, (Subscript[m, ν])]  gilt  (Subscript[N, 1])⊂ (Subscript[N, 2])⊂ … ⊂ (Subscript[N, n]) = N .

Jetzt wird mit Induktion nach  ν  gezeigt, dass  (Subscript[N, ν]) freier R-Modul ist.
ν = 1 :
Mit  (Subscript[N, 1]) = N ⋂ [(Subscript[m, 1])]  sei  I := {r ∈ R | r·(Subscript[m, 1])∈ (Subscript[N, 1])} . 
I  ist Ideal in  R , denn:
Es seien  (Subscript[r, 1]), (Subscript[r, 2]) ∈ I , r ∈ R , dann folgt  ((Subscript[r, 1])+ (Subscript[r, 2])) · (Subscript[m, 1]) = (Subscript[r, 1])· (Subscript[m, 1])+ (Subscript[r, 2]) · (Subscript[m, 1]) ∈ (Subscript[N, 1]), also  (Subscript[r, 1])+ (Subscript[r, 2]) ∈ I , und  
(r ·(Subscript[r, 1])) · (Subscript[m, 1]) =  r ·( (Subscript[r, 1])·(Subscript[m, 1])) ∈ (Subscript[N, 1]) , also  r · (Subscript[r, 1]) ∈ I . 
Nach dem vorigen Satz ist  I  Hauptideal, also  I = R·a  für ein  a ∈ R . 
Es gilt  (Subscript[N, 1]) = [a · (Subscript[m, 1])] , denn:
Es sei  x ∈ (Subscript[N, 1]) . Dann gibt es ein  α ∈ R  mit  x = α·(Subscript[m, 1]). Also ist  α ∈ I  und damit  α = β·a , woraus  x = β·a·(Subscript[m, 1]), also  
x ∈ [a · (Subscript[m, 1])]  folgt .
Es sei nun  x ∈ [a · (Subscript[m, 1])] . Dann ist   x = γ · a · (Subscript[m, 1]) , und da  γ · a ∈ I , ist  x ∈ (Subscript[N, 1]) , w.z.b.w. .

Wenn  a = 0 , dann  (Subscript[N, 1]) = {0}  .
Es sei nun  a ≠ 0 .
Jedes  x ∈ [a · (Subscript[m, 1])]  wird eindeutig dargestellt:  Es sei etwa  (Subscript[r, 1]) · a · (Subscript[m, 1]) = x = (Subscript[r, 2]) · a · (Subscript[m, 1]) . Da  (Subscript[m, 1]) Basiselement, folgt  
(Subscript[r, 1]) · a  = (Subscript[r, 2]) · a  und da  a ≠ 0  und  R  Integritätsbreich auch  (Subscript[r, 1]) = (Subscript[r, 2]) .
Es gilt  (Subscript[N, 1]) ≃ R , denn durch  r · a · (Subscript[m, 1]) ↦  r  wird ein Isomorphismus definiert.
Also ist  (Subscript[N, 1])  frei.

Allgemeiner Induktionsschritt: 
Induktionsvoraussetzung:  Für ein  ν  sei  (Subscript[N, ν]) freier R-Modul.
Es sei  I := {r ∈ R | Es gibt ein  m ∈ (Subscript[N, ν + 1]) mit  m = (Subscript[b, 1])(Subscript[m, 1])+ … + (Subscript[b, ν])(Subscript[m, ν]) + r (Subscript[m, ν + 1]) . } . 
Wie oben wird gezeigt, dass  I  Hauptideal ist, also  I = R·(Subscript[a, ν + 1])  für ein  (Subscript[a, ν + 1]) ∈ R .
Wenn  (Subscript[a, ν + 1]) = 0 , dann folgt  (Subscript[N, ν + 1]) = (Subscript[N, ν]) und  (Subscript[N, ν + 1])  ist daher frei.
Wenn  (Subscript[a, ν + 1]) ≠ 0 , dann gibt es ein  w ∈ (Subscript[N, ν + 1]) mit  w ≠ 0  und  w = (Subscript[w, 1])(Subscript[m, 1])+ … + (Subscript[w, ν])(Subscript[m, ν]) + (Subscript[a, ν + 1]) (Subscript[m, ν + 1]) , wobei  (Subscript[w, μ]) ∈ R .
Es gilt  (Subscript[N, ν + 1]) = (Subscript[N, ν]) ⊕ [w]  denn:
Es sei  m := (Subscript[c, 1])(Subscript[m, 1])+ … + (Subscript[c, ν])(Subscript[m, ν]) + r (Subscript[m, ν + 1]) ∈ (Subscript[N, ν + 1]) beliebig und  r =  q·(Subscript[a, ν + 1]) mit  q ∈ R . Nun ist
m – q·w = ((Subscript[c, 1]) – q·(Subscript[w, 1])) · (Subscript[m, 1]) + … +  ((Subscript[c, ν]) – q·(Subscript[w, ν])) · (Subscript[m, ν]) ∈ (Subscript[N, ν]) . Also ist  (Subscript[N, ν + 1]) ⊂ [ (Subscript[N, ν]) ⋃ {w} ] .  
Andererseits ist  [ (Subscript[N, ν]) ⋃ {w} ]  ⊂  (Subscript[N, ν + 1]) , also ist  (Subscript[N, ν + 1]) = (Subscript[N, ν]) + R · w .
Bleibt zu zeigen, dass die Summe direkt ist:
Es sei  x ∈ (Subscript[N, ν]) ⋂ R · w  , also
(Subscript[c, 1])(Subscript[m, 1])+ … + (Subscript[c, ν])(Subscript[m, ν]) = x = r ·w = r · ( (Subscript[w, 1])(Subscript[m, 1])+ … + (Subscript[w, ν])(Subscript[m, ν]) + (Subscript[a, ν + 1]) (Subscript[m, ν + 1])) . Wegen der Eindeutigkeit der Darstellung folgt  
0 = r · (Subscript[a, ν + 1]) , also  r = 0  und damit  x = 0 , d.h.  (Subscript[N, ν + 1]) = (Subscript[N, ν]) ⊕ R · w .
Deshalb ist  (Subscript[N, ν + 1]) freier R-Modul. Die Basis von  (Subscript[N, ν + 1])  setzt sich zusammen aus der Basis von  (Subscript[N, ν])  und  w    ◼

Beispiel: 
Es seien  R := ℤ  und  M := ℤ × ℤ .  
M  ist frei mit der Basis  ( (Subscript[m, 1]) = (1, 0) , (Subscript[m, 2]) = (0,1) ) . 
Es sei nun  N := { ((Subscript[z, 1]), (Subscript[z, 2])) ∈ M |  6 (Subscript[z, 1]) + 2 (Subscript[z, 2]) = 0 } .  N  ist Untermodul. 
Konstruiere Basis:  (Subscript[N, 1])= N ⋂ [(Subscript[m, 1])] = {(0, 0)} ⊂ (Subscript[N, 2]) = N . (Subscript[I, 2]) = R·3 , da  ((Subscript[z, 1]), (Subscript[z, 2])) = (Subscript[z, 1])(1, 0) + (Subscript[z, 2])(0, 1)  und  3 | (Subscript[z, 2]) . Wähle w := (–1, 3) . Deshalb ist  N = [ (–1, 3) ] ≃ R .

Korollar II.4.4
Es seien  R  euklidischer Ring, M  freier R-Modul mit Basis  ((Subscript[m, 1]),…, (Subscript[m, n]))  und  N  ein Untermodul von  M . Dann gibt es  (Subscript[a, ν])μ ∈ R  , so dass mit
	(Subscript[w, 1]) := (Subscript[a, 11])(Subscript[m, 1]),
	(Subscript[w, 2]) := (Subscript[a, 12])(Subscript[m, 1])+ (Subscript[a, 22])(Subscript[m, 2]),
	       ⋮
	(Subscript[w, n]) := (Subscript[a, 1  n])(Subscript[m, 1])+ … + (Subscript[a, mn])(Subscript[m, n])
die Familie ( (Subscript[w, ν]) |  ν  so, dass  (Subscript[a, ν])ν ≠ 0 )  eine Basis von  N   bildet.
Weiterhin gilt: Rang  N = n  genau dann, wenn  (Subscript[a, 11]) · … · (Subscript[a, nn]) ≠ 0 .

Der Beweis folgt direkt aus dem des vorherigen Satzes   ◼

Definition II.4.19: 
TORSIONSELEMENT (torsion element)
Es seien  R  ein Integritätsbereich und  M  ein R-Modul. Ein  m ∈ M  heißt TORSIONSELEMENT, falls es ein  r ∈ R  mit  r ≠ 0  gibt, so dass  r · m = 0 .

Satz II.4.5
Es seien  R  ein Integritätsbereich und  M  ein R-Modul. Dann bildet die Menge aller Torsionselemente von  M  einen Untermodul  (Subscript[M, t]) von  M .

Beweis:
Es seien  (Subscript[m, 1]), (Subscript[m, 2]) ∈ (Subscript[M, t]) , also  (Subscript[r, 1])·(Subscript[m, 1]) = 0  und  (Subscript[r, 2])·(Subscript[m, 2]) = 0  mit  (Subscript[r, 1]) ≠ 0  und  (Subscript[r, 2]) ≠ 0 . Dann ist  (Subscript[r, 1])·(Subscript[r, 2]) ≠ 0  und  
(Subscript[r, 1])·(Subscript[r, 2]) · ((Subscript[m, 1])+ (Subscript[m, 2])) = 0 , also  (Subscript[m, 1])+ (Subscript[m, 2]) ∈ (Subscript[M, t]) .
Es seien  m ∈ (Subscript[M, t])  und  (Subscript[r, 0]) ∈ R  mit  (Subscript[r, 0]) ≠ 0 , also  (Subscript[r, 0])· m = 0 ; dann ist auch  r · (Subscript[r, 0])· m =  (Subscript[r, 0]) · r · m =  0  für alle  r ∈ R , also  r · m ∈ (Subscript[M, t])   ◼

Definition II.4.20: 
TORSIONSMODUL (torsion module)
TORSIONSFREI (torsion-free)
Es seien  R  ein Integritätsbereich und  M  ein R-Modul. 
M  heißt TORSIONSMODUL, falls  (Subscript[M, t]) = M  und  M  heißt TORSIONSFREI, falls  (Subscript[M, t]) = {0} .

Beispiel:
Es seien  R = ℤ  und  M := ℚ / ℤ . Dann ist  M  Torsionsmodul, denn jedes  m ∈ M  läßt sich darstellen als  m =  r + ℤ  mit  r ∈ ℚ , also  r = (p/q), q ≠ 0 . Dann folgt  q·m = q·((p/q) + ℤ ) = p + ℤ = \(TraditionalForm\`0\&_\) ∈ ℚ / ℤ , d.h.  m  ist Torsionselement und  
M  Torsionsmodul.

Satz II.4.6
Es seien  R  ein euklidischer Ring und  M  ein endlich erzeugter R-Modul. Wenn  M  torsionsfrei ist, dann ist  M  ein freier R-Modul.

Beweis:
Es sei  M = [(Subscript[m, 1]),…, (Subscript[m, n])] . Es sei  ((Subscript[x, 1]),…, (Subscript[x, r]))  eine maximal linear unabhängige Teilfamilie von  ((Subscript[m, 1]),…, (Subscript[m, n])) . Dann ist  
N := [(Subscript[x, 1]),…, (Subscript[x, r])]  freier R-Modul.  Zu jedem  ν ∈ 𝕟  gibt es  (Subscript[a, ν]), (Subscript[b, ν])1,…,(Subscript[b, νr]) ∈ R , die für jedes  ν  nicht alle Null sind und  (Subscript[a, ν]) ≠ 0  erfüllen, mit  (Subscript[a, ν])(Subscript[m, ν])+ (Subscript[b, ν])1(Subscript[x, 1]) + … + (Subscript[b, νr])(Subscript[x, r]) = 0 . Daher ist  (Subscript[a, ν])(Subscript[m, ν]) = – ((Subscript[b, ν])1(Subscript[x, 1]) + … + (Subscript[b, νr])(Subscript[x, r])) ∈ N . Mit  a := (Subscript[a, 1])· … · (Subscript[a, n]) ∈ R  gilt dann  a · (Subscript[m, ν]) ∈ N  für  ν ∈ 𝕟  und damit  a · m ∈ N   für alle  m ∈ M . Also ist  a · M ⊂ N .
Nach Satz II.4.4 ist daher  a · M  als Untermodul des freien R-Moduls  N  auch frei.
Nun wird aber durch  m ↦ a · m  ein R-Modul-Isomorphismus von  M  auf  a · M  definiert. 
Die Surjektivität ist trivial, die Injektivität folgt so:  a·(Subscript[m, 1]) = a·(Subscript[m, 2])  bedingt  a · ((Subscript[m, 1])– (Subscript[m, 2])) = 0  und da  M  torsionsfrei ist, folgt  (Subscript[m, 1]) = (Subscript[m, 2]) .
Insgesamt ist deshalb  M  als isomorpher Modul eines freien Modul auch frei   ◼

Korollar II.4.6
Es seien  R  ein euklidischer Ring und  M  endlich erzeugter R-Modul. Dann ist  M / (Subscript[M, t])  freier  R-Modul.

Beweis:
M / (Subscript[M, t]) ist endlich erzeugt, denn  \(TraditionalForm\`x\&_\) ∈ M / (Subscript[M, t])  läßt sich darstellen als  \(TraditionalForm\`x\&_\) = x + (Subscript[M, t]) .
M / (Subscript[M, t])  ist  torsionsfrei, denn:
Es seien  a ∈ R  mit  a ≠ 0  und  m ∈ M  derart, dass  a·(m + (Subscript[M, t])) = 0 ∈ (M / (Subscript[M, t]))_t . Dann ist  a·m ∈ (Subscript[M, t]) . Also gibt es ein  b ∈ R  mit  b ≠ 0  und  0 = b·(a·m) = (b·a)·m . Da  b·a ≠ 0 , ist  m ∈ (Subscript[M, t]) , d.h.  m + (Subscript[M, t]) = (Subscript[M, t]) = 0 ∈ M / (Subscript[M, t]) . Daher ist  
M / (Subscript[M, t])  ist  torsionsfrei. Deshalb ist  M / (Subscript[M, t])  nach dem vorigen Satz frei     ◼

Satz II.4.7
Es seien  R  ein euklidischer Ring und  M  ein endlich erzeugter R-Modul. Dann gibt es einen freien Untermodul  
N  von  M  mit  M = N ⊕ (Subscript[M, t]) .

Beweis:
Nach den Korollar II.4.6 ist  M / (Subscript[M, t])  frei und damit nach Lemma II.4.4 isomorph zu  (R^k)  für ein  k ∈ ℕ . Es sei also  M / (Subscript[M, t]) = [(Subscript[\(x\&_\), 1]),…, (Subscript[\(x\&_\), k])] . Die Familie  ((Subscript[x, 1]),…, (Subscript[x, k]))  ist linear unabhängig, denn wenn  \(Σ\+\(ν = 1\)\%k\)(Subscript[a, ν])·(Subscript[x, ν]) = 0 , dann ist auch  \(Σ\+\(ν = 1\)\%k\)(Subscript[a, ν])·\(x\&_\_ν\) = \(TraditionalForm\`0\&_\)  und damit gilt  (Subscript[a, ν]) = 0  für alle  ν .  
Es seien  N := [(Subscript[x, 1]),…, (Subscript[x, k])]  und  y ∈ N ⋂ (Subscript[M, t]) . Zu   y = \(Σ\+\(ν = 1\)\%k\)(Subscript[y, ν])·(Subscript[x, ν])  gibt es ein  r ∈ R  mit  r ≠ 0  und  
r · y = 0 = \(Σ\+\(ν = 1\)\%k\)r·(Subscript[y, ν])·(Subscript[x, ν]) , woraus  r·(Subscript[y, ν]) = 0  und damit  (Subscript[y, ν]) = 0  für alle  ν  folgt.  Also gilt  N ⋂ (Subscript[M, t]) = {0} .
Es seien  m ∈ M  und  \(TraditionalForm\`m\&_\) = \(Σ\+\(ν = 1\)\%k\)(Subscript[s, ν])·\(x\&_\_ν\)  =  \(Σ\+\(ν = 1\)\%k\)(Subscript[s, ν])·(Subscript[x, ν]) + (Subscript[M, t]) . Mit  n := \(Σ\+\(ν = 1\)\%k\)(Subscript[s, ν])·(Subscript[x, ν])  folgt   (OverBar[m – n]) = \(TraditionalForm\`0\&_\)  , d.h.  m – n ∈ (Subscript[M, t]) , 
also ist  m ∈ N + (Subscript[M, t])   ◼

Korollar II.4.7
Es seien  R  ein euklidischer Ring und  M  ein endlich erzeugter R-Modul. Dann ist auch  (Subscript[M, t])  endlich erzeugt.

Der Beweis folgt aus dem Beweis des letzten Satzes.

Zerlegung in euklidischen Ringen

Definition II.4.19: 
EINHEIT (unity)
ASSOZIIERT (associated)
IRREDUZIBEL (irreducible)
TEILER (divisor)
PRIMELEMENT (prime)
Es sei  R  ein kommutativer Ring mit Eins. 
Ein Element  ε ∈ R  heißt EINHEIT, wenn es ein  η ∈ R  gibt mit  ε · η = 1 . 
Ein Element  r ∈ R  heißt ASSOZIIERT zu einem Element  s ∈ R , wenn es eine Einheit  ε ∈ R  gibt, mit  r = s · ε  . 
Ein Element  p ∈ R – {0}  heißt IRREDUZIBEL, wenn es keine Einheit ist und wenn aus  p = (Subscript[p, 1])·(Subscript[p, 2]) mit  (Subscript[p, ν]) ∈ R , immer folgt, dass  (Subscript[p, 1]) oder (Subscript[p, 2]) eine Einheit ist.
Ein Element  t ∈ R  heißt TEILER von  a ∈ R , wenn es ein  b ∈ R  gibt mit  a = t · b . Sprechweise: t  TEILT  a , geschrieben  t | a .
Ein Element  p ∈ R – {0}  heißt PRIMELEMENT oder kurz PRIM, wenn es keine Einheit ist und wenn aus  p | (Subscript[p, 1])·(Subscript[p, 2])  mit  (Subscript[p, ν]) ∈ R , immer folgt, dass  p | (Subscript[p, 1]) oder   p | (Subscript[p, 2]) .

Achtung:
Der Sprachgebrauch von irreduzibel und prim ist nicht einheitlich.

Beispiele:
In  R = ℤ  sind  ±1  die Einheiten und die Primzahlen multipliziert mit  ±1 die irreduziblen Elemente.
In  R = ℚ  sind alle Element ungleich Null Einheiten.
In  R = K[X]  sind alle Element aus  K \ {0}  die Einheiten und die irreduziblen Polynome die irreduziblen Elemente.

Lemma II.4.5
Es seien  R  ein Integritätsbereich. Die Primelemente sind irreduzibel.

Beweis:
Es sei  p ∈ R  prim und es gelte  p = (Subscript[p, 1])·(Subscript[p, 2])  mit  (Subscript[p, ν]) ∈ R . O.B.d.A. gelte   p | (Subscript[p, 1])  und es sei  (Subscript[p, 1]) = c·p  für ein  c ∈ R . Dann folgt mit  p = c·p·(Subscript[p, 2])  und  p ≠ 0  im Integritätsbereich  R , dass  1 = c·(Subscript[p, 2]) , also  (Subscript[p, 2]) eine Einheit ist    ◼

Beispiel:
In  R := ℤ[(Sqrt[–])3] = { a + b (Sqrt[–])3| a, b ∈ ℤ }  ist das Element  2  irreduzibel, aber nicht prim.
Beweis:
Angenommen, es sei  2 = (a + b (Sqrt[–])3) · (c + d (Sqrt[–])3)  mit  a, b, c, d ∈ ℤ . Nun gilt für  r ∈ ℝ  und  w, z ∈ ℂ  mit  
r = w·z  auch  r = \(TraditionalForm\`w\&_\)·\(TraditionalForm\`z\&_\) , also  2 = (a – b (Sqrt[–])3) · (c – d (Sqrt[–])3) , woraus  4 = ((a^2)  +  3 (b^2))·((c^2)  +  3 (d^2))  folgt. Da die Gleichung  (a^2)  +  3 (b^2) = 2  keine ganzzahlige Lösung hat, folgt  (a^2)  +  3 (b^2) = 1  oder  (c^2)  +  3 (d^2) = 1 , was wiederum
a = ±1  und  b = 0  oder  c = ±1  und  d = 0  bedingt. Daher ist  2  irreduzibel in  ℤ[(Sqrt[–])3] .
2  ist auch keine Einheit in  ℤ[(Sqrt[–])3] , denn die Gleichung  2 · (a + b (Sqrt[–])3) = 1  hat keine ganzzahligen Lösungen.
2  ist aber auch nicht prim, denn  2  teilt  4 = (1 + (Sqrt[–])3) · (1 – (Sqrt[–])3) , jedoch teilt  2  weder  (1 + (Sqrt[–])3)  noch  
(1 – (Sqrt[–])3)  in  ℤ[(Sqrt[–])3]  .
Aus  (1 + (Sqrt[–])3) = 2·(a + b (Sqrt[–])3)  folgt in  ℂ  2 =  | 1 + (Sqrt[–])3| = 2· |a + b (Sqrt[–])3| = 2(Sqrt[(a^2)  +  3 (b^2)]), und das ist nur für  
a = 1  und  b = 0  in  ℤ  lösbar.

Definition II.4.22: 
GRÖSZTER GEMEINSAMER TEILER : ggT (greatest common divisor : gcd)
TEILERFREMD (relatively prime)
Es seien  R  ein Integritätsbereich und  a, b  ∈ R . Ein  d ∈ R  heißt ein GRÖSZTER GEMEINSAMER TEILER (ggT) von  a  und  b , wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
(i)	d  ist Teiler sowohl von  a  als auch  b ,
(ii)	ist  t  irgend ein Teiler von  a  und  b , so ist  t  auch Teiler von  d .

a  und  b  heißen TEILERFREMD, wenn  ggT(a, b)  = 1 .

Bemerkungen:
Ein ggT ist nur bis auf assoziierte Elemente eindeutig bestimmt:
Ist z.B.  R = ℤ  und  a = 12  und  b = 30 , so sind dann  6  und  –6  größte gemeinsame Teiler !

Es seien  a, b ∈ R  mit  a, b ≠ 0 , wobei noch  a = (Subscript[ε, a])·(Subscript[p, 1]^((Subscript[α, 1])))⋯ (Subscript[p, n]^((Subscript[α, n]))), b = (Subscript[ε, b])·(Subscript[p, 1]^((Subscript[β, 1])))⋯ (Subscript[p, n]^((Subscript[β, n])))  mit  (Subscript[p, ν])  paarweisen, nicht nur durch Einheiten unterschiedlichen irreduziblen Elementen,  (Subscript[ε, a]) und  (Subscript[ε, b])  Einheiten und  (Subscript[α, ν]), (Subscript[β, ν]) ∈ (Subscript[ℕ, 0]) .

Dann gilt:   (Subscript[p, 1]^(min((Subscript[α, 1]),  (Subscript[β, 1]))))⋯ (Subscript[p, n]^(min((Subscript[α, n]),  (Subscript[β, n]))))  ist ein ggT(a, b) .

Zu der Schreibweise  a = (Subscript[ε, a])·(Subscript[p, 1]^((Subscript[α, 1])))⋯ (Subscript[p, n]^((Subscript[α, n]))) : Wenn nicht ausdrücklich etwas anderes bemerkt wird, soll dabei  (Subscript[ε, a])  eine Einheit sein und die  (Subscript[p, ν])  paarweise verschiedene, nicht assoziierte irreduzible Elemente aus  R .

Euklidischer Algorithmus:

Ein ggT läßt sich mit dem euklidischen Algorithmus berechnen, also einer Kette von Divisionen mit Rest:
Es seien also  (Subscript[a, 0]), (Subscript[a, 1])∈ R .
	(Subscript[a, 0])   = (Subscript[q, 1])· (Subscript[a, 1]) + (Subscript[a, 2])          mit    n((Subscript[a, 2])) < n((Subscript[a, 1])) , 
	(Subscript[a, 1])   = (Subscript[q, 2])· (Subscript[a, 2]) + (Subscript[a, 3])          mit    n((Subscript[a, 3])) < n((Subscript[a, 2])) , 
	        ⋮
	(Subscript[a, n–2]) = (Subscript[q, n–1])· (Subscript[a, n–1]) + (Subscript[a, n])    mit    n((Subscript[a, n])) < n((Subscript[a, n - 1])) ,  (Subscript[a, n]) ≠ 0 ,
	(Subscript[a, n–1]) = (Subscript[q, n])· (Subscript[a, n]) + 0 .

Dann ist  (Subscript[a, n]) ein  ggT((Subscript[a, 0]), (Subscript[a, 1])) .

Der Algorithmus endet, da  n((Subscript[a, n])) < n((Subscript[a, n - 1])) < … <  n((Subscript[a, 2])) < n((Subscript[a, 1]))  und  n : R → (Subscript[ℕ, 0]) .
(Subscript[a, n])  ist gemeinsamer Teiler, denn  (Subscript[a, n]) | (Subscript[a, n–1]) , (Subscript[a, n])| (Subscript[a, n–2]) , … , (Subscript[a, n]) | (Subscript[a, 0]) . 
Es sei  t  ein weiterer gemeinsamer Teiler von  (Subscript[a, 0]), (Subscript[a, 1]). Dann folgt auch  t | (Subscript[a, 2]) ,  t | (Subscript[a, 3]) ,⋯ ,  t | (Subscript[a, n]) , d.h. (Subscript[a, n]) ist ein  ggT((Subscript[a, 0]), (Subscript[a, 1])) .

Satz II.4.8
Es sei  R  ein euklidischer Ring. Zu  a, b ∈ R  existiert ein ggT(a, b) =: d  mit  d = λ·a + μ·b , wobei  λ, μ ∈ R .

Beweis:
Es sei  A := { x ∈ R  |  x = r·a + s·b , r, s ∈ R } . A  ist ein Ideal, denn:
Es seien für ν = 1, 2  (Subscript[x, ν]) ∈ A , mit  (Subscript[x, ν]) = (Subscript[r, ν])·a + (Subscript[s, ν])·b . Dann folgt auch  ((Subscript[x, 1])  +  (Subscript[x, 2])) =  ((Subscript[r, 1])  +  (Subscript[r, 2]))·a + ((Subscript[s, 1])  +  (Subscript[s, 2]))·b ∈ A . 
Mit  x ∈ A  und  t ∈ R  folgt analog  t·x ∈ A . Nach Satz II.4.3 ist  A  ein Hauptideal. Also gibt es ein  d ∈ R , so dass  
A = [d] . Da  d ∈ A , gibt es  λ, μ ∈ R  mit  d = λ·a + μ·b . Es gilt aber mit  a, b ∈ A  auch, dass  a  und  b  Vielfache von  d  sind, d  also Teiler von  a  und  b .
Es sei nun  t  irgend ein Teiler von  a  und  b , etwa  a = (Subscript[a, 1])·t  und  b = (Subscript[b, 1])· t . Dann folgt mit  
d = λ·a + μ·b = (λ·(Subscript[a, 1])+ μ·(Subscript[b, 1]))·t , dass  t  auch Teiler von  d  ist, d.h.  d  ist ein  ggT(a, b)    ◼

Lemma II.4.6
Es seien  R  ein euklidischer Ring und  a, b, ∈ R  mit  a, b ≠ 0 . Genau dann gilt  n(a) = n(a·b) , wenn  b  eine Einheit ist.
Insbesondere ist  b  genau dann eine Einheit, wenn  n(b) = n(1) .

Beweis:
In euklidischen Ringen gilt nach Definition für  a, b ≠ 0  mit der zugehörigen Normfunktion  n  :  n(a) ≤ n(a·b) 
( =  n(b·a) ) . Ist nun  b  eine Einheit mit  b\(TraditionalForm\`\(\(·\)\(b\^'\)\)\) = 1 , so folgt  n(a) ≤ n(a·b)≤ n(a·b\(TraditionalForm\`\(\(·\)\(b\^'\)\)\)) = n(a) , d.h.  n(a) = n(a·b) .
Umgekehrt folgt aus  n(a) = n(a·b)  auch, dass  b  eine Einheit ist, denn:
Es gibt  q, r ∈ R  mit  a = q·(a·b) + r  mit  r = 0  oder  n(r) < n(a·b) . Wenn  r ≠ 0 , folgt  r = a·(1 – q·b) , also  
n(r) = n(a·(1 – q·b)) ≥ n(a) = n(a·b) , d.h. ein Widerspruch. Daher ist  r = 0  und  1 = q·b , d.h.  b  ist eine Einheit.
Der zweite Teil der Behauptung des Satzes folgt aus dem ersten, wenn einfach  a = 1  gesetzt wird     ◼

Satz II.4.9
Es sei  R  ein euklidischer Ring. Dann ist jedes Element aus  R  entweder eine Einheit oder es kann als endliches Produkt von irreduziblen Elementen aus  R  dargestellt werden.

Beweis:
Es sei  r ∈ R . Der Beweis wird durch vollständige Induktion nach der Norm der Elemente  n(r)  geführt.
Der Induktionsanfang mit  n(r) = 1  folgt sofort nach Lemma II.4.6. Dann ist  r  eine Einheit.
Nach Induktionsannahme gelte also die Aussage des Satzes für alle  x ∈ R  mit  n(x) < n(r) . 
Ist  r  irreduzibel, so nichts mehr zu beweisen.
Also sei  r  keine Einheit  und aus  r = (Subscript[r, 1])·(Subscript[r, 2]) mit  (Subscript[r, ν]) ∈ R  folge, dass weder (Subscript[r, 1]) noch (Subscript[r, 2]) eine Einheit ist. Aus (ER i) und Lemma II.4.6 folgt, dass  n((Subscript[r, 1])) < n((Subscript[r, 1])·(Subscript[r, 2])) = n(r)  und  n((Subscript[r, 2])) < n((Subscript[r, 1])·(Subscript[r, 2])) = n(r) . Nach Induktionsvoraussetzung können  (Subscript[r, 1]) und  (Subscript[r, 2])  jeweils als endliches Produkt von irreduziblen Elementen aus  R  dargestellt werden. Damit ist auch  
r = (Subscript[r, 1])·(Subscript[r, 2])  ein solches     ◼

Lemma II.4.7
Es seien  R  ein euklidischer Ring und  a, b, c ∈ R  mit  a | b·c , aber  ggT(a, b) = 1 . Dann gilt  a | c .

Beweis:
Nach Satz II.4.8 und  ggT(a, b) = 1  gibt es  λ, μ ∈ R  mit  1 = λ·a + μ·b , woraus  c = λ·a·c + μ·b·c  folgt. Nun gilt  
a | λ·a·c  und aus  a | b·c  folgt  a | μ·b·c , also insgesamt  a | c      ◼

Lemma II.4.8
Es seien  R  ein euklidischer Ring und  a, b, p ∈ R  mit  p  irreduzibel und  p | a·b . Dann teilt  p  wenigstens einen der Faktoren  a  oder  b .

Beweis:
Wenn  p  kein Teiler von  a  ist, dann gilt  ggT(a, p) = 1 . Nach dem vorigen Lemma folgt  p | b     ◼

Korollar II.4.8
Es seien  R  ein euklidischer Ring und für ν ∈ ℕ  (Subscript[a, ν]), p ∈ R , mit irreduziblen   p  und  p | (Subscript[a, 1])⋯ (Subscript[a, n]) . 
Dann teilt  p  wenigstens einen der Faktoren  (Subscript[a, ν]) .

Satz II.4.10
Es sei  R  ein euklidischer Ring. Dann hat jedes Element aus  R , das keine Einheit ist, eine eindeutige Zerlegung als Produkt von irreduziblen Elementen aus  R .
Das heißt: Ist  r ∈ R  keine Einheit, so gibt es irreduzible  (Subscript[p, 1]),…, (Subscript[p, m]) ∈ R , so dass  r = (Subscript[p, 1])⋯ (Subscript[p, m]) . Eindeutigkeit bedeutet hier: Wenn  r = (Subscript[p, 1])⋯ (Subscript[p, m]) = (Subscript[q, 1])⋯ (Subscript[q, n]) mit irreduziblen  (Subscript[q, 1]),…, (Subscript[q, n]) , dann gilt  m = n  und nach einer eventuell notwendigen Umnummerierung  (Subscript[q, ν]) = (Subscript[p, ν]) · (Subscript[ε, ν]) , wobei  (Subscript[ε, ν])  Einheiten sind.

Beispiel:  12 = 1·2·2·3 = (–1·2)·3·(–1·2) = 2·2·3.

Beweis:
Nach Satz II.4.9 folgt die Existenz der Zerlegung eines Elementes in  R . Es bleibt die "Eindeutigkeit" der Zerlegung zu beweisen. 
Es sei also  r ∈ R  keine Einheit und es seien irreduzible  (Subscript[p, 1]),…, (Subscript[p, m]), (Subscript[q, 1]),…, (Subscript[q, n]) ∈ R , so dass  r = (Subscript[p, 1])⋯ (Subscript[p, m]) = (Subscript[q, 1])⋯ (Subscript[q, n]) . Da (Subscript[p, 1]) | (Subscript[p, 1])⋯ (Subscript[p, m])  gilt auch  (Subscript[p, 1]) |  (Subscript[q, 1])⋯ (Subscript[q, n]) . Nach Korollar II.4.8 teilt  (Subscript[p, 1]) ein  (Subscript[q, ν]) , also ist  (Subscript[p, 1]) assoziert zu  (Subscript[q, ν]) , also  
(Subscript[q, ν]) = (Subscript[p, 1]) · (Subscript[ε, ν]) , wobei  (Subscript[ε, ν])  eine Einheit ist. Damit gilt  (Subscript[p, 1])⋯ (Subscript[p, m]) = (Subscript[ε, ν])·(Subscript[p, 1])·(Subscript[q, 1])⋯ (Subscript[q, ν])–1·(Subscript[q, ν + 1])⋯ (Subscript[q, n]) . Auf beiden Seiten wird  (Subscript[p, 1])  gekürzt und der eben beschriebene Prozess für jeden der Faktoren  (Subscript[p, μ])  wiederholt. Dies führt für  m ≤ n  auf der linken Seite der letzten Gleichung zu  1  und auf der rechten Seite zu einem Produkt aus  m  Einheiten und  n – m  Faktoren  \(TraditionalForm\`q\&~\_ν\) . Die analoge Argumentation kann mit  (Subscript[q, 1])  an Stelle von  (Subscript[p, 1]) auf   (Subscript[q, 1])⋯ (Subscript[q, n]) = (Subscript[p, 1])⋯ (Subscript[p, m])  angewandt werden. etc., was zu  n ≤ m  führt    ◼

Torsionsmoduln über euklidischen Ringen

Definition II.4.23: 
ANNULATOR (annihilator)
Es seien  R  ein  Ring und  M  ein R-Modul. 
Die Menge  Ann(M) := { r ∈ R  |  r · m = 0  für alle  m ∈ M }  heißt ANNULATOR von  M .
Ist  x ∈ M , dann heißt die Menge  Ann(x) := { r ∈ R  |  r · x = 0 }  der ANNULATOR von  x .

Bemerkungen:
Der Annulator  Ann(M)  ist ein Ideal in  R ; das gilt entsprechend für  Ann(x) .
Denn: Es seien  (Subscript[r, 1]), (Subscript[r, 2]) ∈ Ann(M)  und  r ∈ R . Dann folgt für alle  m ∈ M  
((Subscript[r, 1]) + (Subscript[r, 2])) · m = (Subscript[r, 1])·m + (Subscript[r, 2])·m = 0 + 0 = 0  und  (r·(Subscript[r, 1]))·m = r ·((Subscript[r, 1])·m) = r·0 = 0 .
Weiterhin gilt:
Ist  R  ein euklidischer Ring und  M := [(Subscript[x, 1]),…, (Subscript[x, n])]  ein endlich erzeugter Torsionsmodul über  R  mit  M ≠ {0}, dann ist  Ann(M)  ein Ideal in  R  ungleich  {0}  als auch ungleich  R . 
Deshalb gibt es ein  a ∈ R  mit  a = (Subscript[ε, a])·(Subscript[p, 1]^((Subscript[α, 1])))⋯ (Subscript[p, n]^((Subscript[α, n])))  und  Ann(M) = R · a .
Denn: 
In dem Torsionsmodul gibt es zu jedem  (Subscript[x, ν]) ∈ M  ein  (Subscript[r, ν]) ∈ R  mit  (Subscript[r, ν]) ≠ 0 , so dass  (Subscript[r, ν])· (Subscript[x, ν]) = 0 . 
Daraus folgt, dass  0 ≠ (Subscript[r, 1])⋯ (Subscript[r, n ])∈ Ann(M) , denn:
Es sei  m ∈ M  mit  m = \(Σ\+\(ν = 1\)\%n\)(Subscript[a, ν])(Subscript[x, ν]) . Dann ist  (Subscript[r, 1])⋯ (Subscript[r, n ])· m = \(Σ\+\(ν = 1\)\%n\)(Subscript[a, ν])·(Subscript[r, 1])⋯ (Subscript[r, n ])·(Subscript[x, ν]) = 0 .
Also ist  Ann(M) ≠ {0} .
Falls  M ≠ {0}  und  Ann(M) = R , wäre  1·m = 0  für alle  m ∈ M , also  M = {0} .
Ein euklidischer Ring ist Hauptidealring. Deshalb läßt sich das Ideal  Ann(M)  darstellen als  Ann(M)  = R · a .

Definition II.4.24: 
p-KOMPONENTE (p-part) 
p-PRIMÄRE KOMPONENTE (primary part) 
Es seien  R  ein euklidischer Ring,  p ∈ R  und  M  ein  R-Modul.  
M(p) := { m ∈ M  |  Es gibt ein  α ∈ ℕ  mit  (p^α) · m = 0 .}  heißt die p-KOMPONENTE von  M . Ist noch  p ∈ R  irreduzibel, so heißt  M(p)  die p-PRIMÄRE KOMPONENTE von  M .

Bemerkungen:
1)  
M(p)  ist Untermodul von  M :
Es seien  (Subscript[m, 1]), (Subscript[m, 2]) ∈ M(p)  mit  (p^α) · (Subscript[m, 1]) = 0 = (p^β) · (Subscript[m, 2]) , wobei o.B.d.A.  α ≤ β . Damit folgt  (p^β) · ((Subscript[m, 1]) + (Subscript[m, 2])) = 0  und  
(p^α) · r · (Subscript[m, 1]) = 0  für  r ∈ R . 
2) 
Es sei  M  wie in der vorletzten Bemerkung und  Ann(M) = R · a  mit  a = (Subscript[ε, a])·(Subscript[p, 1]^((Subscript[α, 1])))⋯ (Subscript[p, n]^((Subscript[α, n]))). Es sei noch  p ≠ (Subscript[p, ν])  
für alle  ν . Dann gilt  M(p) = {0} , denn: 
Es sei  m ∈ M(p) . Dann gibt es ein  α  mit  (p^α) · m = 0 . Da  (p^α)  und  a  teilerfremd, gibt es  λ, μ ∈ R  mit  
1 = λ·a + μ ·(p^α) . Damit folgt  m = λ·a·m + μ ·(p^α)·m = 0 + 0 .

Allgemeiner gilt:

Lemma II.4.9
Es seien  R  ein euklidischer Ring und  p, q ∈ R  teilerfremd und ungleich Null. Dann gilt für jeden  R-Modul  M , dass M(p) ⋂ M(q) = {0} .

Beweis:
Es sei  m ∈ M(p) ⋂ M(q) , also  (p^α) · m = 0 = (q^β) · m . Für alle  α, β ∈ ℕ  gilt  ggT((p^α), (q^β)) = 1 . Daher gibt es von  
α, β  abhängige  λ, μ ∈ R  mit  1 = λ·(p^α) + μ ·(q^β) . Daraus folgt  m = λ·(p^α)· m + μ ·(q^β)· m = 0    ◼

Satz II.4.11
Es seien  R  ein euklidischer Ring und  M  ein endlich erzeugter Torsionsmodul über  R . Es sei  Ann(M) = R · a  mit  
a = (Subscript[ε, a])·(Subscript[p, 1]^((Subscript[α, 1])))⋯ (Subscript[p, n]^((Subscript[α, n]))), wobei  (Subscript[ε, a])  eine Einheit und die  (Subscript[p, ν])  paarweise verschiedene, nicht assoziierte, irreduzible Elemente aus  R  seien.
Dann gilt:  M = M((Subscript[p, 1])) ⊕ ⋯ ⊕  M((Subscript[p, n])) .

Beweis:
Induktion nach  n , der Anzahl der irreduziblen Faktoren:
n = 1 :   
Nach Voraussetzung ist  Ann(M) = R · (Subscript[p, 1]^((Subscript[α, 1]))). Für alle  m ∈ M  gilt also  (Subscript[p, 1]^((Subscript[α, 1])))· m = 0 . 
Daraus folgt  M = { m ∈ M  |  (Subscript[p, 1]^((Subscript[α, 1])))· m = 0 } = M((Subscript[p, 1])) .

Induktionsschritt:
Mit  (Subscript[M, 1]) := { m ∈ M  |  (Subscript[p, 1]^((Subscript[α, 1])))⋯ (Subscript[p, n–1]^(Subscript[α, n–1]))· m = 0 }  ist  (Subscript[M, 1])⊂ M((Subscript[p, 1]^((Subscript[α, 1])))⋯ (Subscript[p, n–1]^(Subscript[α, n–1]))) .
(Subscript[M, 1])  ist Untermodul von  M  und  Ann((Subscript[M, 1])) = R · ( (Subscript[p, 1]^((Subscript[α, 1])))⋯ (Subscript[p, n–1]^(Subscript[α, n–1]))) .
Nach Induktionsvoraussetzung gilt  (Subscript[M, 1]) = (Subscript[M, 1])((Subscript[p, 1])) ⊕ ⋯ ⊕ (Subscript[M, 1])((Subscript[p, n–1])) .

Nun ist  (Subscript[M, 1])((Subscript[p, ν])) = M((Subscript[p, ν]))  für  ν = 1,…, n – 1 , denn:
Mit der Definition der p-Komponente ist  (Subscript[M, 1])((Subscript[p, ν])) = { m ∈ (Subscript[M, 1]) |  Es gibt ein  α ∈ ℕ  mit  (Subscript[p, ν]^α) · m = 0 .} . Mit  (Subscript[M, 1])⊂ M  folgt  (Subscript[M, 1])((Subscript[p, ν])) ⊂ M((Subscript[p, ν])) . 
Umgekehrt sei  m ∈ M  mit  (Subscript[p, ν]^α) · m = 0  und o.B.d.A.  α ≥ (Subscript[α, ν]) , also  m ∈ M((Subscript[p, ν])) . Außerdem gilt  a · m = 0 .
Da für  ν = 1,…, n – 1  jeweils  (Subscript[p, ν]^((Subscript[α, ν]))) = (Subscript[λ, ν])·a + (Subscript[μ, ν])·(Subscript[p, ν]^α)  ein  ggT(a, (Subscript[p, ν]^α))  ist, folgt  (Subscript[p, ν]^((Subscript[α, ν])))·m = (Subscript[λ, ν])·a·m + (Subscript[μ, ν]) ·(Subscript[p, ν]^α)· m = 0 . Daraus folgt  (Subscript[p, 1]^((Subscript[α, 1])))⋯ (Subscript[p, n–1]^(Subscript[α, n–1])) · m = 0 , d.h.  m ∈ (Subscript[M, 1]) mit  (Subscript[p, ν]^α) · m = 0 , also  m ∈ (Subscript[M, 1])((Subscript[p, ν])) . 
Deshalb folgt  (Subscript[M, 1]) = M((Subscript[p, 1])) ⊕ ⋯ ⊕  M((Subscript[p, n–1])) .

Es gilt  M = (Subscript[M, 1])⊕ M((Subscript[p, n])) , denn:
i) (Subscript[M, 1]) + M((Subscript[p, n])) ⊂ M  gilt trivialerweise. 
Es gilt auch  M ⊂ (Subscript[M, 1]) + M((Subscript[p, n])) , denn:
Es sei  m ∈ M . Aus  a·m = 0 = (Subscript[ε, a])·(Subscript[p, 1]^((Subscript[α, 1])))⋯ (Subscript[p, n]^((Subscript[α, n])))·m  folgt  ((Subscript[p, 1]^((Subscript[α, 1])))⋯ (Subscript[p, n–1]^(Subscript[α, n–1]))) · m ∈ M((Subscript[p, n]))  und  (Subscript[p, n]^((Subscript[α, n])))·m ∈ (Subscript[M, 1]) . 
Mit  1 = ggT((Subscript[p, 1]^((Subscript[α, 1])))⋯ (Subscript[p, n–1]^(Subscript[α, n–1])),  (Subscript[p, n]^α))  folgt aus Satz II.4.8  
m = (λ · (Subscript[p, 1]^((Subscript[α, 1])))⋯ (Subscript[p, n–1]^(Subscript[α, n–1])) + μ · (Subscript[p, n]^((Subscript[α, n])))) · m = (λ · (Subscript[p, 1]^((Subscript[α, 1])))⋯ (Subscript[p, n–1]^(Subscript[α, n–1]))) · m + μ · (Subscript[p, n]^((Subscript[α, n]))) · m ∈ M((Subscript[p, n])) + (Subscript[M, 1]) .
Damit  gilt  M = (Subscript[M, 1])+ M((Subscript[p, n])) .
ii) Die Summe  (Subscript[M, 1])+ M((Subscript[p, n]))  ist direkt, denn:
(Subscript[p, n])  und  (Subscript[p, 1]^((Subscript[α, 1])))⋯ (Subscript[p, n–1]^(Subscript[α, n–1]))  sind teilerfremd. Mit Lemma II.4.9 folgt  M((Subscript[p, 1]^((Subscript[α, 1])))⋯ (Subscript[p, n–1]^(Subscript[α, n–1]))) ⋂ M((Subscript[p, n])) = {0}  und dann mit  
{0} ⊂ (Subscript[M, 1])⊂ M((Subscript[p, 1]^((Subscript[α, 1])))⋯ (Subscript[p, n–1]^(Subscript[α, n–1])))  auch  (Subscript[M, 1])⋂ M((Subscript[p, n])) = {0}   ◼

Nun sollen die Bausteine  M(p)  auch noch zerlegt werden. Dazu ohne Beweis

Satz II.4.12 
Es seien  R  ein euklidischer Ring und  M  ein endlich erzeugter Torsionsmodul über  R . Mit einem irreduziblen  p ∈ R  gelte  M = M(p) . 
Dann existieren durch  M  eindeutig bestimmte natürliche Zahlen  (Subscript[k, 1])≥ (Subscript[k, 2])≥ ⋯ ≥ (Subscript[k, n])≥ 1  und  (Subscript[m, 1]),…, (Subscript[m, n]) ∈ M  mit
M = (Subscript[Rm, 1]) ⊕ (Subscript[Rm, 2]) ⊕ ⋯ ⊕ (Subscript[Rm, n])  und  (Subscript[Rm, ν]) ≃ R / (Subscript[(p^k), ν])R , ν ∈ 𝕟 .

Damit folgt nun der

Satz II.4.13 Hauptsatz über endlich erzeugte Moduln über euklidischen Ringen
Es seien  R  ein euklidischer Ring und  M  ein endlich erzeugter R-Modul.
Dann gibt es eindeutig bestimmte irreduzible, paarweise nichtassoziierte Elemente  (Subscript[p, 1]),…, (Subscript[p, r])  in  R , ein  d ∈ (Subscript[ℕ, 0]) und natürliche Zahlen  (Subscript[k, 11])≥ (Subscript[k, 12])≥ ⋯ ≥ (Subscript[k, 1  (Subscript[n, 1])])≥ 1 , ⋯ , (Subscript[k, r1])≥ (Subscript[k, r2])≥ ⋯ ≥ (Subscript[k, r (Subscript[n, r])])≥ 1 , so dass
 	M ≃ (R^d) ⊕ ( (Underoverscript[⊕, (ν = 1), ((Subscript[n, 1]))]) R / (Subscript[p, 1]^((Subscript[k, 1  ν]))) R ) ⊕ ⋯ ⊕ ( (Underoverscript[⊕, (ν = 1), ((Subscript[n, r]))]) R / (Subscript[p, r]^((Subscript[k, r ν]))) R ) .

Der Beweis folgt aus 
Satz II.4.7   : Zerlegung in freien und Torsionsanteil: M ≃ N ⊕ (Subscript[M, t]) , N ≃ (R^d) ,
Satz II.4.11 : Zerlegung in  (Subscript[p, ν])-primäre Komponenten: (Subscript[M, t]) = (Subscript[M, t])((Subscript[p, 1])) ⊕ ⋯ ⊕ (Subscript[M, t])((Subscript[p, r])) ,
Satz II.4.12 : Struktur für die (Subscript[p, ν])-primären Komponenten: (Subscript[M, t])((Subscript[p, ρ])) = (Underoverscript[⊕, (ν = 1), ((Subscript[n, ρ]))]) R / (Subscript[p, ρ]^((Subscript[k, 1 ν]))) R  .

II. 5. Anwendungen : Normalformen von Matrizen

Nun sollen die Hauptergebnisse des letzten Abschnittes benutzt werden zur Herleitung der JORDANschen Normalform eines Endomorphismus  φ  (Marie Ennemond Camille Jordan, 1838 – 1922, französischer Mathematiker). Als erstes muss mit  φ  und dem Vektorraum  V  ein Modul konstruiert werden, damit die Sätze II.4.12, II.4.13 angewandt werden können. 
Das leistet der folgende Satz:

Satz II.4.14
Es seien  K  ein Körper, V  ein K-Vektorraum der Dimension  n  (≥ 1 ) und  φ ∈ hom(V, V) .
Mit der Verknüpfung  \(TraditionalForm\`φ\&~\) : K[X] × V ⟶ V  definiert durch  \(TraditionalForm\`φ\&~\)(f (X), v) := (f (φ))(v)  und der Vektorraumaddition wird  
V  zu einem K[X]-Modul  M . 
M  ist endlich erzeugt und K[X]-Torsionsmodul.
Es gilt: (Subscript[Ann, K[X]])(V) = (Subscript[m, φ])(X)·K[X] , wobei  (Subscript[m, φ])(X)  das Minimalpolynom von  φ  ist.

Bemerkungen:
Statt  M  ist in diesem Zusammenhang die Bezeichnung  (Subscript[V, φ])  gebräuchlich. Statt der umständlichen Schreibweisen  
\(TraditionalForm\`φ\&~\)(f (X), v)  bzw.  (f (φ))(v)  wird  – wenn keine Mißverständnisse zu befürchten sind – einfach nur  f (φ)·v  geschrieben.

Beweis:
Es läßt sich zeigen, dass  V  so zu einem K[X]-Modul wird. (Übung)
a)  V  ist K[X]-endlich erzeugt:
Es sei  ((Subscript[v, 1]),…, (Subscript[v, n]))  eine K-Basis von  V . Zu jedem  x ∈ V  gibt es Koeffizienten  (Subscript[λ, ν]) ∈ K  mit  x = \(Σ\+\(ν = 1\)\%n\)(Subscript[λ, ν])·(Subscript[v, ν]) . 
Da  K ⊂ K[X] , ist  x  auch eine Linearkombination der  (Subscript[v, 1]),…, (Subscript[v, n])  mit Koeffizienten aus  K[X] , d.h. ((Subscript[v, 1]),…, (Subscript[v, n]))  ist auch ein K[X]-Erzeugendensystem von  V .

b) Torsionsmodul:
Aus der Linearen Algebra I ist bekannt, dass es ein normiertes Polynom minimalen Grades  (Subscript[m, φ])(X)  gibt, nämlich das Minimalpolynom von  φ , mit  (Subscript[m, φ])(φ) = 0 ∈ hom(V, V)  und  grad (Subscript[m, φ])(X) ≥ 1 . 
Für alle  v ∈ V  gilt  \(TraditionalForm\`φ\&~\)((Subscript[m, φ])(X), v) = ((Subscript[m, φ])(φ))(v) = 0(v) = 0 , d.h. jedes  v ∈ V  ist Torsionselement, also ist  V  ein 
K[X]-Torsionsmodul.

c) Annulator:
Nach Definition gilt  (Subscript[Ann, K[X]])(V) = { f (X) ∈ K[X] |  \(TraditionalForm\`φ\&~\)(f (X), v) = f (φ)·v = 0  für alle  v ∈ V . } .
Damit gilt  Ann(V) = (Subscript[m, φ])(X)·K[X] , denn es ist  f (X) ∈ Ann(V)  genau dann, wenn  f (φ) = 0 ∈ hom(V, V) . Nach Cayley-Hamilton teilt das Minimalpolynom von  φ  jedes φ-annulierende Polynom      ◼

Wird in den folgenden Sätzen der Vektorraum  V  als K[X]-Modul betrachtet, so bezieht sich das immer auf die in dem letzten Satz definierte Modulstruktur zusammen mit einem fest gewählten  φ ∈ hom(V, V) .

Satz II.4.15
Es sei  V = (Subscript[V, 1]) ⊕ ⋯ ⊕ (Subscript[V, k])  eine Zerlegung von  V  als K[X]-Modul. Dann ist dies auch eine Zerlegung als 
K-Vektorraum. Außerdem gilt für alle  κ ∈ 𝕜 : φ((Subscript[V, κ])) ⊂ (Subscript[V, κ]) .

Beweis:
V = (Subscript[V, 1]) ⊕ ⋯ ⊕ (Subscript[V, k])  bedeutet, dass sich jedes  v ∈ V  eindeutig als Summe von  (Subscript[v, κ]) ∈ (Subscript[V, κ])  darstellen läßt; da spielt der Skalarbereich keine Rolle!
Sei  κ ∈ 𝕜 . (Subscript[V, κ]) ist ein K[X]-Untermodul, also bzgl. der skalaren Multiplikation  \(TraditionalForm\`φ\&~\)  abgeschlossen, d.h. für alle 
 f (X) ∈ K[X]  und beliebige  v ∈ (Subscript[V, κ])  gilt  f (φ)·v ∈ (Subscript[V, κ]) . Wird nun insbesondere  f (X) := X , so folgt  φ(v) ∈ (Subscript[V, κ])      ◼

Bemerkung und Erinnerung: 
Es seien  V = (Subscript[V, 1]) ⊕ ⋯ ⊕ (Subscript[V, k])  und  ((Subscript[v, κ 1]),…, (Subscript[v, κ (Subscript[k, κ])]))  Basen der K-Vektorräume  (Subscript[V, κ]) , dann ist  
((Subscript[v, 1 1]),…, (Subscript[v, 1 (Subscript[k, 1])]),…, (Subscript[v, k 1]),…, (Subscript[v, k (Subscript[k, k])]))  eine Basis von  V . 
Es sei  (Subscript[A, κ])  die darstellende Matrix von  φ(Subscript[|, (Subscript[V, κ])]) bzgl.  ((Subscript[v, κ 1]),…, (Subscript[v, κ (Subscript[k, κ])])) .
Dann hat  φ  bzgl. der Basis  ((Subscript[v, 1 1]),…, (Subscript[v, 1 (Subscript[k, 1])]),…, (Subscript[v, k 1]),…, (Subscript[v, k (Subscript[k, k])]))  die Matrix

(({{(Subscript[A, 1]),  ,   ,  0}, { , (Subscript[A, 2]),  ,  }, { ,  , ⋱,    }, {0 ,  ,   , (Subscript[A, k])}}))  .

Definition II.4.25: 
BEGLEITMATRIX (companian matrix)
Es sei  f (X) ∈ K[X]  ein normiertes Polynom mit  f (X) := \(TraditionalForm\`Σ\+\(μ = 0\)\%m\) (Subscript[a, μ]) (X^μ) . Die Matrix

              C( f (X)) :=  (({{0, 0, ⋯, 0, 0, (Subscript[–a, 0])}, {1, 0, ⋯, 0, 0, (Subscript[–a, 1])}, {0, 1, ⋯, 0, 0, (Subscript[–a, 2])}, {⋮, ⋮, ⋱,  ⋮, ⋮, ⋮}, {0, 0, ⋯, 1, 0, (Subscript[–a, m –2])}, {0, 0, ⋯, 0, 1, (Subscript[–a, m–1])}}))
     
heißt BEGLEITMATRIX von  f (X) .

Beispiel (Anfang):
Es sei  f (X) := -4 + 16 t  - 25 (t^2) + 19 (t^3) – 7 (t^4) + (t^5) . Die Begleitmatrix zu  f (X)  ist dann

	         C(f (X)):=(({{0, 0, 0, 0, 4}, {1, 0, 0, 0, -16}, {0, 1, 0, 0, 25}, {0, 0, 1, 0, -19}, {0, 0, 0, 1, 7}}))  .

Mit

A =(({{0, 0, 0, 0, 4}, {1, 0, 0, 0, -16}, {0, 1, 0, 0, 25}, {0, 0, 1, 0, -19}, {0, 0, 0, 1, 7}})); 
                  (Subscript[e, 1 ]) = {1, 0, 0, 0, 
              0};

folgt, dass

{(Subscript[v, 1]) = (Subscript[e, 1]), (Subscript[v, 2]) = A . (Subscript[v, 1]), (Subscript[v, 3]) = A . (Subscript[v, 2]),  (Subscript[v, 4]) = A . (Subscript[v, 3]),  
      (Subscript[v, 5]) = A . (Subscript[v, 4])}

und damit  ( (Subscript[v, 1]), (Subscript[v, 2])= A((Subscript[v, 1])), (Subscript[v, 3])= (A^2)((Subscript[v, 1])), (Subscript[v, 4])= (A^3)((Subscript[v, 1])), (Subscript[v, 5])= (A^4)((Subscript[v, 1])) )  eine Basis des  (ℝ^5)  bildet. 
Weiterhin folgt für das charakteristische Polynom  (Subscript[χ, A])(X)  von  A  :

(Subscript[χ, A])[
          X_] := -CharacteristicPolynomial[A,  
            X]; 

    (Subscript[χ, A])[X]

Also ist  f (X) = (Subscript[χ, A])(X) .

Satz II.4.16
Es seien K, V, φ  wie in Satz II.4.14.
V  ist genau dann ein zyklischer K[X]-Modul, wenn es ein normiertes, nicht-konstantes Polynom  f (X) ∈ K[X]  und eine Basis  B  von  V  gibt, so dass die bezüglich  B  darstellende Matrix von  φ  die Begleitmatrix von  f (X)  ist.
Unter diesen Bedingungen gilt:
 	f (X) = (Subscript[m, φ])(X) , ( (Subscript[m, φ])(X)  ist das Minimalpolynom ) .
 	Mit  V = K[X]·v  ist  ( v, φ(v), (φ^2)(v),…, (φ^(m–1))(v) )  eine Basis von  V  .
 	Bezüglich dieser Basis wird  φ  durch  die Begleitmatrix  C((Subscript[m, φ])(X))  dargestellt.
	(Subscript[Ann, K[X]])(V) = (Subscript[m, φ])(X)·K[X] .
 	Das charakteristische Polynom  (Subscript[χ, φ])(X)  ist gleich dem Minimalpolynom  (Subscript[m, φ])(X) .

Beweis:
1)
Es sei  V  zyklischer K[X]-Modul, also  V = K[X]·v  für ein  v ∈ V . Wie in Satz II.4.14 folgt 
(Subscript[Ann, K[X]])(V) = (Subscript[m, φ])(X)·K[X] . Also ist das gesuchte Polynom das Minimalpolynom von  φ  :  (Subscript[m, φ])(X) := \(TraditionalForm\`Σ\+\(μ = 0\)\%m\) (Subscript[a, μ]) (X^μ)  
mit (Subscript[a, m]) = 1 . 
Jetzt soll gezeigt werden, dass  B := ( v, φ(v), (φ^2)(v),…, (φ^(m–1))(v) )  eine Basis von  V  als K-Vektorraum ist:
Da  V = K[X]·v , gibt es zu jedem  w ∈ V  ein  g(X) ∈ K[X]  mit  w = g(X)·v = g(φ)·v . Zu  g(X)  existieren  
q(X), r(X) ∈ K[X]  mit  g(X) = q(X)·(Subscript[m, φ])(X) + r(X)  mit  grad r(X) < grad (Subscript[m, φ])(X)  oder  r(X) = 0 . Nun ist  (Subscript[m, φ])(φ)·v = 0  und damit  w = g(φ)·v = r(φ)·v . Es sei  r(X) := (Underoverscript[Σ, (μ = 0), (m–1)]) (Subscript[r, μ]) (X^μ) . Dann folgt  w = (Underoverscript[Σ, (μ = 0), (m–1)]) (Subscript[r, μ]) (φ^μ)(v) . Also ist  B  ein Erzeugendensystem. 
B  ist auch linear unabhängig, denn:
Es sei   ℓ(X) := (Subscript[λ, 0]) + (Subscript[λ, 1]) X + ⋯ + (Subscript[λ, m–1])(X^(m–1))  und  0 = (Subscript[λ, 0])v + (Subscript[λ, 1])φ(v) + ⋯ + (Subscript[λ, m–1])(φ^(m–1))(v) = ℓ(φ)·v . 
Dann ist  ℓ(X) ∈ Ann(Subscript[ , K[X]])(V) = (Subscript[m, φ])(X)·K[X] , also ist  ℓ(X)  durch  (Subscript[m, φ])(X)  teilbar. Da der Grad von  ℓ  kleiner gleich  m–1  ist,  folgt dann  ℓ(X) = 0 , d.h.  (Subscript[λ, μ]) = 0  für  μ = 0,…, m–1 .
Also ist  (Subscript[dim, K]) V = m = 
          grad (Subscript[m, φ])(X) , d.h. das Minimalpolymon ist auch das charakteristische.

Zur Matrixdarstellung:
                          φ(v)  = 0 · v + 1 · φ(v) ,
                      φ(φ(v)) = (φ^2)(v) = 0 · v + 0 · φ(v)  + 1 · (φ^2)(v) ,
		           ⋮
                φ((φ^(m–2))(v)) 	= (φ^(m–1))(v) = 0 · v + ⋯ + 0 · (φ^(m–2))(v) + 1 · (φ^(m–1))(v) .
Da  (Subscript[m, φ])(φ)(v) = \(TraditionalForm\`Σ\+\(μ = 0\)\%m\) (Subscript[a, μ]) (φ^μ)(v) = 0  mit  (Subscript[a, m]) = 1 , folgt damit nun 
                φ((φ^(m–1))(v)) = (φ^m)(v) = –(Subscript[a, 0]) · v – (Subscript[a, 1])·φ(v)  – ⋯ – (Subscript[a, m–1])· (φ^(m–1))(v) ,
d.h., dass die bezüglich  B  darstellende Matrix von  φ  die Begleitmatrix von  (Subscript[m, φ])(X)  ist.
2)
Es sei andererseits  f (X) := \(TraditionalForm\`Σ\+\(μ = 0\)\%m\) (Subscript[a, μ]) (X^μ)  mit  (Subscript[a, m]) = 1  und  m ≥ 1 . Weiterhin sei  B  eine Basis bzgl. der  φ  durch die Begleitmatrix von  f  dargestellt wird. Damit hat  B  genau  m  Elemente.
Es sei  B := ((Subscript[y, 0]),…,(Subscript[y, m–1])) . Da  B  Begleitmatrix, folgt
φ((Subscript[y, 0])) 	 = (Subscript[y, 1]) ,
φ((Subscript[y, 1])) 	 = (Subscript[y, 2]) = (φ^2)((Subscript[y, 0])) ,
	  ⋮
φ((Subscript[y, m–2])) = (Subscript[y, m–1]) = (φ^(m–1))((Subscript[y, 0])) .
Damit ist  V = K[X]·(Subscript[y, 0]) , also zyklisch.
Weiterhin gilt   
φ((Subscript[y, m–1])) = –(Subscript[a, 0]) · (Subscript[y, 0]) – (Subscript[a, 1])·(Subscript[y, 1]) – ⋯ – (Subscript[a, m–1])· (Subscript[y, m–1])
	  = –(Subscript[a, 0]) · (Subscript[y, 0]) – (Subscript[a, 1])·φ((Subscript[y, 0]))  – ⋯ – (Subscript[a, m–1])· (φ^(m–1))((Subscript[y, 0]))
und  φ((Subscript[y, m–1])) = (φ^m)((Subscript[y, 0])) . Damit folgt  f (φ)·(Subscript[y, 0]) = 0  und  f (φ) = 0 . Also ist  (Subscript[m, φ])(X)  Teiler von  f (X) . 
Nun gibt es aber kein nichtkonstantes Polynom  g(X) ∈ K[X]  mit einem Grad kleiner als  m  und  g(φ)·(Subscript[y, 0]) = 0 , denn sonst wäre  B  nicht linear unabhängig. Da  f (X)  normiert vorausgesetzt ist, folgt damit  (Subscript[m, φ])(X) = f (X)      ◼

Definition II.4.26: 
ZYKLISCH (cyclic)
Es seien  V  ein K-Vektorraum und  φ ∈ hom(V, V) . φ  heißt ZYKLISCH, wenn es  v ∈ V  gibt, so dass  
( v, φ(v), (φ^2)(v),…, (φ^(m–1))(v) )  eine Basis von  V  ist.

Korollar II.4.16
Es sei  φ  ein zyklischer Endomorphismus des m-dimensionalen K-Vektorraumes  V .  
Dann hat das  Minimalpolynom  (Subscript[m, φ])(X)  von  φ  den Grad  m , also  (Subscript[m, φ])(X) = \(TraditionalForm\`Σ\+\(μ = 0\)\%m\) (Subscript[a, μ]) (X^μ)  mit  (Subscript[a, m]) = 1 . 
Bzgl. der Basis  B = (v, φ(v), (φ^2)(v),…, (φ^(m–1))(v) )  ist die  φ  darstellende Matrix die Begleitmatrix

                        	  (({{0, 0, ⋯, 0, 0, (Subscript[–a, 0])}, {1, 0, ⋯, 0, 0, (Subscript[–a, 1])}, {0, 1, ⋯, 0, 0, (Subscript[–a, 2])}, {⋮, ⋮, ⋱,  ⋮, ⋮, ⋮}, {0, 0, ⋯, 1, 0, (Subscript[–a, m –2])}, {0, 0, ⋯, 0, 1, (Subscript[–a, m–1])}}))  .
  
Das  Minimalpolynom  (Subscript[m, φ])(X)  von  φ  ist gleich dem charakteristischen Polynom  (Subscript[χ, φ])(X)  von  φ .

Der Beweis folgt aus Satz II.4.16.

Bemerkung:
Nach diesen Vorbereitungen wird nun folgendermaßen vorgegangen:
Wie in Satz II.4.14 wird  V  als K[X]-Modul betrachtet und es gilt  (Subscript[Ann, K[X]])(V) = (Subscript[m, φ])(X)·K[X] . Das Minimalpolynom  (Subscript[m, φ])(X)  habe eine Zerlegung mit irreduziblen Faktoren  (Subscript[p, κ])(X) :  (Subscript[m, φ])(X)  = (((Subscript[p, 1])(X))^((Subscript[α, 1])))⋯ (((Subscript[p, k])(X))^((Subscript[α, k]))) . 
Nach Satz II.4.11 hat  V  dann eine Zerlegung als K[X]-Modul  V = V((Subscript[p, 1])(X)) ⊕ ⋯ ⊕ V((Subscript[p, k])(X)) , wobei  
V((Subscript[p, κ])(X)) = { v ∈ V  |  Es gibt ein  μ  mit  ((((Subscript[p, κ])(φ)))^μ)(v) = 0 .} . Nach Satz II.4.12 hat jede Komponente  V((Subscript[p, κ])(X))  eine Zerlegung in zyklische Summanden: 
V((Subscript[p, κ])(X)) = K[X]·(Subscript[v, 1]) ⊕ ⋯ ⊕ K[X]·(Subscript[v, k]) , wobei  K[X]·(Subscript[v, κ]) ≃ K[X] / (Subscript[(((Subscript[p, κ])(X))^k), κ])K[X]  mit  (Subscript[k, 1])≥ (Subscript[k, 2])≥ ⋯ ≥ (Subscript[k, k])≥ 1 . 
Also gilt  V = (Underscript[⊕, κ μ]) (Subscript[V, κ μ]) mit  (Subscript[V, κ μ]) = K[X]·(Subscript[v, κ μ]) ≃ K[X] / (Subscript[(((Subscript[p, κ])(X))^k), κ μ])K[X] . Nach Satz II.4.15 ist  (Subscript[V, κ μ]) auch 
K-Untervektorraum und es gilt  φ((Subscript[V, κ μ])) ⊂ (Subscript[V, κ μ]) . Nach Satz II.4.16 stimmen auf den Summanden  (Subscript[V, κ μ]) das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom überein und sind  (Subscript[(((Subscript[p, κ])(X))^k), κ μ]) .

Nach dem Satz von Cayley-Hamilton ist  (Subscript[m, φ])(X)  Teiler von  (Subscript[χ, φ])(X) . Genauer gilt:

Satz II.4.17
Es seien  K  ein Körper, V  ein K-Vektorraum der Dimension ≥ 1 und  φ ∈ hom(V, V) .
Das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom haben die gleichen irreduziblen Faktoren.

Beweis:
Es sei  (Subscript[m, φ])(X) = (((Subscript[p, 1])(X))^((Subscript[α, 1]))) ⋯ (((Subscript[p, m])(X))^((Subscript[α, m]))) . Nach der Bemerkung vor diesem Satz  ist  V = (Underscript[⊕, κ μ]) (Subscript[V, κ μ]) und auf  (Subscript[V, κ μ]) stimmen das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom jeweils überein und sind  (Subscript[(((Subscript[p, κ])(X))^k), κ μ]) . Die Vereinigung der Basen  (Subscript[B, κ μ]) der  (Subscript[V, κ μ])  ist eine Basis von  V   bzgl. der  φ  durch eine Blockmatrix dargestellt wird:  B = (⋃_(κ μ)) (Subscript[B, κ μ]) . Dann hat die bzgl. B  darstellende Matrix von  φ  die Gestalt

    	    A =  (({{(Subscript[A, 11]),  ,  ,  , 0}, { , ⋱,  ,  ,  }, { ,  , (Subscript[A, 1(Subscript[k, 1]) ]),  ,  }, { ,  ,  , ⋱,  }, {0,  ,  ,  , (Subscript[A, k (Subscript[k, k])]) }}))  .

Nun gilt für das charakteristische Polynom von  φ :  (Subscript[χ, φ])(X) = (Subscript[χ, A])(X) = (Underscript[Π, κ μ]) \(TraditionalForm\`χ\_\(A\_\(\(κ\)\(\ \)\(μ\)\(\ \)\)\)\)(X) = (Underscript[Π, κ μ]) (Subscript[m, (Subscript[A, κ μ ])])(X) = (Underscript[Π, κ μ])  (Subscript[(((Subscript[p, κ])(X))^k), κ μ]) .
Also haben das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom von  φ  die gleichen irreduziblen Faktoren     ◼

Lemma II.4.10
Es sei  W := K[X]·v ≃ K[X] / ((p(X))^α)· K[X]  eine zyklische Komponente von  V , wobei  p(X) ∈ K[X]  ein normiertes, irreduzibles Polynom ist.
Es sei  ((p(X))^α) := \(TraditionalForm\`Σ\+\(μ = 0\)\%m\) (Subscript[a, μ]) (X^μ) mit  (Subscript[a, m]) = 1 , dann ist  B := ( v, φ(v), (φ^2)(v),…, (φ^(m–1))(v) )  eine Basis von  W  als 
K-Vektorraum und bzgl. dieser hat  φ(Subscript[|, W]) folgende Matrix:

                                 (({{0, 0, ⋯, 0, 0, (Subscript[–a, 0])}, {1, 0, ⋯, 0, 0, (Subscript[–a, 1])}, {0, 1, ⋯, 0, 0, (Subscript[–a, 2])}, {⋮, ⋮, ⋱,  ⋮, ⋮, ⋮}, {0, 0, ⋯, 1, 0, (Subscript[–a, m –2])}, {0, 0, ⋯, 0, 1, (Subscript[–a, m–1])}}))  .

Der Beweis verläuft entsprechend dem von Satz II.4.16.

Entsprechend der Bemerkung vor Satz II.4.17 und mit Satz II.4.16 folgt

Satz II.4.18 Rationale Normalform bzw. JORDAN-HÖLDER Normalform
Es seien  K  ein Körper, V  ein K-Vektorraum der Dimension  n  und  φ ∈ hom(V, V) . 
Dann gibt es eine Basis  B  von  V , bzgl. der  φ  folgende Matrix hat

(({{(Subscript[A, 1]),  ,   ,  0}, { , (Subscript[A, 2]),  ,  }, { ,  , ⋱,    }, {0 ,  ,   , (Subscript[A, k])}})) ,

wobei die Kästchen die Matrizen  

                  (Subscript[A, κ]) :=  (({{0, 0, ⋯, 0, 0, (Subscript[–a, κ 0])}, {1, 0, ⋯, 0, 0, (Subscript[–a, κ 1])}, {0, 1, ⋯, 0, 0, (Subscript[–a, κ 2])}, {⋮, ⋮, ⋱,  ⋮, ⋮, ⋮}, {0, 0, ⋯, 1, 0, (Subscript[–a, κ ((Subscript[m , κ])–2)])}, {0, 0, ⋯, 0, 1, (Subscript[–a, κ ((Subscript[m, κ])–1)])}}))  

sind, und die Polynome  (((Subscript[p, κ])(X))^((Subscript[α, κ]))) := \(TraditionalForm\`Σ\+\(μ = 0\)\%\(m\_κ\)\) (Subscript[a, κ μ]) (X^μ)  mit  (Subscript[a, κ (Subscript[m, κ])]) = 1  jeweils irreduzible Polynome aus K[X] sind. Bis auf die Reihenfolge der Kästchen ist die Darstellung eindeutig.

 Otto Ludwig Hölder, 1859 – 1937

Es wird nun noch eine etwas übersichtlichere Struktur der Matrix entwickelt. Dazu als Vorbereitung

Lemma II.4.11
Es sei speziell  p(X) := X – a  mit  a ∈ K  und mit einem  v ∈ V  sei wieder  W := K[X]·v ≃ K[X] / (X – a)\(TraditionalForm\`\^m\)· K[X]  .
Dann ist  ( v, (φ – a id)·v, (φ – a id)\(TraditionalForm\`\^2\)·v,…, (φ – a id)m–1·v )  
bzw.      ( (φ – a id)m–1·v,…, (φ – a id)\(TraditionalForm\`\^2\)·v, (φ – a id)·v, v )  
jeweils eine Basis von  W . 
Die  φ  darstellenden Matrizen bzgl. dieser Basen sind

                 (({{a, 0,  ,  ,  , 0}, {1, a, .,  ,  ,  }, {0 , ., ., .,  ,  }, { , ., ., ., .,  }, { ,  ,  ., ., a, 0}, {0,  ,  , 0, 1, a}}))   bzw.   (({{a, 1, 0,  ,  , 0}, {0, a, ., .,  ,  }, { , ., ., ., .,  }, { ,  , ., ., ., 0}, { ,  ,  , ., a, 1}, {0,  ,  ,  , 0, a}})) .

Beweis:
( v, (φ – a id)·v, (φ – a id)\(TraditionalForm\`\^2\)·v,…, (φ – a id)m–1·v )  ist Basis von  W  ,  denn:
Es sei  (Subscript[a, 0]) · v + (Subscript[a, 1])·(φ – a)·v + ⋯ + (Subscript[a, m–1])·(φ – a)m–1·v = 0 . Dann ist das Polynom  
(Subscript[a, 0])  + (Subscript[a, 1])·(X – a) + ⋯ + (Subscript[a, m–1])·(X – a)m–1  durch  (X – a)\(TraditionalForm\`\^m\)  teilbar, also (wie oben)  (Subscript[a, μ]) = 0  für  μ = 0,…, m–1 .

Eine Familie von Vektoren bleibt eine Basis, wenn in der Familie nur umgeordnet wird! Damit ist auch  
( (φ – a id)m–1·v,…, (φ – a id)\(TraditionalForm\`\^2\)·v, (φ – a id)·v, v )  auch eine Basis von  W .

Wie sieht die darstellende Matrix im ersten Fall aus?
                            φ(v) = (φ – a id)(v) + a·v ,
          φ((φ – a id)(v)) = (φ – a id)(φ – a id)(v) + a·(φ – a id)(v) = (φ – a id)\(TraditionalForm\`\^2\)(v) + a·(φ – a id)(v) ,
                                    ⋮
    φ((φ – a id)m–2(v)) = (φ – a id)(φ – a id)m–2(v) + a·(φ – a id)m–2(v)  = (φ – a id)m–1(v) + a·(φ – a id)m–2(v) ,
  
    φ((φ – a id)m–1(v)) = (φ – a id)m(v) + a·(φ – a id)m–1(v) = 0 + a·(φ – a id)m–1(v) .

Damit hat die darstellende Matrix von  φ  bzgl. der ersten Basis die Gestalt

                                          (({{a, 0,  ,  ,  , 0}, {1, a, . ,  ,  ,  }, {0, ., ., . ,  ,  }, { ,  ., ., ., . ,  }, { ,  ,  ., ., a, 0}, {0,  ,  , 0, 1, a}}))  .

Wie sieht die darstellende Matrix bzgl. der zweiten Basis aus? Der Beweis ist jetzt etwas kürzer aufgeschrieben.
Es sei  (Subscript[v, κ]) :=  (φ – a id)m–κ(v) , κ ∈ 𝕞 ; insbesondere ist dann  (Subscript[v, m]) = v .

  φ((Subscript[v, κ])) = φ( (φ – a id)m–κ(v) ) = (φ – a id)(φ – a id)m–κ(v) + a·(φ – a id)m–κ(v)
         	= (φ – a id)m–(κ–1)(v) + a·(φ – a id)m–κ(v)
         	= {  ({{(Subscript[v, κ – 1]) +  a (Subscript[v, κ])}, {a (Subscript[v, κ])}})    ({{für, κ  ≥  2}, {für, κ  =  1}})  .
  Damit hat die  φ  darstellende Matrix jetzt die Gestalt:  
  
                                             (({{a, 1, 0,  ,  , 0}, {0, a, ., .,  ,  }, { , ., ., ., .,  }, { ,  , ., ., ., 0}, { ,  ,  , ., a, 1}, {0,  ,  ,  , 0, a}}))   ◼

Die Matrizen aus dem letzten Lemma haben einen Namen:

Definition II.4.27: 
JORDANKÄSTCHEN (Jordan block)
Es sei  a ∈ R .  Matrizen der Form
 
    	               (({{a, 0,  ,  ,  , 0}, {1, a, .,  ,  ,  }, {0 , ., ., .,  ,  }, { , ., ., ., .,  }, { ,  ,  ., ., a, 0}, {0,  ,  , 0, 1, a}}))  bzw.  (({{a, 1, 0,  ,  , 0}, {0, a, ., .,  ,  }, { , ., ., ., .,  }, { ,  , ., ., ., 0}, { ,  ,  , ., a, 1}, {0,  ,  ,  , 0, a}})) 
 
 heißen JORDANKÄSTCHEN oder auch JORDANBLÖCKE.

Bemerkung:
In den meisten Büchern wird jeweils nur eine "Sorte" der Jordankästchen benutzt.

Beispiel (Fortsetzung):
Es sei nochmals das obige Beispiel mit der Matrix

		              A :=  (({{0, 0, 0, 0, 4}, {1, 0, 0, 0, -16}, {0, 1, 0, 0, 25}, {0, 0, 1, 0, -19}, {0, 0, 0, 1, 7}}))  

betrachtet. Es sei also  φ:  (ℝ^5) →  (ℝ^5) und  φ  werde bzgl. der Einheitsbasis durch die Matrix  A  dargestellt.
Es  sei

(Subscript[v, 1]) = {4, -12, 13, -6, 1}; (Subscript[v, 2]) = {-4, 8, -5, 1, 0}; 
    (Subscript[v, 3]) = {4, -4, 1, 0, 0};

Dann folgt

{A . (Subscript[v, 1])  ==  (Subscript[v, 1]),  A . (Subscript[v, 2])  ==  (Subscript[v, 1]) + (Subscript[v, 2]),  
      A . (Subscript[v, 3])  ==  (Subscript[v, 2]) + (Subscript[v, 3])}

und mit

(Subscript[w, 1]) = {2, -7, 9, -5, 1};  
    (Subscript[w, 2]) = {-1, 3, -3, 1, 0};

{A . (Subscript[w, 1])  == 2 (Subscript[w, 1]),  
      A . (Subscript[w, 2])  ==  (Subscript[w, 1])  + 2  (Subscript[w, 2])}

Also läßt sich der  (ℝ^5) als direkte Summe der beiden Teilräume (Subscript[V, 1]):= [(Subscript[v, 1]),  (Subscript[v, 2]),  (Subscript[v, 3])]  und  (Subscript[V, 2]) := [(Subscript[w, 1]),  (Subscript[w, 2])] auffassen. 
Bezüglich  (Subscript[V, 1]) wird  \(TraditionalForm\`\(\(φ\)\( | \_\(V\_1\)\)\)\) dargestellt durch die Matrix

		              	(({{1, 1, 0}, {0, 1, 1}, {0, 0, 1}})) .

Bezüglich  (Subscript[V, 2]) wird  \(TraditionalForm\`\(\(φ\)\( | \_\(V\_2\)\)\)\) dargestellt durch die Matrix

                                               (({{2, 1}, {0, 2}})) .

Nun soll noch das Minimalpolynom  (Subscript[m, φ])(X)  von  φ  gefunden werden. Dazu wird zuerst das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerlegt:

(Subscript[χ, A])[
          X_] := -CharacteristicPolynomial[A,  
            X]; 

    (Subscript[χ, A])[X]

Factor[ (Subscript[χ, A])[X] ]

Nach dem Satz II.4.17 haben Minimalpolynom und charakteristisches Polynom die gleichen irreduziblen Faktoren 
(X – 1)  und  (X – 2) . Mit Satz II.4.16  und dem "Anfang" dieses Beispiels folgt, dass  (Subscript[m, φ])(X) = (Subscript[χ, φ])(X) .

Schließlich wird mit Mathematica die JORDANsche Normalform berechnet:

{H, JA} = JordanDecomposition[A]; MatrixForm[JA]

Allgemein gilt:

Satz II.4.19 JORDANsche Normalform 
Es seien  K  ein Körper, V  ein K-Vektorraum der Dimension  n  und  φ ∈ hom(V, V) . Das Minimalpolynom  (Subscript[m, φ])(X)  von  φ  zerfalle in Linearfaktoren. Dann gibt es eine  Basis  B  von  V  bzgl. der  φ  die folgende darstellende Matrix hat:

                                          (({{(Subscript[A, 1]),  ,   ,  0}, { , (Subscript[A, 2]),  ,  }, { ,  , ⋱,    }, {0 ,  ,   , (Subscript[A, k])}})) .
  
Die  (Subscript[A, κ]) sind Jordankästchen. Bis auf Vertauschung der Kästchen ist die Darstellung eindeutig.

Der Beweis folgt aus Satz II.4.18 und dem letzten Lemma       ◼