Universität Gesamthochschule Kassel Fachbereich Mathematik / Informatik

Zur Funktion und Geschichte dieses Applets

Was soll die Figur? Wozu dienen die vier eingegebenen Zahlen? Vielleicht haben Sie die Zahlen etwas variiert? Haben Sie eine Idee?

Studierenden der Linearen Algebra I die Wirkungsweise linearer Abbildungen der reellen Ebene und deren Zusammenhang mit 2 x 2 Matrizen anschaulich zu verdeutlichen, war das Ziel eines seit 1983 dauernden Projektes. Das neueste Ergebnis haben Sie wahrscheinlich eben gerade betrachtet.

Mit der Einheitsmatrix (1, 0, 0, 1) erhalten Sie ein "Urbild":

Variieren Sie die Matrix (a, b, c, d) zu (1, 1, 0, 1), dann entsteht das durch diese Matrix vermittelte Bild.

So können (einfache) lineare Abbildungen in der Ebene untersucht werden. Geben Sie eine andere Matrix ein!

1984 wurde zusammen mit dem Institut für den Wissenschaftlichen Film in Göttingen der Computergrafikfilm Matrizen und lineare Abbildungen gedreht. In Kassel hatten wir damals ein Grafiksystem, das an eine PDP 11/23 von Digital Equipment gekoppelt war. Zu programmieren in FORTRAN, Kernspeicher 64 K, 256 Farben pro Bild aus einer Palette von 16 Millionen.

1988 ließ sich das Projekt dann schon auf PCs mit Pascal realisieren, aber ohne Farbe. Deshalb wurde zur Störung des Symmetrie der ursprünglichen Figur der Deckel, also der Polygonzug ( w := sqrt(2.); (w,0), (1,1), (0,w), (-1,1), (-w,0), (-1,-1) ) angefügt. Nun war interaktives Lernen möglich.

1990 schrumpfte das Programm auf 14 Mathematica-Zeilen.

Seit 1996 geht es für Sie mit Java ganz einfach.

Beim Programmieren haben mich immer hilfsbereite, kreative Studenten unterstützt: u.a. Frank Rehrmann, Eckhard Müller, Thomas Landgraf, Tobias Hofmann und Benjamin Zinke .

Weitere Hinweise:

Zur didaktischen Konzeption:

• Müller, Eckhard; Schaper, Ralf
  Matrizen und lineare Abbildungen - einsehbar durch Computergrafik.
  Praxis der Mathematik. 31 (1989), 4, S. 220-226.

Der erste Film:

• Schaper, Ralf und Institut für den Wissenschaftlichen Film
  Matrizen und lineare Abbildungen.
  Publ. Wiss. Film, Sekt. Techn. Wiss./Naturw. (1986), Ser. 9, Nr. 9/C 1610.

Mit Mathematica:

• Schaper, Ralf
  Grafik mit Mathematica. Von den Formeln zu den Formen.
  Bonn: Addison-Wesley, 1994.

Einige neuere Überlegungen:

• Schaper, Ralf
  Computergraphik und Visualisierung am Beispiel zweier Themen aus der Linearen Algebra.
  Zentralblatt für Didaktik der Mathematik. 26 (1994), 3, S. 86 - 92.

Das Mathematica-Programm für die obigen Bilder:

Zuerst der allgemeine Ausdruck:

linearMap[ a_, b_, c_, d_ ] := 

With[ {w = Sqrt[2.]},
Module[ {m = {{a, b}, {c, d}}, mm,  

    quadrat = {{ 1, 1}, {-1, 1},{-1,-1},{ 1,-1}, { 1, 1}},
    raute   = {{ 1, 0}, { 0, 1},{-1, 0},{ 0,-1}, { 1, 0}},
    deckel  = {{ w, 0}, { 1, 1}, { 0, w},1, 1}, {-w, 0}, {-1,-1}},
    kreis   = Table[ {Cos[t], Sin[t]},{t, 0, 2Pi, Pi/30} ],
    ellipse = Table[ {2Cos[t], 1.157 Sin[t]},{t, 0, 2Pi, Pi/30} ]},

    mm[{x_, y_}] := m.{x, y}; (* Matrixmultiplikation *)
    Show[ Graphics[{ Line[ Map[ mm, quadrat ]],
                      Line[ Map[ mm, raute   ]],
                      Line[ Map[ mm, deckel  ]], 
                      Line[ Map[ mm, kreis   ]],
                      Line[ Map[ mm, ellipse ]] 
                  }],
AspectRatio -> Automatic, Axes -> True,
AxesStyle -> {RGBColor[0,0,1], AbsoluteThickness[1]},
Ticks -> None, Frame -> False ]]];

Jetzt die beiden Aufrufe für die Bilder:

linearMap[ 1, 0, 0, 1 ];

linearMap[ 1, 1, 0, 1 ];

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