Im Wintersemester 2014/15 wird Dr. Matthias Seiß eine zweistündige Vorlesung

Differentialalgebra

(mit Übungen) anbieten. Diese Wahlpflichtvorlesung für alle Studierenden der Mathematik (Bachelor und Lehramt) kann im Modul B6 (Algebra) oder im Modul B8 (Ergänzungen) angerechnet werden. Vorausgesetzt wird nur der Besuch der Vorlesung Grundlagen der Algebra und Differentialalgebra.

Die Vorlesung gibt eine Einführung in die Ritt-Kolchin-Theorie der Differentialpolynome. Sie soll einen Einstieg in die Differentialidealtheorie, welche ein Analogon zur klassischen algebraischen Idealtheorie für Differentialpolynome ist, und ihre algorithmischen Aspekte liefern. Die Ritt-Kolchin-Theorie konnte in der jüngeren Zeit zur Lösung von vielen algorithmischen Problemen beitragen, sofern diese auf einer Menge von algebraischen Differentialgleichungen basieren. Sie findet sowohl Anwendung in der reinen als auch angewandten Mathematik.

Inhaltlich werden zu Beginn der Vorlesung alle für ein weiteres Verständnis grundlegenden Objekte, wie beispielsweise Differentialringe, Differentialideale und Differentialpolynome, eingeführt. Des Weiteren werden alle erforderlichen technischen sowie algorithmischen Konzepte erläutert und anhand von Beispielen vertieft. Vorkenntnisse in der Differentialalgebra werden also nicht vorausgesetzt. Im Anschluss sollen dann folgende Themen behandelt werden: Charakteristische Mengen, der Ritt-Kolchin-Algorithmus, die Rosenfeld-Eigenschaft sowie das Rosenfeld-Lemma und der Basissatz von Ritt-Raudenbush, welcher ein differentielles Analogon zum Hilbertschen Basissatz aus der klassischen algebraischen Theorie darstellt. Höhepunkt der Vorlesung ist ein Algorithmus und die damit verbundenen Schwierigkeiten zur Berechnung einer Zerlegung eines Radikaldifferentialideals in einen Schnitt von endlich vielen Primdifferentialidealen. Wir formulieren das Ritt-Problem.

Verwendete Literatur:

• Hubert: Notes on Triangular Sets and Triangulation-Decomposition Algorithms. I. Polynomial Systems. II. Differential Systems, in Winkler, Langer (eds) Symbolic and Numerical Scientific Computation, Springer
• Ritt: Differential Equations from the Algebraic Standpoint, AMS
• Ritt: Differential Algebra, Dover
• Sit: The Ritt-Kolchin Theory for Differential Polynomials, in: Guo, Keigher, Cassedy, Sit (eds) Differential Algebra and Related Topics, World Scientific

Vorlesungstermine:

Zeit/Ort: Mittwochs 13:00-15:00, SR 0450a
Beginn: 22. Oktober

Übungsbetrieb

Die Übungen werden ebenfalls von Dr. Seiß geleitet und finden Mittwoch von 15:00-16:00 auch im SR 0450a statt. Weitere Details gibt es in der ersten Vorlesung.