Asymptotische Theorie elliptischer Systeme in unbeschränkten Gebieten
Obwohl in der Natur nur endliche Volumina anzutreffen sind, dienen Randwertprobleme für partielle Differentialgleichungen in unbeschränkten Gebieten oft als Modellprobleme für reale physikalische Phänomene, beispielsweise bei der Durchströmung von langen Rohren. In der Regel muss man bei solchen Problemen auch Bedingungen im Unendlichen vorschreiben, um ein wohlgestelltes Problem zu erhalten, d.h. um Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen zu gewährleisten. Zentrale Frage sind hierbei zum einen, inwieweit sich das reale physikalische Verhalten (z.B. der Strömung) durch geeignete Wahl solcher Bedingungen modellieren läßt, weiterhin, wie das asymptotische Verhalten der Daten das Verhalten der Lösungen im Unendlichen beeinflusst.
  Künstliche Randbedingungen für Probleme der Strömungsmechanik und der Elastizitätstheorie
Um Randwertprobleme auf einem unbeschränkten Gebieten  numerischen Verfahren zugänglich zu machen, ist die Umformulierung in geeignete Randwertprobleme auf beschränkten Gebieten nötig. Eine Methode hierfür ist die Methode der künstlichen Randbedingungen: Das ursprüngliche Gebiet wird an geeigneter Stelle abgeschnitten, z.B. indem man den Durchschnitt mit einer großen Kugel bildet. Auf dem so entstandenen Abschneiderand muss eine zusätzliche Randbedingung, die sogenannte künstliche Randbedingung vorgegeben werden. Diese Randbedingung sollte so gestellt werden, dass die eigentlich gewünschte Lösung des Problem auf dem unbeschränkten Gebiet möglichst gut approximiert wird. Ideal sind solche Randbedingungen, die diese Lösung auf dem abgeschnittenen Gebiet reproduzieren. Solche sogenannten exakten Randbedingungen lassen sich aber nur unter starken Einschränkungen an die Probleme herleiten. Da es sich in der Regel um nichtlokale Randbedingungen handelt, müssen sie in der Praxis approximiert werden, nichtlineare Probleme werden zunächst geeignet linearisiert.
Lokale künstliche Randbdingungen, d.h. Randbdingungen in Differentialform, haben den Vorteil, dass sie numerischen Verfahren, z.B. (FEM-Verfahren) leichter zugänglich sind. Für elliptische Probleme lassen sich in diesem Fall mit Methoden der asymptotischen Analysis scharfe Abschätzungen für den Abschneidefehler herleiten. Ferner lassen sich mit diesen Methoden auch (lokale) künstliche Randbedingungen für nichtlineare Probleme, wie z.B. die stationären Navier-Stokes Gleichungen herleiten und Fehlerabschätzungen beweisen Darüberhinaus ist es mit Blick auf numerische Rechnungen interessant, beide Ansätze zu vergleichen.
Mathematische Analyse der Druckstabilisierungsmethode
Bei vielen mathematischen Strömungsmodellen spielt die vollständige Analyse des Stokes-Systems

                              - ∆ u +  grad p=f,      div u = g    + Randbedingungen,

eine zentrale Rolle. Eine Schwierigkeit sowohl bei der theoretischen Untersuchung als auch bei der Anwendung numerischer Verfahren ist die Tatsache, dass die Ordnung der Differentialoperatoren für das gesuchte Geschwindigkeitsfeld u und den Druck p unterschiedlich sind. Der numerischen Analysis entnommen ist die Idee der Druckstabilisierung: Der zweiten Gleichung wird der Term  -ε ∆ p hinzugefügt, wobei ε ein kleiner Parameter ist. Typischerweise werden dort dann Abschätzungen (bezüglich ε durch Energiemethoden gewonnen. Diese sind aber nicht asymptotisch scharf, vielmehr lassen sich die Abschätzungen mit Methoden aus der Theorie elliptischer Systeme mit Parametern wesentlich verbessern, ferner können auch Konvergenzaussagen in Gebieten mit nichtglatten oder nichtkompakten Rändern bewiesen werden, die mit Energiemethoden nicht möglich sind.


Mathematische Bruchmechanik
Bei der Untersuchung von Bauteilversagen ist das Auftreten und die Ausbreitung von Rissen in Werkstücken ein zentrales Problem. Bei temperaturabhängigen Prozessen führt die Kombination aus mechanischer und thermischer Belastung häufig zu Mixed-Mode Beanspruchungen an der Risspitze.
Wichtig für Lebensdauervoraussagen sind speziell die Fragen
-   Unter welchen Bedingungen ist Risswachstum möglich?
-   Wohin wächst ein Riss im Falle stabiler Rissausbreitung?
-   Wie schnell wächst der Riss?
-   Wann setzt Gewaltbruch ein?
Seit 1921 wird das auf dem 1 Hauptsatz der Thermodynamik basierende Energie-Kriterium von Griffith als ein rigoroses Werkzeug benutzt, um die Ausbreitung von Rissen insbesondere in sprödem, isotropen Material zu beschreiben. Trotz der enormen Anzahl von Publikationen auf Gebiet der Bruchmechanik existieren immer noch Lücken in der mathematisch exakten Beschreibung von Phänomenen bei der Ausbreitung von Rissen, speziell bei anisotropen Materialien und unter komplexen Belastungen. Insbesondere verhinderte dieweitgehend akzeptierte Meinung von Sih und Liebowitz
 "… since it is not a priori evident to which shape the … crack would grow, a precise mathematical statement of the Griffith fracture criterion does not
appear to be possible…" eine tiefer gehende mathematische Analyse des Griffith Kriteriums, etwa bei der Untersuchung von abknickenden oder verzweigten Rissen unter Mixed-Mode-Belastung. Dabei bezeichnet Mixed Mode eine Überlagerung der drei grundlegenden Rissbeanspruchungsarten (Mode I,
Mode II (ebenes Gleiten der Rissoberflächen), Mode III (nicht-ebenes Gleiten der Rissoberflächen)). Statt dessen wurde eine Fülle neuer Kriterien für die Rissausbreitung formuliert. Diese beschäftigten sich hauptsächlich mit geradlinig geknickten Rissen in isotropen und in weit geringerem Maße auch in
anisotropen Medien. Einer der Gründe hierfür: Nur bei isotropen Materialien und speziellen Belastungen und Geometrien (z.B. Mode I- Belastung) ist es möglich, im Zusammenhang mit dem Griffith Kriterium auftretende intrinsische Attribute wie die Rate der freiwerdenden Energie oder die Spannungsverteilung in expliziten Formeln anzugeben. Hier muss man unterscheiden zwischen formalen asymptotischen Entwicklungen des Verschiebungsfeldes und/oder des Dehnungs/Spannungs-Tensors nahe der Rissfront (und daraus gezogenen Schlussfolgerungen) und deren mathematischer Rechtfertigung. Eine
mathematische rigorose Modellierung des ursprünglichen Griffith-Kriteriums ist erst in den letzten 10 Jahren begonnen worden, nachdem mit der Charakterisierung von elliptischen Randwertproblemen in Gebieten mit konischen Singularitäten die Grundlagen gelegt worden waren.
Da in der ursprünglichen Formulierung von einem als allgemein gültig angesehenen Prinzip ausgegangen wird, ist es sinnvoll, diesen Zugang mit mathematischen Methoden weiter zu verfolgen. Die mathematische Modellierung des Griffith-Kriteriums kann einen einheitlichen Zugang zu den Risskriterien ermöglichen.

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