Dissertation
"Algorithmen für q-holonome Funktionen und q-hypergeometrischen Reihen"



Die q-Analysis ist eine spezielle Diskretisierung der Analysis auf einem Gitter, welches eine geometrische Folge darstellt, und findet insbesondere in der Quantenphysik eine breite Anwendung, ist aber auch in der Theorie der q-orthogonalen Polynome und speziellen Funktionen von großer Bedeutung. Die betrachteten mathematischen Objekte aus der q-Welt weisen meist eine recht komplizierte Struktur auf und es liegt daher nahe, sie mit Computeralgebrasystemen zu behandeln. In der vorliegenden Dissertation werden Algorithmen für q-holonome Funktionen und q-hypergeometrische Reihen vorgestellt. Alle Algorithmen sind in dem Maple-Package qFPS, welches integraler Bestandteil der Arbeit ist, implementiert. Nachdem in den ersten beiden Kapiteln Grundlagen geschaffen werden, werden im dritten Kapitel Algorithmen präsentiert, mit denen man zu einer q-holonomen Funktion q-holonome Rekursionsgleichungen durch Kenntnis derer q-Shifts aufstellen kann. Operationen mit q-holonomen Rekursionen werden ebenfalls behandelt. Im vierten Kapitel werden effiziente Methoden zur Bestimmung polynomialer, rationaler und q-hypergeometrischer Lösungen von q-holonomen Rekursionen beschrieben. Das fünfte Kapitel beschäftigt sich mit q-hypergeometrischen Potenzreihen bzgl. spezieller Polynombasen. Wir formulieren einen neuen Algorithmus, der zu einer q-holonomen Rekursionsgleichung einer q-hypergeometrischen Reihe mit nichttrivialem Entwicklungspunkt die entsprechende q-holonome Rekursionsgleichung für die Koeffizienten ermittelt. Ferner können wir einen neuen Algorithmus angeben, der umgekehrt zu einer q-holonomen Rekursionsgleichung für die Koeffizienten eine q-holonome Rekursionsgleichung der Reihe bestimmt und der nützlich ist, um q-holonome Rekursionen für bestimmte verallgemeinerte q-hypergeometrische Funktionen aufzustellen. Mit Formulierung des q-Taylorsatzes haben wir schließlich alle Zutaten zusammen, um das Hauptergebnis dieser Arbeit, das q-Analogon des FPS-Algorithmus zu erhalten. Wolfram Koepfs FPS-Algorithmus aus dem Jahre 1992 bestimmt zu einer gegebenen holonomen Funktion die entsprechende hypergeometrische Reihe. Wir erweitern den Algorithmus dahingehend, dass sogar Linearkombinationen q-hypergeometrischer Potenzreihen bestimmt werden können.


The q-calculus is a special discretization of calculus on a lattice constituting a geometric sequence. In particular, the q-calculus applies in quantum physics, but it is also of importance in the theory of q-orthogonal polynomials and special functions. The considered mathematical objects from the q-world mostly have a very complicated structure and therefore it is quite reasonable to treat them with computer algebra systems. In the present dissertation algorithms for q-holonomic functions and q-hypergeometric series are introduced. All algorithms are implemented in the Maple package qFPS, which is integral part of the thesis. After the first two chapters, where the basics are developed, the third chapter deals with the determination of q-holonomic recurrence equations for a q-holonomic function out of its q-shifts. Operations of q-holonomic recurrences are also treated. Efficient methods for the determination of polynomial, rational and q-hypergeometric solutions of q-holonomic recurrences are described in the fourth chapter. The fifth chapter covers q-hypergeometric series with special polynomial bases. We develop a new algorithm which converts a q-holonomic recurrence equation of a q-hypergeometric series with nontrivial expansion point into the corresponding q-holonomic recurrence equation for the coefficients. Furthermore, we show an algorithm which determines a q-holonomic recurrence for the series out of a q-holonomic recurrence of the coefficients vice versa. This algorithm is used to detect q-holonomic recurrences for some types of generalized q-hypergeometric functions. With the q-Taylor theorem, we combine all algorithms and finally obtain the main result of the thesis, the q-analogue of the FPS algorithm. Wolfram Koepf's FPS algorithm from 1992 determines a representation of a holonomic function as a hypergeometric series. We extend the algorithm in such a way that it identifies linear combinations of q-hypergeometric series.