Software



iPoints

Die Webapplikation "iPoints" dient für die Verwaltung des Übungsbetriebes für Vorlesungen aller Art speziell an Universitäten. Übungs- und Klausurergebnisse können einfach gespeichert werden und über verschiedene Sichten betrachtet und analysiert werden. Studenten können ihre Ergebnisse - durch ihre Matrikelnummer - jederzeit online abrufen. Das System ist geschützt und kann nur mit einem Benutzerkonto verwendet werden. Es existieren verschiedene Rollen, die einem Benutzer zugeordnet werden können. Dozenten und Tutoren erhalten bspw. Lese- und Schreibrechte auf nahezu alle Funktionen (sie können z.B. Studenten, Vorlesungen, Übungsblätter und Klausuren neu anlegen, Studenten zu Vorlesungen zuordnen, Ergebnisse eingeben, ändern und betrachten, usw.), während ein Korrekteur von Übungsaufgaben im Wesentlichen nur die Punkte eingeben kann.







Im Rahmen meines Studiums entwickelte ich verschiedene Computersimulationen, die den Sinn hatten, komplexe mathematische Zusammenhänge auf einfache Art und Weise zu visualisieren. Hier werden nun einige Programme, die in der Sprache Visual C++ geschrieben wurden, vorgestellt und zum Download angeboten. Es handelt sich bei der Software um Windows-Applikationen.



fractal_T

Die Software "fractal_T" dient dazu, beliebige Ausschnittsvergrößerungen von Fraktalen, wie Mandelbrotmengen und Juliamengen, vorzunehmen, um die Selbstähnlichkeit der mathematischen Gebilde bestaunen zu können. Dabei können verschiedene Farbeinstellungen vorgenommen werden, die die Faszination der Fraktale verstärken. Auf dem linken unteren Bild ist die Mandelbrotmenge abgebildet. In der linken oberen Ecke sieht man eine Vorschau für die Juliamenge, die an der Stelle entsteht, wo sich augenblicklich der Cursor befindet. Hat man eine besonders eindrucksvolle Juliamenge erhalten, so kann man die Bilder abspeichern. Es besteht außerdem die Möglichkeit, den Orbit von einem beliebigen Punkt in der Gaußschen Zahlenebene zu visualisieren. Auf dem mittleren Bild kann man beispielsweise einen schließlich periodischen Orbit erkennen. Man kann sämtliche Aktionen mit der Maus steuern und so die Fraktale bis ins kleinste Detail untersuchen und interessante Strukturen entdecken. Indem man um eine Julia- bzw. Mandelbrotmenge bei gedrückter Maustaste ein Rechteck zieht, vergrößert man den entsprechenden Ausschnitt. Bei einem Rechtsklick in eine Mandelbrotmenge bekommt man die zu dem angeklickten Punkt assoziierte Juliamenge. Auf dem rechten unteren Bild ist z.B. eine Juliamenge dargestellt. Desweiteren kann man die Fraktale nach Wunsch einfärben.







chaos_T

Mit dem Programm "chaos_T" hat man die Möglichkeit, verschiedene eindimensionale dynamische Systeme zu untersuchen. Dabei kann man bspw. graphische Iterationen durchführen lassen, wie man auf dem linken unteren Bild sehen kann. Bei Bewegung des Mausrades verändert man den Startwert. Drückt man zusätzlich die "Strg"-Taste, so verändert sich der Parameter der zugrundeliegenden Funktionenfamilie. Zudem kann man (in Abhängigkeit des Parameters) Feigenbaumdiagramme und Lyapunov-Exponenten zeichnen lassen, anhand derer man Rückschlüsse auf periodisches oder chaotisches Verhalten ziehen kann. Ferner lassen sich zu ausgewählten Funktionen die zugehörigen Feigenbaumpunkte bestimmen.







project_FFT

Hat man eine periodische, stückweise stetige Funktion gegeben und möchte diese durch eine trigonometrisches Interpolationspolynom approximieren, so muss man die Fourierkoeffizienten bestimmen. Eine der effizientesten Methoden zur Bestimmung der Fourierkoeffizienten ist die sogenannte FFT (FastFourierTransform). Das Programm "project_FFT" berechnet mit Hilfe des FFT-Algorithmus das trigonometrische Interpolationspolynom und stellt es, neben der zu approximierenden Funktion, graphisch dar (siehe linkes Bild). Auch bei dieser Software kann man Ausschnitte vergrößern und sehen, wie sich das Interpolationspolynom um die Ausgangsfunktion "schlängelt" (siehe rechtes Bild). Die Güte der Approximation kann man durch den Grad des Interpolationspolynoms beeinflussen.







NDgl_T

In der Software "NDgl_T" sind die numerischen Standardverfahren zur näherungsweisen Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen enthalten. Man kann ein Differentialgleichungssystem eingeben und das Programm bestimmt per Polygonzugverfahren eine graphische Lösung. Folgende Methoden werden verwendet:

Einschrittverfahren Mehrschrittverfahren
Eulerverfahren (1.Ordnung) Prädiktor-Korrektor-Verfahren (Adams-Bashfort/Adams-Moulton)
modifiziertes Eulerverfahren (2.Ordnung) Prädiktor-Korrektor-Verfahren (Nyström/Milne-Thompson)
Heunverfahren (2.Ordnung)
Runge-Kutta-Verfahren (4.Ordnung)

Für jedes Verfahren existiert ein Button zum Zeichnen der Näherungslösung, so dass man, wie man im zweiten Bild sieht, die Graphen der Lösungen miteinander vergleichen kann. Um die Qualität der Näherungslösungen zu verbessern, kann man die Schrittweite im Eingabedialog verringern. Bei den Mehrschrittverfahren ist es zudem möglich, die Anzahl der Schritte einzustellen.