Konvergenzgeschwindigkeit der alternierenden harmonischen Reihe bei der Approximation von ln(2)

S[n_] := (∑_(k = 1)^n)(((-1))^(k + 1)) 
          (1/k)

S[100] - Log[2] // N

S[1000] - Log[2] // N

S[10000] - Log[2] // N

Graphische Darstellung der harmonischen Reihe und des Integralkriteriums

plot1 = 
        Plot[(1/x), {x, 0, 10}, PlotRange -> {0, 1}, 
          DisplayFunction -> Identity];

plot2 = 
        Table[Graphics[{RGBColor[1, 0, 0], 
              Line[{{k, (1/k)}, {k + 1, (1/k)}, {k + 1, (1/(k + 1))}}]}], {k, 
            1, 10}];

plot3 = 
        Table[Graphics[{RGBColor[0, 0, 1], 
              Line[{{k, (1/(k + 1))}, {k + 1, (1/(k + 1))}, {k + 1, 
                    (1/(k + 2))}}]}], {k, 1, 10}];

Show[plot1, plot2, plot3, 
      DisplayFunction ->  $DisplayFunction]

Abschätzung der Approximation von (∑_(k = 1)^∞) (1/(k^5)) mit dem Integralkriterium. Zunächst der exakte Wert:

(∑_(k = 1)^∞) (1/(k^5))

(∑_(k = 1)^∞) (1/(k^5)) // N

Approximation durch 100 Summanden

(∑_(k = 1)^100) (1/(k^5))

(∑_(k = 1)^100) (1/(k^5)) // N

Fehlerabschätzung

(∫_101^∞) (1/(x^5)) \[DifferentialD]x

(∫_101^∞) (1/(x^5)) \[DifferentialD]x // 
      N

Abschätzung der Approximation von (∑_(k = 1)^∞) (1/(k Log[k])) mit dem Integralkriterium. Zunächst der exakte Wert:

(∑_(k = 2)^∞) (1/(k Log[k]))

Den kennt Mathematica nicht. Anwendung des Integralkriteriums:

(∫_2^∞) 
            (1/(x Log[x])) \[DifferentialD]x

Mathematica behauptet, das Integral (und daher auch die Summe) divergiere. Nachweis über die Stammfunktion:

int = ∫(1/(x Log[x])) \[DifferentialD]x

Limit[int, x -> ∞]

Eine Funktionenfolge, welche im Intervall [0,1] nicht gleichmäßig konvergiert:  (Subscript[f, n])[x] = (x^n)

Plot[Evaluate[Table[(x^n), {n, 1, 20}]], {x, 0, 1}, 
      PlotRange -> {0, 1}]

(Subscript[f, n])[x] konvergiert gegen 0 für x<1 und gegen 1 für x=1. Die Grenzfunktion ist nicht stetig.

Limit[(x^n) /. x -> 1, n -> ∞]

Limit[(x^n) /. x ->  .9, n -> ∞]

Ein Beispiel, bei welchem die Ableitungen nicht gleichmäßig konvergieren

f = Sin[n x]/n

Limit[f, n -> ∞]

Plot[Evaluate[Table[f, {n, 1, 30}]], {x, 0, 2  π}, 
      PlotRange -> {-1, 1}]

g = D[f, x]

Limit[g, n -> ∞]

Plot[Evaluate[Table[g, {n, 1, 50}]], {x, 0, 2  π}]