Needs["Graphics`ImplicitPlot`"]

Implizite Funktionen

Beispiel 1

F = y (E^y) - x

ImplicitPlot[F == 0, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}]

Explizite Bestimmung der impliziten Funktion, d.h. Auflösen nach y:

Solve[F == 0, y]

Plot[ProductLog[x], {x, -1, 1}, 
      AspectRatio -> Automatic]

Die Funktion und ihre Umkehrfunktion

Plot[{ProductLog[x], x (E^x)}, {x, -1, 1}, 
      AspectRatio -> Automatic, 
      PlotRange -> {-1, 1}]

Bestimmung des kleinsten x-Wertes der impliziten Funktion

f = x (E^x)

sol = Solve[D[f, x] == 0, x]

f /. sol

Der kleinste x-Wertes der impliziten Funktion ist also -(1/e).

Ableitung der impliziten Funktion

F1 = -D[F, x]/D[F, y]

Bestimmung durch implizites Ableiten

F /. y -> g[x]

D[F /. y -> g[x], x]

abl = Solve[D[F /. y -> g[x], x] == 0, g'[x]]

zweite Ableitung

D [abl, x]

Einsetzen von g'(x)

D [abl, x] /. abl[[1]]

Vereinfachung

D [abl, x] /. abl[[1]] // Simplify

Beispiel 2

F = x + (y^3) - y

ImplicitPlot[F == 0, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}]

Explizite Bestimmung der impliziten Funktion, d.h. Auflösen nach y:

sol = Solve[F == 0, y]

Plot[Evaluate[y /. sol], {x, -1, 1}, 
      AspectRatio -> Automatic]

Funktion und Umkehrfunktion

Plot[Evaluate[Join[y /. sol, {x - (x^3)}]], {x, -1, 1}, 
      AspectRatio -> Automatic, 
      PlotRange -> {-1, 1}]

Bestimmung der kleinsten/größten x-Werte der 3 Zweige der Umkehrfunktion

f = x  - (x^3)

sol = Solve[D[f, x] == 0, x]

f /. sol

% // N

Ableitung der impliziten Funktion

F1 = -D[F, x]/D[F, y]

Bestimmung durch implizites Ableiten

F /. y -> g[x]

D[F /. y -> g[x], x]

abl = Solve[D[F /. y -> g[x], x] == 0, g'[x]]

zweite Ableitung

D [abl, x]

D [abl, x] /. abl[[1]]

Beispiel 3

F = (E^y) Cos[x + y] - 1

ImplicitPlot[F == 0, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}]

Explizite Angabe der impliziten Funktion geht nun gar nicht mehr

sol = Solve[F == 0, y]

Ableitung der impliziten Ffunktion

F1 = -D[F, x]/D[F, y]

zweite Ableitung mit der mehrdimensionalen Kettenregel

F2 = D[F1, x] + D[F1, y] F1 // Simplify

dreidimensionales Beispiel

F = (E^x) Sin[x + y + z] + y

Sei z = g(x, y). Dann folgt

(Subscript[g, x])(x, y)

-D[F, x]/D[F, z] // Simplify

(Subscript[g, y])(x, y)

-D[F, y]/D[F, z] // Simplify