Diagonalisierung einer Matrix

A=(({{0, 0, 0}, {2, -1, 0}, {-2, -1, -4}}))

Wir bestimmen Eigenwerte und Eigenvektoren

sys = Eigensystem[A]

Die Eigenwerte liefern die diagonalisierte Matrix

diag = 
      Table[If[j == k, sys[[1, k]], 0], {j, 3}, {k, 3}]

und die Eigenvektoren liefern die Transformationsmatrix

B = Transpose[sys[[2]]]

Inverse[B]

Inverse[B] . A . B

Umstellung der Eigenvektoren liefert die Transformationsmatrix

B=(({{-1, 0, 0}, {-2, -3, 0}, {1, 1, 1}}))

Inverse[B] . A . B

Ellipsen und Hyperbeln

Needs["Graphics`ImplicitPlot`"]

Normalform einer Ellipse

ImplicitPlot[((x^2)/4) + (y^2) == 1, {x, -2, 2}, {y, -1, 1}, 
      AspectRatio -> Automatic]

Normalform 1 einer Hyperbel

ImplicitPlot[
      ((x^2)/4) - (y^2) == 1, {x, -10, 10}, {y, -10, 10}, 
      AspectRatio -> Automatic]

Normalform 2 einer Hyperbel

ImplicitPlot[-((x^2)/4) + (y^2) == 1, {x, -10, 
        10}, {y, -10, 10}, AspectRatio -> Automatic]

Fadenkostruktion einer Ellipse

Länge[
        a_] := (Sqrt[(∑_(k = 1)^(Length[a]))a[[k]]^2])

F1 = {-e, 0};
F2 = {e, 0};
P = {x, y};

gleichung = 
      Länge[P - F1] + Länge[P - F2] == 
        2  a

\(gleichung = Map[#\^2 &, gleichung]\)

gleichung = Map[Expand, gleichung]

gleichung = 
      Map[# - (2 (e^2) + 2 (x^2) + 2 (y^2)) &, gleichung]

\(gleichung = Map[#\^2 &, gleichung]\)

gleichung = 
      Map[# - (((4 (a^2) - 2 (e^2) - 2 (x^2) - 2 (y^2)))^2) &, 
        gleichung]

gleichung = Map[Factor, gleichung]

\(gleichung = 
      Map[#\/\(16\ \(a\^2\) \((a\^2 - e\^2)\)\) &, gleichung]\)

Map[Apart[#] &, gleichung]

Polarkoordinatendarstellung einer Ellipse mit Brennpunkt im Ursprung

gleichung = ((((x - e))^2)/(a^2)) + ((y^2)/(((a^2) - (e^2)))) == 
        1

gleichung = Map[Together, gleichung]

gleichung = Map[#*(a^2) ((a^2) - (e^2)) &, gleichung]

gleichung = Map[# - (a^2) ((a^2) - (e^2)) &, gleichung]

gleichung = 
      gleichung /. {x -> r Cos[ϕ], 
          y -> r Sin[ϕ]}

Simplify[Solve[gleichung, r]]

Needs["Graphics`Graphics`"]

PolarPlot[(((a^2) - (e^2))/(a - e Cos[ϕ])) /. {a -> 2, 
          e -> 1}, {ϕ, 0, 2  π}]