Mehrdimensionale Integration

RechtsRiemannSumme[
        f_, {x_, 
          y_}, {{a_, b_}, {c_, 
            d_}}] := ((b - a)/n) ((d - 
              c)/n) (∑_(k = 1)^n)(∑_(j = 1)^n)(f /. {x -> a + (k/n) (b - a), 
                  y -> c + (j/n) (d - c)})

riemann = 
      RechtsRiemannSumme[(((x + y))^3), {x, y}, {{0, 1}, {0, 1}}]

Limit[riemann, n -> ∞]

riemann = 
      RechtsRiemannSumme[(((x + y))^3), {x, y}, {{a, b}, {c, d}}]

Limit[riemann, n -> ∞] // Factor

Vergleich

(∫_0^1)(∫_0^1)(((x + 
                  y))^3) \[DifferentialD]x \[DifferentialD]y

(∫_c^d)(∫_a^b)(((x + 
                  y))^3) \[DifferentialD]x \[DifferentialD]y

(∫_c^d)(∫_a^b)(((x + 
                    y))^3) \[DifferentialD]x \[DifferentialD]y // 
      Factor

Zweidimensionale Integrationsfunktion mittels Riemann-Summen

Integrate2[f_, {x_, a_, b_}, {y_, c_, d_}] := 
      Limit[RechtsRiemannSumme[f, {x, y}, {{a, b}, {c, d}}], 
        n -> ∞]

Integrate2[(((x + y))^3), {x, a, b}, {y, c, d}]

kompliziertere Beispiele

Integrate2[Exp[x + y], {x, a, b}, {y, c, d}]

Hier scheitert Mathematica

Integrate2[(Sqrt[(x^2) + (y^2)]), {x, 0, 1}, {y, 0, 1}]

Iterativ geht es aber:

(∫_0^1)(∫_0^1)(Sqrt[ (x^2) + 
                (y^2)]) \[DifferentialD]x \[DifferentialD]y

Das innere Integral ist schion ziemlich kompliziert:

(∫_0^1)(Sqrt[ (x^2) + (y^2)]) \[DifferentialD]x

Auch hier scheitert Mathematica,

Integrate2[x y Exp[(x^2) + (y^2)], {x, a, b}, {y, c, d}]

obwohl Ergebnis und

(∫_c^d)(∫_a^b) 
          x y Exp[
            (x^2) + (y^2)] \[DifferentialD]x \[DifferentialD]y

inneres Integral

(∫_a^b) x y Exp[(x^2) + (y^2)] \[DifferentialD]x

recht einfach sind.

Vertauschung der Integrationsreihenfolge und Satz von Fubini

(∫_a^b)(∫_c^d) 
          x y Exp[
            (x^2) + (y^2)] \[DifferentialD]y \[DifferentialD]x

(∫_a^b)(∫_c^d) 
              x y Exp[
                (x^2) + (y^2)] \[DifferentialD]y \[DifferentialD]x - (∫_c^d)(∫_a^b) 
              x y Exp[(x^2) + (y^2)] \[DifferentialD]x \[DifferentialD]y // 
      Simplify

Dreidimensionale Integrale

(∫_a^b)(∫_c^d)(∫_e^f) 
            1 \[DifferentialD]z \[DifferentialD]y \[DifferentialD]x

(∫_a^b)(∫_c^d)(∫_e^f) 
              1 \[DifferentialD]z \[DifferentialD]y \[DifferentialD]x // 
      Factor

(∫_0^1)(∫_0^1)(∫_0^1)(((x + y + 
                    z))^3) \[DifferentialD]z \[DifferentialD]y \[DifferentialD]x

(∫_a^b)(∫_c^d)(∫_e^f)(((x + y + 
                      z))^3) \[DifferentialD]z \[DifferentialD]y \[DifferentialD]x // Factor

sol = (∫_0^1)(∫_0^1)(∫_0^1)(Sqrt[ (x^2) + (y^2) + 
                    (z^2)]) \[DifferentialD]z \[DifferentialD]y \[DifferentialD]x

sol = FullSimplify[sol]

N[sol]

Numerische Bestimmung eines mehrdimensionalen Integrals

NIntegrate[(Sqrt[(x^2) + (y^2) + (z^2)]), {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, {z, 0, 
        1}]