Substitutionsregel / Transformationssatz

Kugelkordinaten

g = {r Cos[ϕ] Sin[θ], r Sin[ϕ] Sin[θ], 
        r Cos[θ]}

Grad[f_, x_] := Table[D[f, x[[k]]], {k, Length[x]}]

Transformationsdeterminante

jacobi = Transpose[Grad[g, {r, ϕ, θ}]]

Det[jacobi]

Det[jacobi] // Simplify

Kugelvolumen in Kugelkoordinaten

(∫_0^R)(∫_0^(2  π))(∫_0^π) (r^2) 
            Sin[θ] \[DifferentialD]θ \[DifferentialD]ϕ \[DifferentialD]r

Zylinderkordinaten

g = {r Cos[ϕ], r Sin[ϕ], z}

Transformationsdeterminante

jacobi = Transpose[Grad[g, {r, ϕ, z}]]

Det[jacobi]

Det[jacobi] // Simplify

Beispiel 9.11 (abgewandelt!)

f = (z/(Sqrt[(x^2) + (y^2) + (z^2)]))

in Zylinderkoordinaten

(∫_0^(2  π))(∫_0^H)(∫_0^((R/H) z))(z/(Sqrt[(r^2) + (z^2)])) r \[DifferentialD]r \[DifferentialD]z \[DifferentialD]ϕ

inneres Integral

stamm = ∫(z/(Sqrt[(r^2) + (z^2)])) r \[DifferentialD]r

int = 
      Simplify[(∫_0^((R/H) z))(z/(Sqrt[(r^2) + (z^2)])) r \[DifferentialD]r, z > 0]

nächstes Integral

int = (∫_0^H) int \[DifferentialD]z

letztes Integral

(∫_0^(2  π))int \[DifferentialD]ϕ