Kurven

Ellipse

f = {a Cos[t], b Sin[t]}

ParametricPlot[
      f /. {a -> 2, b -> 1}, {t, 0, 2  π}]

nicht glatte Kurve: Neilsche Parabel

g = {(t^2), (t^3)}

ParametricPlot[g, {t, -1, 1}, PlotRange -> All]

ParametricPlot3D[{Cos[t], Sin[t], t}, {t, 0, 6  π}]

Kurvenlänge

Länge[
        x_] := (Sqrt[(∑_(k = 1)^(Length[x]))x[[k]]^2])

    
Kurvenlänge[
        f_, {t_, a_, 
          b_}] := (∫_a^b) Länge[
            D[f, t]] \[DifferentialD]t

f = {a Cos[t], b Sin[t]}

Dieses Ergebnis ist falsch!

Kurvenlänge[f, {t, 0, 2  π}]

Länge[D[f, t]]

Kurvenlänge[
      f /. {b -> a}, {t, 0, 2  π}]

Spirale

Kurvenlänge[{Cos[t], Sin[t], t}, {t, 0, 
        6  π}]

logarithmische Spirale

ParametricPlot[{Exp[-t] Cos[t], Exp[-t] Sin[t]}, {t, 0, 100}, 
      PlotRange -> All]

Kurvenlänge[{Exp[-t] Cos[t], Exp[-t] Sin[t]}, {t, 
        0, ∞}]

Hyperbel

ParametricPlot[{Cosh[t], Sinh[t]}, {t, -3, 3}]

Hyperbelspirale

s = 
      Kurvenlänge[{Cosh[t], Sinh[t], t}, {t, 0, T}]

Simplify[s, T > 0]

Bogenlänge

Bogenlänge[f_, 
        t_] := (∫_0^t) Länge[
            D[f, t]] \[DifferentialD]t

Kreis

Bogenlänge[{Cos[t], Sin[t]}, t]

Nochmals Kreis

Bogenlänge[{x, (Sqrt[1 - (x^2)])}, x]

Spirale

Bogenlänge[{Cos[t], Sin[t], t}, t]

logarithmische Spirale

Bogenlänge[{Exp[-t] Cos[t], Exp[-t] Sin[t]}, t] // 
      Simplify

Hyperbelspirale

Simplify[Bogenlänge[{Cosh[t], Sinh[t], t}, t], 
      t > 0]

Ellipse

Bogenlänge[{a Cos[t], b Sin[t]}, t]

Kurvenintegral

Kurvenintegral[V_, var_, f_, {t_, a_, b_}] := 
      Module[{v = V, k}, 
Do[
          v = v /. var[[k]] -> f[[k]], {k, 
            Length[var]}]; 
(∫_a^b) v . 
              D[f, t] \[DifferentialD]t
]

Kurvenintegral[{x, y, z}, {x, y, z}, {t Cos[t], 
        t Sin[t], ω t}, {t, 0, 4  π}]

Wie sieht die Kurve aus?

ParametricPlot3D[{t Cos[t], t Sin[t],  t}, {t, 0, 
        4  π}]

Grad[f_, x_] := Table[D[f, x[[k]]], {k, Length[x]}]

V = Grad[(1/3) ((x^3) + (y^3)), {x, y}]

Kurvenintegral[
      V, {x, y}, {a Cos[t] + 3 , 
        Sin[t]}, {t, -(π/2), (π/2)}]

ParametricPlot[
      Evaluate[Table[{a Cos[t] + 3 , Sin[t]}, {a, 1, 
            5}]], {t, -(π/2), (π/2)}]

Vektoranalysis

Remove[Grad]

Needs["Calculus`Vectoranalysis`"]

SetCoordinates[Cartesian[x, y, z]]

Grad[(Sqrt[(x^2) + (y^2) + (z^2)])]

Clear[g]

Grad[(∫_0^((Sqrt[(x^2) + (y^2) + (z^2)])))g[
            t] \[DifferentialD]t]

?Cartesian

CoordinatesFromCartesian[{x, y, z}, Spherical]

CoordinatesToCartesian[{r, ϕ, θ}, Spherical]