Ein Beispiel, bei welchem die Ableitungen gleichmäßig konvergieren

(∑_(k = 0)^∞) (x^k) == (1/(1 - x))

Sum[(x^k), k] == (1/(1 - x))

Sum[Evaluate[D[(x^k), x]], k] == D[(1/(1 - x)), x]

Eine Funktionenreihe

(∑_(k = 0)^∞)(((1 - x))^k)

Plot[
      Evaluate[Table[(∑_(k = 0)^n)(((1 - x))^k), {n, 1, 20}]], {x, 0, 
        3}]

Eine weitere Funktionenreihe

f = (∑_(k = 1)^∞) (1/((x^2) - (k^2)))

plot1 = 
      Plot[f, {x, 0, 2}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], Thickness[0.01]}]

plot2 = 
      Plot[Evaluate[
          Table[(∑_(k = 1)^n) (1/((x^2) - (k^2))), {n, 1, 20}]], {x, 0, 
          2}]

Show[plot1, plot2, PlotRange -> {-2, 2}]

Potenzreihen: Konvergenzradius

a[k_] := (1/(k!))

Limit[a[k]/a[k + 1], k -> ∞]

a[k]/a[k + 1]

FullSimplify[a[k]/a[k + 1]]

Limit[FullSimplify[a[k]/a[k + 1]], k -> ∞]

Clear[a]

Konvergenzradius[a_, k_] := 
      Limit[FullSimplify[Abs[(a/((a /. k -> k + 1)))]], 
        k -> ∞]

Exponentialreihe

Konvergenzradius[(1/(n!)), n]

Kosinusreihe

Konvergenzradius[((((-1))^k)/((2  k)!)), k]

Geometrische Reihe

Konvergenzradius[1, k]

Der Integralsinus

Wir interessieren uns für eine Stammfunktion der Funktion Sin[x]/x:

∫Sin[x]/x \[DifferentialD]x

(∫_0^x) Sin[t]/t \[DifferentialD]t

Man nennt diese Funktion den Integralsinus. Die Sinusfunktion hat die Potenzreihendarstellung

Sin[x] == 
      Sum[((((-1))^k)/((2  k + 1)!)) (x^(2  k + 1)), 
        k]

also

Sin[x]/x == 
      Sum[((((-1))^k)/((2  k + 1)!)) (x^(2  k)), k]

und schließlich

∫Sin[x]/x \[DifferentialD]x == 
      Sum[Evaluate[∫((((-1))^k)/((2  k + 
                        1)!)) (x^(2  k)) \[DifferentialD]x], 
        k]

Die sich ergebende Potenzreihe lässt sich zur numerischen Berechnung des Integralsinus nutzen:

Table[
        Sum[(((((-1))^k) (1^(2 k + 1)))/((2 k + 1) (2 k + 1)!)), {k, 1, n}], {n, 1, 10}] // N

In Mathematica ist dies nicht eingebaut:

N[Si[1.0]]

Ein Grenzwert

f = ((Sin[x]^2 Log[1 - (x^2)])/(Exp[(x^3)] Cos[(x^2) - (π/2)]^2))

Limit[f, x -> 0]

Series[f, {x, 0, 3}]

f + O[x]^10

Ein Kehrwert

reihe1 = Series[f = (((E^x) - 1)/x), {x, 0, 10}]

reihe2 = Series[(1/f), {x, 0, 10}]

reihe1*reihe2

Plot[Evaluate[{(1/f), Normal[reihe2]}], {x, -10, 10}]

Der Konvergenzradius ist 2π. Man beachte immer: Außerhalb des Konvergenzbereichs wird die Funktion nicht von ihrer Taylorreihe approximiert!

Berechnung der Koeffizienten des Kehrwerts

reihe2 = (∑_(k = 0)^10) a[k]*(x^k)

produkt = Expand[Normal[reihe1]*reihe2]

liste = Take[CoefficientList[produkt, x], 11]

sol = 
      Solve[liste == {1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, 
        Table[a[k], {k, 0, 10}]]

reihe2 /. sol[[1]]

reihe1*(reihe2 /. sol[[1]])