Mehrdimensionale Funktionen

Eine Folge im (ℝ^2)

a = {{((3  (k^3) - k + 1)/(4  (k^3) + 2  k))}, {(Sqrt[k + 1]) - (Sqrt[k])}}

Limit[a, k -> ∞]

Eine unstetige Funktion von 2 Variablen

f = ((x y)/((x^2) + (y^2)))

Plot3D[f, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]

Plot3D[f, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, 
      PlotPoints -> 100]

Ein Sattelpunkt

Plot3D[(x^2) - (y^2), {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]

Ein Minimum

plot1 = 
      Plot3D[((x^2) + (y^2)), {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]

Eine Tangentialebene

plot2 = Plot3D[0, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]

Show[plot1, plot2, PlotRange -> All]

Eine Stelle ohne Tangentialebene

Plot3D[(Sqrt[(x^2) + (y^2)]), {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, 
      ViewPoint -> {1, 1, 0.4}]

Partielle Ableitungen

f = (x^2) + (y^2)

D[f, x]

D[f, y]

g = x y z

D[g, x]

D[g, y]

D[g, z]

h = x (y^2) (Sqrt[z])

D[h, x]

D[h, y]

D[h, z]

Gradient

Gradient[f_, x_] := Table[D[f, x[[k]]], {k, Length[x]}]

?Gradient

Grad[f_, x_] := Table[D[f, x[[k]]], {k, Length[x]}]

Grad[f, {x, y}] // MatrixForm

Grad[g, {x, y, z}] // MatrixForm

Grad[h, {x, y, z}] // MatrixForm

f = (x^3) (y w  - Sin[x z])

Grad[f, {x, y, z, w}] // MatrixForm

Beispiel 7.6

Clear[g]

f = (∫_y^x) g[t] \[DifferentialD]t

Grad[f, {x, y}]

f = (∫_((x^2))^(x (y^2)))(E^(2 
                 (t^3))) \[DifferentialD]t

Grad[f, {x, y}] // FullSimplify

Richtungsableitung

Clear[Richtungsableitung]
Richtungsableitung[f_, x_, e_] := Grad[f, x] . e

f = Sin[x y]

e = {((Sqrt[2])/2), ((Sqrt[2])/2)}

Richtungsableitung[f, {x, y}, e]

ra = 
      Richtungsableitung[f, {x, y}, e] /. {x -> 1, 
          y -> 2}

ra // Simplify

Höhere Ableitungen

f = (x^3) (y^2)

Grad[f, {x, y}]

zweite partielle Ableitungen

Hesse[f_, x_] := 
      Table[D[D[f, x[[j]]], x[[k]]], {j, Length[x]}, {k, 
          Length[x]}]

Hesse[f, {x, y}]