Differentiation im (ℝ^n)

Partielle Ableitungen

f = (x^2) + (y^2)

Plot3D[f, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]

D[f, x]

D[f, y]

g = x y z

D[g, x]

D[g, y]

D[g, z]

h = x (y^2) (Sqrt[z])

D[h, x]

D[h, y]

D[h, z]

Gradient

Gradient[f_, x_] := Table[D[f, x[[k]]], {k, Length[x]}]

?Gradient

Grad[f_, x_] := 
      Transpose[{Table[D[f, x[[k]]], {k, Length[x]}]}]

Grad[f, {x, y}]

Grad[g, {x, y, z}]

Grad[h, {x, y, z}]

f = (x^3) (y w  - Sin[x z])

Grad[f, {x, y, z, w}]

Beispiel 7.6

Clear[g]

f = (∫_y^x) g[t] \[DifferentialD]t

Grad[f, {x, y}]

f = (∫_((x^2))^(x (y^2)))(E^(2 
                 (t^3))) \[DifferentialD]t

Grad[f, {x, y}] // FullSimplify

Richtungsableitung

Clear[Richtungsableitung]
Richtungsableitung[f_, x_, e_] := Transpose[Grad[f, x]] . e

f = Sin[x y]

e = {{((Sqrt[2])/2)}, {((Sqrt[2])/2)}}

Richtungsableitung[f, {x, y}, e]

ra = 
      Richtungsableitung[f, {x, y}, e] /. {x -> 1, 
          y -> 2}

ra // Simplify

Höhere Ableitungen

f = (x^3) (y^2)

Grad[f, {x, y}]

zweite partielle Ableitungen

Hesse[f_, x_] := 
      Table[D[D[f, x[[j]]], x[[k]]], {j, Length[x]}, {k, 
          Length[x]}]

Hesse[f, {x, y}]

parameterabhängige Integrale

Clear["@"]

F = (∫_x0^y) f[x, t] \[DifferentialD]x

D[F, y]

D[F, t]

konkretes Beispiel 1

f[x_, t_] := Sin[x + t]

F

D[F, y]

f[y, t]

D[F, t]

(∫_x0^y)Derivative[0, 1][f][x, t]\[DifferentialD]x

konkretes Beispiel 2

f[x_, t_] := (E^((1/((x^2) + (t^2)))))

F

D[F, y]

D[F, t]

Unstetig, aber partiell differenzierbar

Clear[F];
F[0, 0] = 0;
F[x_, y_] := ((x y)/((x^2) + (y^2)))

partielle Ableitungen am Ursprung

Limit[((F[h, 0] - F[0, 0])/h), h -> 0]

und parallel zur x-Achse

Limit[((F[h, y] - F[0, y])/h), h -> 0]

sowie

Limit[((F[0, h] - F[0, 0])/h), h -> 0]

Limit[((F[x, h] - F[x, 0])/h), h -> 0]