Grad[f_, x_] := 
      Transpose[{Table[D[f, x[[k]]], {k, Length[x]}]}]

Beispiel 8.2

F[x_, y_] := Cos[x y] + (x^2)

plot1 = Plot3D[F[x, y], {x, -2, 4}, {y, -3, 3}]

Tangentialebene in (1,0)

{x0, y0} = {1, 0}

Transpose[Grad[F[x, y], {x, y}]][[1]]

t = 
      F[x0, y0] + (Transpose[
                  Grad[F[x, y], {x, y}]][[1]] /. {x -> x0, 
                y -> y0}) . {x - x0, y - y0}

plot2 = Plot3D[t, {x, -2, 4}, {y, -3, 3}]

Show[plot1, plot2]

Tangentialebene in (1,1)

{x0, y0} = {1, 1}

t = 
      F[x0, y0] + (Transpose[
                  Grad[F[x, y], {x, y}]][[1]] /. {x -> x0, 
                y -> y0}) . {x - x0, y - y0}

plot2 = Plot3D[t, {x, -2, 4}, {y, -3, 3}]

Show[plot1, plot2]

Jacobimatrix

Jacobimatrix[f_, x_] := 
      Transpose[Table[D[f, x[[j]]], {j, Length[x]}]]

Polarkoordinaten

{r Cos[ϕ], r Sin[ϕ]}

J1 = 
      Jacobimatrix[{r Cos[ϕ], r Sin[ϕ]}, {r, ϕ}]

Det[J1]

Det[J1] // Simplify

Inverse Abbildung der Polarkoordinaten

Solve[{x == r Cos[ϕ], 
        y == r Sin[ϕ]}, {r, ϕ}]

Wir schreiben die Umkehrfunktion um und rechnen

J2 = 
      Jacobimatrix[{(Sqrt[(x^2) + (y^2)]), ArcTan[(y/x)]}, {x, y}] // 
        Simplify

Nach Einsetzen der Polarkoordinaten erhalten wir

J2 /. {x -> r Cos[ϕ], y -> r Sin[ϕ]}

J3 = 
      Simplify[J2 /. {x -> r Cos[ϕ], y -> r Sin[ϕ]}, 
        r > 0]

Kettenregel für die Hintereinanderausführung

J3 . J1 // Simplify