Differentialgleichungen

Differentialgleichung, welche durch direkte Integration gelöst werden können

DE = y'[x ] == (1/(1 + (x^2)))

Wir zeichnen das Richtungsfeld

Needs["Graphics`PlotField`"]

DirectionField[DE_, y_[x_], {x_, a_, b_}, {y_, c_, d_}, options___] := 
      Module[{g}, 
g = 
          DE[[2 ]] /. 
            y[x] -> y; 
PlotVectorField[{1, g}, {x, a, 
            b}, {y, c, d}, options]
]

plot1 = 
      DirectionField[DE, y[x ], {x, -5, 5}, {y, -1, 5}, 
        Frame -> True]

Wir lösen die Differentialgleichung bzw. das zugehörige Anfangswertproblem

DSolve[DE, y [x], x]

lösung = 
      DSolve[{DE, y[0] == 1}, y [x], x]

plot2 = Plot[y[x] /. lösung, {x, -5, 5}]

Show[plot2, plot1, PlotRange -> {-1, 5}]

Die Differentialgleichung des unbegrenzten Wachstums

DE = y'[x ] == y[x]

Wir zeichnen das Richtungsfeld

plot1 = 
      DirectionField[DE, y[x ], {x, -5, 5}, {y, -1, 5}, 
        Frame -> True]

Wir lösen die Differentialgleichung bzw. das zugehörige Anfangswertproblem

DSolve[DE, y [x], x]

lösung = 
      DSolve[{DE, y[0] == 1}, y [x], x]

plot2 = Plot[y[x] /. lösung, {x, -5, 5}]

Show[plot2, plot1, PlotRange -> {-1, 5}]

allgemeineres Problem

lösung = 
      DSolve[{y'[x ] == α y[x], y[0] == P}, y [x], 
        x]

Die Differentialgleichung des unbegrenzten Wachstums

\(DE = \(y'\)[x\ ] == y[x] - y[x]\^2\/5\)

plot1 = 
      DirectionField[DE, y[x ], {x, -5, 5}, {y, -1, 5}, 
        Frame -> True]

DSolve[DE, y [x], x]

lösung = 
      DSolve[{DE, y[0] == 1}, y [x], x]

plot2 = Plot[y[x] /. lösung, {x, -5, 5}]

Show[plot2, plot1, PlotRange -> {-1, 5}]

allgemeineres Problem

lösung = 
      DSolve[{y'[x ] == α y[x] - β y[x]^2, 
          y[0] == P}, y [x], x]