Funktionentheorie

Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen

Beispiel 2.5

Clear[Realteil, Imaginärteil]

    
Realteil[f_] := 
      Simplify[ComplexExpand[Re[f /. z -> x + I y], 
          TargetFunctions -> Conjugate]]

    
Imaginärteil[f_] := 
      Simplify[ComplexExpand[Im[f /. z -> x + I y], 
          TargetFunctions -> Conjugate]]

Realteil[Sin[z]]

Imaginärteil[Sin [z]]

u = Realteil[Log[z]]

v = Imaginärteil[Log[z]]

v = ArcTan[(y/x)]

D[u, x]

D[v, y] // Together

D[u, y]

D[v, x] // Together

ableitung = D[u + I v, x]

Together[ableitung]

Beispiel 2.6

ComplexExpand[Conjugate[x + I y]]

u = Realteil[Conjugate[z]*(E^((z^2)))]

v = 
      Imaginärteil[
        Conjugate[z]*(E^((z^2)))]

D[u, x]

D[v, y] // Together

D[u, x] - D[v, y] // Together

D[u, y]

D[v, x] // Together

D[u, y] + D[v, x] // Together

Beispiel 2.7

u = Realteil[(E^((z^2)))]

v = Imaginärteil[(E^((z^2)))]

D[u, x] // Factor

D[v, y] // Factor

D[u, x] - D[v, y] // Together

D[u, y]

D[v, x]

D[u, y] + D[v, x] // Together

ableitung = D[u + I v, x]

Together[ableitung]

u,v sind harmonisch:

Delta[u_, {x_, y_}] := Together[D[u, {x, 2}] + D[u, {y, 2}]]

u

Delta[u, {x, y}]

v

Delta[v, {x, y}]

Die Joukowski-Funktion

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      PolarMap[\(1\/2\) \((# + 1\/#)\) &, {0.1, 1}, {0, 2  π}, 
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