Homogene lineare Differentialgleichungen

WronskiMatrix[basis_, x_] := 
      Table[D[basis[[k]], {x, j}], {j, 0, Length[basis] - 1}, {k, 
          Length[basis]}]

    
WronskiDeterminante[basis_, x_] := 
      Det[WronskiMatrix[basis, x]]

Übung: Beispiel

Wir betrachten die Differentialgleichung

DE = y''''[x] - y[x] == 0

mit dem charakteristischen Polynom

charpol = 
      DE /. {y[x] -> 
            1, Derivative[n_][y][x] -> (λ^n)}

Das charakteristische Polynom hat die komplexen Lösungen:

lösung = Solve[charpol]

Entsprechend erhalten wir die Lösungsbasis der Differentialgleichung DE:

komplexebasis = 
      Map[Exp[# x] &, λ /. lösung]

reellebasis = 
      Union[ComplexExpand[Re[komplexebasis]], 
        ComplexExpand[Im[komplexebasis]]]

DSolve liefert:

DSolve[DE, y[x], x]

Beispiel 4.3 (b)

Clear[y]

Wir betrachten die Differentialgleichung

DE = y''''[x] + y[x] == 0

mit dem charakteristischen Polynom

charpol = 
      DE /. {y[x] -> 
            1, Derivative[n_][y][x] -> (λ^n)}

Das charakteristische Polynom hat die komplexen Lösungen:

lösung = Solve[charpol]

lösung = 
      MapAll[ComplexExpand, lösung]

Entsprechend erhalten wir die Lösungsbasis der Differentialgleichung DE:

komplexebasis = 
      Map[Exp[# x] &, λ /. lösung]

reellebasis = 
      Union[ComplexExpand[Re[komplexebasis]], 
        ComplexExpand[Im[komplexebasis]]]

DSolve liefert:

DSolve[DE, y[x], x]

Beispiel 4.3 (c)

Clear[y]

Wir betrachten die Differentialgleichung

DE = y''''[x] - 4  y'''[x] + 5  y''[x] - 4  y'[x] + 
          y[x] == 0

mit dem charakteristischen Polynom

charpol = 
      DE /. {y[x] -> 
            1, Derivative[n_][y][x] -> (λ^n)}

Das charakteristische Polynom hat die komplexen Lösungen:

lösung = Solve[charpol]

lösung = 
      MapAll[ComplexExpand, lösung]

Entsprechend erhalten wir die Lösungsbasis der Differentialgleichung DE:

komplexebasis = 
      Map[Exp[# x] &, λ /. lösung]

reellebasis = 
      Union[ComplexExpand[Re[komplexebasis]], 
        ComplexExpand[Im[komplexebasis]]]

DSolve liefert:

DSolve[DE, y[x], x]

Inhomogene lineare Differentialgleichungen

Beispiel 4.6

DE = y''[x] + 4  y'[x] + 4  y[x]

homogene Gleichung

charpol = 
      DE /. {y[x] -> 
            1, Derivative[n_][y][x] -> (λ^n)}

Solve [charpol == 0, λ]

DSolve[DE == 0, y[x], x]

Iterative Methode: Wir lösen (nach Faktorisierung) zuerst eine inhomogene Differentialgleichung erster Ordnung:

lösung = 
      DSolve[u'[x] + 2  u[x] == ((E^(-2 x))/(x^2)), u [x], 
        x]

U[x_] = 
      Evaluate[u[x] /. lösung[[1]] /. 
          C[1] -> 0]

und finden im zweiten Schritt eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung:

DSolve[y'[x] + 2  y[x] == U[x], y[x], x]

Vergleich: DSolve

DSolve[DE == ((E^(-2 x))/(x^2)), y[x], x]

Grundlösung

D[(∫_x0^x) y[x + x0 - t] r[t] \[DifferentialD]t, 
      x]

Dies ergibt im vorliegenden Fall

lösung = 
      DSolve[{DE == 0, y[1] == 0, y'[1] == 1}, y[x], 
        x]

u[x_] = y [x] /. lösung[[1]]

und folglich die spezielle Lösung

(∫_1^x) u[
            x + 1 - t] ((E^(-2 t))/(t^2)) \[DifferentialD]t // 
      Simplify

Beispiel 4.7 und 4.8

DE = y''[x] + y[x]

homogene Gleichung

DSolve[DE == 0, y[x], x]

Grundlösung

lösung = 
      DSolve[{DE == 0, y[0] == 0, y'[0] == 1}, y[x], 
        x]

u[x_] = y [x] /. lösung[[1]]

(∫_0^x) u [x - t] (1/Cos)[t] \[DifferentialD]t

Vergleich mit DSolve

DSolve[DE == (1/Cos)[x], y[x], x]