Funktionentheorie

Reelle Darstellung komplexer Abbildungen

f = (z^2)

ComplexExpand[f, z]

ComplexExpand[Re[f /. z -> x + I y]]

Realteil[f_] := 
      ComplexExpand[
        Re[f /. z -> x + I y]]

    
Imaginärteil[f_] := 
      ComplexExpand[Im[f /. z -> x + I y]]

Realteil[(z^2)]

Imaginärteil[(z^2)]

Realteil[(z^3)]

Imaginärteil[(z^3)]

Realteil[(E^z)]

Imaginärteil[(E^z)]

Realteil[((1 + z)/(1 - z))]

Imaginärteil[((1 + z)/(1 - z))]

Clear[Realteil, Imaginärteil]

    
Realteil[f_] := 
      Simplify[ComplexExpand[Re[f /. z -> x + I y], 
          TargetFunctions -> Conjugate]]

    
Imaginärteil[f_] := 
      Simplify[ComplexExpand[Im[f /. z -> x + I y], 
          TargetFunctions -> Conjugate]]

Realteil[((1 + z)/(1 - z))]

Imaginärteil[((1 + z)/(1 - z))]

Graphische Darstellung komplexer Abbildungen

Needs["Graphics`ComplexMap`"]

CartesianMap[Identity, {-5, 5}, {-5, 5}]

\(CartesianMap[#\^2 &, {\(-5\), 5}, {\(-5\), 5}]\)

\(CartesianMap[\@# &, {\(-2\), 2}, {\(-2\), 2}]\)

\(CartesianMap[#\^3 &, {\(-3\), 3}, {\(-3\), 3}]\)

\(CartesianMap[\@#\%3 &, {\(-2\), 2}, {\(-2\), 2}]\)

CartesianMap[Exp, {-1, 1}, {-2, 2}]

CartesianMap[Sin, {-1, 1}, {-2, 2}]

CartesianMap[((1 + #)/(1 - #)) &, {-1, 1}, {-2, 
        2}]

PolarMap[((1 + #)/(1 - #)) &, {0, 1}, {0, 2  π}]

PolarMap[(Sqrt[((1 + #)/(1 - #))]) &, {0, 1}, {0, 
        2  π}]

PolarMap[Log[((1 + #)/(1 - #))] &, {0, 1}, {0, 2  π}]

\(PolarMap[\(1\/2\) \((# + 1\/#)\) &, {0.1, 1}, {0, 2  π}]\)

\(PolarMap[#\/\((1 - #)\)\^2 &, {0, 1}, {0, 2  π}]\)

\(PolarMap[\(2  #\)\/\((1 - # + \@\(1 + #\^2\))\)\^2 &, {0, 1}, {0, 
        2  π}, PlotRange -> All]\)

Realteil-, Imaginärteil- und Betragsgraphiken

Die Quadratfunktion

Plot3D[
      Evaluate[Re[(z^2) /. z -> x + I y]], {x, -1, 
        1}, {y, -2, 2}]

Plot3D[
      Evaluate[Im[(z^2) /. z -> x + I y]], {x, -1, 
        1}, {y, -2, 2}]

Plot3D[
      Evaluate[Abs[(z^2) /. z -> x + I y]], {x, -1, 
        1}, {y, -2, 2}]

Die Exponentialfunktion

Plot3D[
      Evaluate[Re[(E^z) /. 
            z -> x + I y]], {x, -1, 1}, {y, -2, 
        2}]

Plot3D[
      Evaluate[Im[(E^z) /. 
            z -> x + I y]], {x, -1, 1}, {y, -2, 
        2}]

Plot3D[
      Evaluate[Abs[(E^z) /. 
            z -> x + I y]], {x, -1, 1}, {y, -2, 
        2}]

Differenzierbarkeit komplexer Funktionen

D[(z^n), z]

D[(E^z), z]

D[Conjugate[z], z]

D[Abs[z]^2, z]

D[z*Conjugate[z], z]

D[Arg[z], z]