Übungsklausur 12. Februar 2002

Aufgabe 1 (korrekte Bearbeitung: 36 Prozent)

Ebenengleichungen

(Subscript[E, 1]) = 2  x + 3  y + 4  z == 3

(Subscript[E, 2]) = 4  x + 3  y + 2  z == 1

Schnittgerade

lösung = Solve[{(Subscript[E, 1]), (Subscript[E, 2])}, {x, y, z}]

Parameterdarstellung der Geraden

{{x}, {y}, {z}} == ({{x}, {y}, {z}} /. 
            lösung[[1]] /. {z -> t})

Schnittwinkel

Länge[
        v_] := (Sqrt[(∑_(k = 1)^(Length[v]))v[[k]]^2])

Normalenvektoren

(Subscript[n, 1]) = {2, 3, 4}

(Subscript[n, 2]) = {4, 3, 2}

Kosinus des Winkels

(Subscript[n, 1]) . ((Subscript[n, 2])/(Länge[(Subscript[n, 1])]*Länge[(Subscript[n, 2])]))

Winkel

ArcCos[(Subscript[n, 1]) . ((Subscript[n, 2])/(Länge[(Subscript[n, 1])]*Länge[(Subscript[n, 2])]))]/Degree // 
      N

Aufgabe 2 (korrekte Bearbeitung: 25 Prozent)

Es gibt keine gemeinsame Lösung

Solve[{0 == 20 + 50  t, 0 == 30 + 40  t}, t]

da die erste Kurve zum Zeitpunkt

Solve[0 == 20 + 50  t, t]

und die zweite Kurve zum Zeitpunkt

Solve[0 == 30 + 40  t, t]

den Ursprung trifft.

Aufgabe 3 (korrekte Bearbeitung: 56 Prozent)

Aufgabe 4 (korrekte Bearbeitung: 10 Prozent)

Plot[(Sqrt[3 + 2  x - (x^2)]), {x, -1, 3}, 
      AspectRatio -> Automatic]

Es handelt sich also um einen Halbkreis mit Radius 2.

(∫_(-1)^3)(Sqrt[ 3 + 2  x - 
              (x^2)]) \[DifferentialD]x

Dies erhält man am einfachsten durch quadratische Ergänzung

3 + 2  x - (x^2) ==  -(((x - 1))^2) + 4

3 + 2  x - (x^2) ==  -(((x - 1))^2) + 4 // 
      ExpandAll

Zum Ziel führt also die Substitution y=x-1, welche zum Integral

(∫_(-1)^3)(Sqrt[ 3 + 2  x - 
                (x^2)]) \[DifferentialD]x == (∫_(-2)^2)(Sqrt[ 
                4 - (y^2)]) \[DifferentialD]y

führt

Der schwierige Weg zum Ziel führt über die Stammfunktion

∫(Sqrt[3 + 2  x - (x^2)]) \[DifferentialD]x

Aufgabe 5 (korrekte Bearbeitung: 39 Prozent)

f[x_] := Cos[2  x] + 2  Sin[x]^2

Ableitung

D[f[x], x]

Unter Verwendung der angegebenen Formel ist die Ableitung gleich Null

D[f[x], 
        x] /. {Sin[2 α_] -> 
          2  Sin[α] Cos[α]}

Also ist f konstant:

f[x] == f[0]

Simplify[f[x]]

Aufgabe 6 (korrekte Bearbeitung: 38 Prozent)

Generische Lösung des Gleichungsystems

Solve[{x + 2  y == 3, 4  x + α y == β}, {x, 
        y}]

Offenbar tritt ein Sonderfall ein für α = 8

Solve[{x + 2  y == 3, 
          4  x + α y == β} /. {α -> 8}, {x, 
        y}]

in welchem es keine Lösung gibt. Aber:

Solve[{x + 2  y == 3, 
          4  x + α y == β} /. {α -> 
            8, β -> 12}, {x, y}]

Alle Lösungen erhält man in Mathematica mit

Reduce[{x + 2  y == 3, 4  x + α y == β}, {x, 
        y}]

Aufgabe 7 (korrekte Bearbeitung: 43 Prozent)

Erdradius

R=6378140Meter

Erdumfang = 2*π*R // N

Umfang = Erdumfang + 1 Meter

Radius = (Umfang/(2*π))

Radius - R

Also kommt die Maus wohl durch. Dies bekommt man ohne Kennnis des Erdradius, da wegen

Clear[R]

R == (U/(2*π))

der Umfang proportional zum Radius ist. Nimmt also der Umfang um 1 Meter zu, so der Radius

(1/(2  π))*Meter // N

Dies erhält man auch mit der Rechnung

Erdumfang = 2*π*R

Umfang = Erdumfang + 1 Meter

Radius = (Umfang/(2*π))

Radius - R // Simplify

Radius - R // Simplify // N

Aufgabe 8 (korrekte Bearbeitung: 35 Prozent)

erstes Basiselement

(Subscript[v, 1]) = {1, 2, 3}

Als zweites Basiselement wählen wir irgendeinen Vektor, welcher orthogonal zu (Subscript[v, 1])ist, z.B.

(Subscript[v, 2]) = {-2, 1, 0}

Test:

(Subscript[v, 1]) . (Subscript[v, 2])

Schließlich berechnen wir das dritte Basiselement mit dem Vektorprodukt

(Subscript[v, 3]) = Cross[(Subscript[v, 1]), (Subscript[v, 2])]

Aufgabe 9 (korrekte Bearbeitung: 25 Prozent)

Ergebnis

(∫_0^∞) 
        x Exp[-(x^2)] \[DifferentialD]x

Stammfunktion

∫x Exp[-(x^2)] \[DifferentialD]x

erhält man mit der Substitution y = (x^2)

(∫_0^∞) 
          x Exp[-(x^2)] \[DifferentialD]x == (∫_0^∞) Exp[-y]/2 \[DifferentialD]y

Aufgabe 10 (korrekte Bearbeitung: 32 Prozent)

f = (((1 + (x/n)))^n)

Ableitung

D[f, x]

Also

f == D[f, x]*(1 + (x/n))

Für n->∞ ist also y'[x]==y[x] mit der Lösung

DSolve[y'[x] == y[x], y[x], x]

DSolve[ {y'[x] == y[x], y[0] == 1}, y[x], 
      x]