Analysis

A30

(∫_0^∞)(∫_0^∞) (E^(-((x^2) + 
                    (y^2)))) \[DifferentialD]x \[DifferentialD]y

(∫_0^∞) (E^(-(x^2))) \[DifferentialD]x

Berechnung des zweidimensionalen Integrals mit Polarkoordinaten

jacobi = {{D[r Cos[ϕ], r], 
          D[r Cos[ϕ], ϕ]}, {D[r Sin[ϕ], r], 
          D[r Sin[ϕ], ϕ]}}

det = Det[jacobi] // Simplify

(∫_0^((π/2)))(∫_0^∞) 
          det (E^(-(r^2))) \[DifferentialD]r \[DifferentialD]ϕ

A 31

f[x_] := (∫_1^2) Cos[
                x t]/t \[DifferentialD]t

f[x]

Plot[f[x], {x, 1, 2}]

D[f[x], x]

Solve[D[f[x], x] == 0, x]

N[%]

Die Extremalstellen liegen also auf dem Rand: Maximum

N[f[1]]

Minimum

N[f[2]]

Funktion über größerem Intervall

Plot[f[x], {x, 1, 3}]

A 32

K1 = {t, (t^2)}; K2 = {(t^2), (t^3)}; K3 = {(t^2), (t^4)};

plot1 = 
      ParametricPlot[K1, {t, 0, 1}, 
        PlotStyle ->  RGBColor[1, 0, 0]]

plot2 = 
      ParametricPlot[K2, {t, 0, 1}, 
        PlotStyle ->  RGBColor[0, 1, 0]]

plot3 = 
      ParametricPlot[K3, {t, -1, 1}, 
        PlotStyle ->  RGBColor[0, 0, 1], 
        PlotRange -> All]

Show[plot1, plot2, plot3]

Tangentialvektoren zum Zeitpunkt t

tangente = Transpose[Map[D[#, t] &, {K1, K2, K3}]]

Tangentialvektoren zum Zeitpunkt t=1

tangente /. t -> 1

Lineare Algebra

L28

A = (1/2) {{-2, 0, 0}, {-5, 3, 1}, {-1, 1, 
            3}}

Charakteristisches Polynom

charpol = CharacteristicPolynomial[A, λ]

Eigenwerte und Eigenvektoren

sys = Eigensystem[A]

Die Eigenwerte liefern die diagonalisierte Matrix

diag = 
      Table[If[j == k, sys[[1, k]], 0], {j, 3}, {k, 3}]

und die Eigenvektoren liefern die Transformationsmatrix

B = Transpose[sys[[2]]]

Inverse[B]

Inverse[B] . A . B

Kontrollrechnung

B . diag . Inverse[B] - A

L29

G = 3  (x^2) - 2  x y + 3  (y^2) - 4

Needs["Graphics`ImplicitPlot`"]

plot1 = 
      ImplicitPlot[G == 0, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]

Unprotect[C, D, E]

KoeffizientenZuweisung := 
      Module[{}, 
A = 
          Coefficient[G, x, 2]; 
B = 
          Coefficient[Coefficient[G, x], y]; 
C = 
          Coefficient[G, y, 2]; 
D = 
          Coefficient[Coefficient[G, x], y, 0]; 
E = 
          Coefficient[Coefficient[G, y], x, 0]; 
F = 
          Coefficient[Coefficient[G, x, 0], y, 
            0];
]

KoeffizientenZuweisung

{A, B, C, D, E, F}

(B^2) - 4  A C

Typus := 
      Module[{}, 
KoeffizientenZuweisung[
          G, {x, y}]; 
If[
          (B^2) - 4  A C < 0, "Ellipse", 
          If[(B^2) - 4  A C > 
              0, "Hyperbel", "Parabel"]]
]

Typus

Drehwinkel = 
      If[A == C, (π/4), (1/2) ArcTan[(B/(A - C))]]

v = drehung[-Drehwinkel] . {{x}, {y}}

H = 
      G /. {x -> v[[1, 1]], y ->  v[[2, 1]]} // 
        Expand

plot2 = 
      ImplicitPlot[H == 0, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, 
        PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0]]

Show[plot1, plot2]

(a)

G = x y - 4

Typus

ImplicitPlot[G == 0, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]

(b)

G = (x^2) - 2  x y + (y^2) + 2  x - y + 10

Typus

ImplicitPlot[
      G == 0, {x, -50, 50}, {y, -50, 50}]

(c)

G = (x^2) + x y + (y^2) + x + y

Typus

ImplicitPlot[G == 0, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]

(d)

G = 16  (x^2) - 24  x y + 9  (y^2) - 60  x - 80  y

Typus

ImplicitPlot[G == 0, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]