Analysis

A36

erstes Integral: Zylinder

det = r

int1 = (∫_0^1)(∫_0^(2  π))(∫_0^1)((r^2) + (z^2)) 
              det \[DifferentialD]r \[DifferentialD]ϕ \[DifferentialD]z

zweites Integral: Kugel, allerdings verschoben: r ist der Abstand vom Punkt (0,0,1)

det = (r^2) Sin[θ]

Simplify[1 + (r^2) - 2  r Cos[π - θ]]

Simplify[((x^2) + (y^2) + (z^2) /. {z -> z + 1}) /. {x -> 
            r Cos[ϕ] Sin[θ] , 
          y -> r Sin[ϕ] Sin[θ], 
          z -> r Cos[θ]}]

int2 = (∫_0^(π/2))(∫_0^(2  π))(∫_0^1)(1 + (r^2) + 2  r Cos[θ]) 
              det \[DifferentialD]r \[DifferentialD]ϕ \[DifferentialD]θ

Simplify[int1 + int2]

A 37

Grad[f_, x_] := Table[D[f, x[[k]]], {k, Length[x]}]

koordinaten = 
      r {Sin[θ1] Sin[θ2] Sin[ϕ], 
          Sin[θ1] Sin[θ2] Cos[ϕ], 
          Sin[θ1] Cos[θ2], Cos[θ1]}

jacobi = 
      Grad[koordinaten, {r, ϕ, θ1, θ2}]

det = Det[jacobi] // Simplify

(∫_0^π)(∫_0^π)(∫_0^(2  π))(∫_0^1) 
              det \[DifferentialD]r \[DifferentialD]ϕ \[DifferentialD]θ1 \[DifferentialD]θ2

Lineare Algebra

L32

Transpose[A . B] - Transpose[B] . Transpose[A] // 
      FullSimplify

Inverse[A . B] - Inverse[B] . Inverse[A] // FullSimplify

L33

A = {{2, -1, 0}, {1, 0, 0}, {0, 0, 4}}

charpol = CharacteristicPolynomial[A, λ]

Factor[charpol]

Mathematica kann die Jordanzerlegung berechnen:

jordan = JordanDecomposition[A]

Diese enthält die Transformationsmatrix

B = jordan[[1]]

und die Jordanmatrix

diag = jordan[[2]]

Test:

Inverse[B] . A . B

Wir erhält man diese? Wir berechnen zuerst die Eigenvektoren von A:

sys = Eigensystem[A]

erste Spalte von B:

B1 = sys[[2, 1]]

dritte Spalte von B:

B3 = sys[[2, 3]]

zweite Spalte von B:

B2 = LinearSolve[A - sys[[1, 1]]*IdentityMatrix[3], B1]

Wir setzen B zusammen:

B = Transpose[Join[{B1}, {B2}, {B3}]]

Test:

Inverse[B] . A . B