Analysis

A20

f = (1/(Sqrt[(x^2) + (y^2) + (z^2)]))

D[f, {x, 2}]

delta = D[f, {x, 2}] + D[f, {y, 2}] + D[f, {z, 2}]

Simplify[delta]

A21

f = x y (1 - x) (1 - y)

Plot3D[f, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}]

Grad[f_, x_] := Table[D[f, x[[k]]], {k, Length[x]}]

ableitung = Grad[f, {x, y}] // Simplify

stationär = Solve[ableitung == 0, {x, y}]

f /. stationär

A22

f = (x^2) + (y^2)

g = 2  (x^2) + 3  (y^2) + 2  x y  - 4

Needs["Graphics`ImplicitPlot`"]

plot1 = 
      ImplicitPlot[g == 0, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]

L = f + λ g

ableitung = Grad[L, {x, y, λ}]

stationär = 
      Solve[ableitung == 0, {x, y, λ}]

f /. stationär

N[%]

plot2 = 
      Table[Graphics[{RGBColor[1, 0, 0], 
            Line[{{0, 0}, {x, y}} /. stationär[[k]]]}], {k, 
          4}]

Show[plot1, plot2]

A23

f = (1/(x y + 1))

Plot3D[f, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, 
      PlotPoints -> 100]

erste Ableitungen

ableitung = Grad[f, {x, y}]

Länge[
        a_] := (Sqrt[(∑_(k = 1)^(Length[a]))a[[k, 1]]^2])

Richtung des stärksten Anstiegs

richtung = 
      ableitung/Länge[ableitung] /. {x -> 2, 
          y -> 3}

Richtung des stärksten Gefälles

-richtung

Richtung, in welche kein Anstieg erfolgt: senkrecht zu richtung

{richtung[[2]], -richtung[[1]]}

Lineare Algebra

L20

B = X . A . Inverse[X]

w = X . v

B . w

B . w // Simplify

L21

Unprotect[C, D];
A = {{0, 0}, {0, 0}};
B = {{0, 1}, {0, 0}};
C = {{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 7}};
D = {{0, 1, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 7}};

Eigensystem[A]

Eigensystem[B]

Eigensystem[C]

Eigensystem[D]

L22

A = {{1, 0, 2}, {0, 1, 2}, {1, -1, 0}}

charpol = CharacteristicPolynomial[A, λ]

-MatrixPower[A, 3] + 2  MatrixPower[A, 2] - A