Aufgabe 45

(a)

sol = 
      Solve[(1/2) Log[x + 1] + 1 == Log[(Sqrt[x + 3])], x]

N[sol]

Plot[{(1/2) Log[x + 1] + 1, Log[(Sqrt[x + 3])]}, {x, -1, 1}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 1]}]

(b)

Solve[(E^(2  x)) + (E^x) - 6 == 0, 
      x]

Plot[(E^(2  x)) + (E^x) - 6, {x, -1, 
        1}]

Aufgabe 46

sol = Solve[(u^(x - 2)) == (v^(x + 3)), x]

sol /. {u -> 100, v -> 10} // Simplify

sol /. {u -> 100, v -> 10} // FullSimplify

Aufgabe 47

(a)

plot1 = 
      Plot[Log[3  x + 5] + 2, {x, -(5/3), 3}, 
        PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0]]

sol = Solve[y == Log[3  x + 5] + 2, x]

plot2 = 
      Plot[x /. sol, {y, -3, 3}, 
        PlotStyle -> RGBColor[0, 0, 1]]

Show[plot1, plot2, AspectRatio -> Automatic, 
      PlotRange -> {-3, 3}]

(b)

plot1 = 
      Plot[Sinh[x], {x, -2, 2}, AspectRatio -> Automatic, 
        PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0]]

sol = 
      Solve[y == (((E^x) - (E^(-x)))/2), 
        x]

plot2 = 
      Plot[x /. sol[[2]], {y, -3, 3}, 
        PlotStyle -> RGBColor[0, 0, 1]]

Show[plot1, plot2, AspectRatio -> Automatic]

Aufgabe 48

P = {2, 1}

drehung[
        x_, ϕ_] := {Cos[ϕ]*x[[1]] + 
          Sin[ϕ]*x[[2]], -Sin[ϕ]*x[[1]] + 
          Cos[ϕ]*x[[2]]}

Q = drehung[P, (π/3)]

N[Q]

kreuz = Plot[{}, {x, 0, 2}]

Show[kreuz, Graphics[Line[{P, {0, 0}, Q}]], 
      PlotRange -> {{0, 2}, {-1.5, 1}}, 
      AspectRatio -> Automatic]

Wir testen, dass P und Q gleich lang sind:

Länge[v_] := 
      Sqrt[(∑_(k = 1)^(Length[v]))v[[k]]^2]

Länge[P]

Länge[Q]

Simplify[%]

und einen Winkel von 60° einschließen:

P . (Q/(Länge[P] Länge[Q]))

P . (Q/(Länge[P] Länge[Q])) // 
      Simplify

winkel = 
      ArcCos[P . (Q/(Länge[P] Länge[Q])) // 
          Simplify]

res = drehung[drehung[{x, y}, ϕ], ψ]

Simplify[res]

M = {{Cos[ϕ], Sin[ϕ]}, {-Sin[ϕ], 
          Cos[ϕ]}}

M2 = (M /. {ϕ -> ψ})

M . M2 // TrigReduce

MatrixPower[M, 5] // TrigReduce

Aufgabe 49

Länge[
        v_] := (Sqrt[v[[1]]^2 + v[[2]]^2 + v[[3]]^2])

gleichung1 = x + y + z == 0

Wähle einen Vektor

Solve[gleichung1 /. {x -> 1, y -> 0}, z]

und normiert:

v1 = {1, 0, -1}/Länge[{1, 0, -1}]

Wir suchen einen senkrechten Vektor

gleichung2 = v1 . {x, y, z} == 0

Solve[{gleichung1, gleichung2}, {x, y, z}]

v2 = {1, -2, 1}/Länge[{1, -2, 1}]

Aufgabe 50

QR = D[u[x]/v[x], x]

Together[QR]

res = D[((3  x - 2)/((x^2) + 3  x - 1)), x]

Together[res]