Aufgabe 51

n = {(1/2), (1/2), ((Sqrt[2])/2)}

n . {x, y, z} - n . n == 0

n = {x0, y0, z0}

hesse = n . {x, y, z} - n . n == 0

hesse /. (x0^2) -> 1 - ((y0^2) + (z0^2))

Aufgabe 52

SkalarProdukt[f_, g_, x_] := Sum[f*g, {x, 0, 2}]

f0 = 1

f1 = Sum[a[k]*(x^k), {k, 0, 1}] /. a[1] -> 1

SkalarProdukt[f0, f1, x]

sol = Solve[SkalarProdukt[f0, f1, x] == 0, a[0]]

f1 = f1 /. sol[[1]]

f2 = Sum[a[k]*(x^k), {k, 0, 2}] /. a[2] -> 1

SkalarProdukt[f0, f2, x]

SkalarProdukt[f1, f2, x]

sol = 
      Solve[{SkalarProdukt[f0, f2, x], SkalarProdukt[f1, f2, x]} == 0, 
        Table[a[k], {k, 0, 1}]]

f2 = f2 /. sol[[1]]

Clear[GramSchmidt]
GramSchmidt[liste_, x_] := 
      Module[{a, b, k, e, 
          j}, 
Do[
a[k] = 
            liste[[k]]; 
b[k] = 
            a[k] - (∑_(j = 1)^(k - 1))SkalarProdukt[a[k], e[j], x]*
                  e[j]; e[k] = 
            b[k]/(Sqrt[SkalarProdukt])[b[k], b[k], x]
, {k, 1, 
            Length[liste]}]; 
Table[
          e[k], {k, 1, Length[liste]}]
]

GramSchmidt[{1, x, (x^2)}, x]

GramSchmidt[{1, x, (x^2)}, x] // Simplify

Clear[GramSchmidt]
GramSchmidt[liste_, x_] := 
      Module[{a, b, k, 
          j}, 
Do[
a[k] = 
            liste[[k]]; 
b[k] = 
            a[k] - (∑_(j = 1)^(k - 1))((SkalarProdukt[a[k], b[j], x]*b[j])/SkalarProdukt)[b[j], b[j], x]
, {k, 1, 
            Length[liste]}]; 
Table[
          Expand[b[k]], {k, 1, 
            Length[liste]}]
]

GramSchmidt[{1, x, (x^2)}, x]

SkalarProdukt[f_, g_, x_] := Sum[f*g, {x, 0, 5}]

GramSchmidt[Table[(x^k), {k, 0, 5}], x]

Aufgabe 53

res = D[u[x]^v[x], x]

{D[(a^x), x], res /. {u[x] -> a, v[x] -> x}}

{D[(a^x), x], 
      res /. {u -> (a &), v -> (# &)}}

{D[(x^a), x], 
      res /. {u -> (# &), v -> (a &)}}

Aufgabe 54

f = (x^x)

Grenzwert

Limit[f, x -> 0]

Ableitung

D[f, x]

Nullstellen der Ableitung: notwendige Bedingung für Extremum

sol = Solve[D[f, x] == 0, x]

Zweite Ableitung: hinreichende Bedingung für Minimum

zweiteableitung = D[f, {x, 2}] /. sol[[1]]

N[zweiteableitung]

also Minimum

wert = f /. sol[[1]]

Punkt des Graphen

wert // N

Plot[f, {x, 0, 2}]

Aufgabe 55

f = ((x^2) - 3  x + 2)*(E^(-x))

Plot[f, {x, 0, 6}]

Nullstellen

Solve[f == 0, x]

Nullstellen der Ableitung: mögliche Extrema

Solve[D[f, x] == 0, x]

N[%]

f /. %

Nullstellen der zweiten Ableitung: mögliche Wendepunkte

Solve[D[f, {x, 2}] == 0, x]

Limit[f, x -> ∞]

Aufgabe 56

Plot[Sin[(Sqrt[1 - (x^2)])], {x, -1, 1}]

D[Sin[(Sqrt[1 - (x^2)])], x]