Lineare Algebra: Lineare Gleichungssysteme

Parameterdarstellung einer Geraden

G = {(Subscript[x, 1]), 
          (Subscript[x, 2])} == {(Subscript[u, 1]), 
            (Subscript[u, 2])} + λ {(Subscript[w, 1]), (Subscript[w, 2])}

H = Eliminate[G, λ]

Lösung eines Gleichungssystems mit Parametern

G = {(Subscript[x, 1]) - (Subscript[x, 2]) == 1, 2  (Subscript[x, 1]) - 2  (Subscript[x, 2]) == b}

Solve[G, {(Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2])}]

Reduce[G, {(Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2])}]

Lösung eines Gleichungssystems: Schnitt dreier Geraden in (ℝ^2)

G = {(Subscript[x, 1]) - (Subscript[x, 2]) == 1, (Subscript[x, 1]) + 3  (Subscript[x, 2]) == 9, 
        (Subscript[x, 1]) + (Subscript[x, 2]) == 2}

Solve[G, {(Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2])}]

Reduce[G, {(Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2])}]

Schnitt zweier Ebenen in (ℝ^3)

G = {(Subscript[x, 1]) + (Subscript[x, 2]) + (Subscript[x, 3]) == -6, 
        (Subscript[x, 1]) + 2  (Subscript[x, 2]) + 3  (Subscript[x, 3]) == -10}

Solve[G, {(Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2]), (Subscript[x, 3])}]

Reduce[G, {(Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2]), (Subscript[x, 3])}]

Schnitt dreier Ebenen in (ℝ^3)

G = {(Subscript[x, 1]) + (Subscript[x, 2]) + (Subscript[x, 3]) == -6, 
        (Subscript[x, 1]) + 2  (Subscript[x, 2]) + 3  (Subscript[x, 3]) == -10, 
        2  (Subscript[x, 1]) + 3  (Subscript[x, 2]) + 6  (Subscript[x, 3]) == -18}

Solve[G, {(Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2]), (Subscript[x, 3])}]

Reduce[G, {(Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2]), (Subscript[x, 3])}]

Lösung eines inhomogenen linearen Gleichungssystems

G = {(Subscript[x, 2]) + 2  (Subscript[x, 3]) + 3  (Subscript[x, 4]) == 1, 
        (Subscript[x, 1]) + 2  (Subscript[x, 2]) + 3  (Subscript[x, 3]) + 4  (Subscript[x, 4]) == 1, 
        2  (Subscript[x, 1]) + 3  (Subscript[x, 2]) + 4  (Subscript[x, 3]) + 5  (Subscript[x, 4]) == 1, 
        3  (Subscript[x, 1]) + 4  (Subscript[x, 2]) + 5  (Subscript[x, 3]) + 6  (Subscript[x, 4]) == 1}

Solve[G, {(Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2]), (Subscript[x, 3]), (Subscript[x, 4])}]

Reduce[G, {(Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2]), (Subscript[x, 3]), (Subscript[x, 4])}]

A = {{0, 1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5}, {3, 4, 5, 6}}

RowReduce[A]

b = {1, 1, 1, 1}

LinearSolve[A, b]

NullSpace[A]

{μ, λ} . NullSpace[A] + LinearSolve[A, b]

Solve[G, {(Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2]), (Subscript[x, 3]), (Subscript[x, 4])}]

Umformung des linearen Gleichungssystems nach Gauß

Clear[Vertauschung ]
Vertauschung[A_, j_, k_] := 
      Module[{Aj, Ak, B}, 
Aj = 
          A[[j]]; 
Ak = 
          A[[k]]; 
B = 
          ReplacePart[A, Ak, j]; 
B = 
          ReplacePart[B, Aj, k]]

Clear[Umformung ]
Umformung[A_, j_, λ_, k_, μ_] := 
      ReplacePart[A, λ A[[j]] + μ A[[k ]], 
        k]

A = Vertauschung[A, 1, 2]

A = Umformung[A, 1, 2, 3, -1]

A = Umformung[A, 1, 3, 4, -1]

A = Umformung[A, 2, 1, 3, -1]

A = Umformung[A, 2, 2, 4, -1]

A = Umformung[A, 2, 2, 1, -1]

RowReduce[A]