Lineare Algebra: Matrizen

Multiplikation von Matrizen

A = {{1, 2, -1, 1}, {0, 1, 2, -2}, {2, -1, 
          0, -3}}

B = {{1, -2}, {0, -1}, {1, 1}, {1, 0}}

A . B

Nichtkommutativität des Matrizenprodukts

A = {{1, 0}, {0, 0}}

B = {{0, 1}, {0, 0}}

A . B

B . A

Potenzen

A = {{1, 2}, {3, 4}}

A . A

MatrixPower[A, 2]

Table[{MatrixPower[A, n]}, {n, 10}] // MatrixForm

Geometrische Deutung linearer Abbildungen

haus = {{1, 0}, {3, 0}, {3, 3}, {2, 4}, {1, 3}, {1, 0}}

achsenkreuz = Plot[{}, {x, -5, 5}]

Show[achsenkreuz, Graphics[Line[haus]], 
      PlotRange -> {{-5, 5}, {-4, 4}}, 
      AspectRatio -> Automatic]

A = {{1, -1}, {2, 1}}

haus2 = Map[A . # &, haus]

Show[achsenkreuz, Graphics[Line[haus]], Graphics[Line[haus2]], 
      PlotRange -> {{-10, 10}, {-10, 10}}, 
      AspectRatio -> Automatic]

Drehungen

T[ϕ_] := {{Cos[ϕ], -Sin[ϕ]}, {Sin[ϕ], 
          Cos[ϕ]}}

T[ϕ] . T[ψ]

T[ϕ] . T[ψ] // TrigReduce

P = MatrixPower[T[ϕ], 100]

TrigReduce[P]

haus3 = Map[T[(π/2)] . # &, haus]

Show[achsenkreuz, Graphics[Line[haus]], Graphics[Line[haus3]], 
      PlotRange -> {{-5, 5}, {-5, 5}}, 
      AspectRatio -> Automatic]

haus4 = Map[T[(π/3)] . # &, haus]

Show[achsenkreuz, Graphics[Line[haus]], Graphics[Line[haus4]], 
      PlotRange -> {{-5, 5}, {-5, 5}}, 
      AspectRatio -> Automatic]

Inverse Matrix

A=(({{1, 2, 2, 5}, {0, -2, 1, 0}, {0, 3, -5, -5}, {-4, 1, 3, 2}}))

Inverse[A]

Berechnung der inversen Matrix

erweiterteMatrix = 
      Transpose[Join[Transpose[A], IdentityMatrix[4]]]

RowReduce[erweiterteMatrix]

Eine 3x3-Matrix zum Invertieren

While[Not[Det[A] == 1], 
      A = Table[Random[Integer, {-5, 5}], {3}, {3}]]

A