Positiv definite symmetrische Matrizen

A = {{1, 2, 3, 4}, {2, 5, 6, 7}, {3, 6, 8, 9}, {4, 7, 9, 
          10}}

Eigenvalues[A]

P = CharacteristicPolynomial[A, t]

Solve[P == 0, t]

NSolve[P == 0, t]

Konstruktion einer positiv semi-definiten Matrix

q = (((2  (Subscript[x, 1]) + 3  (Subscript[x, 2]) - 5  (Subscript[x, 3]) + (Subscript[x, 4])))^2) + ((((Subscript[x, 1]) - 2  (Subscript[x, 2]) + 4  (Subscript[x, 3]) - 2  (Subscript[x, 4])))^2)

Expand[q]

A = {{5, 4, -6, 0}, {4, 13, -23, 7}, {-6, -23, 
          41, -13}, {0, 7, -13, 5}}

Eigenvalues[A]

P = CharacteristicPolynomial[A, t]

Solve[P == 0, t]

NSolve[P == 0, t]

Konstruktion einer positiv semi-definiten Matrix

q = (((2  (Subscript[x, 1]) + 3  (Subscript[x, 2]) - 5  (Subscript[x, 3]) + (Subscript[x, 4])))^2) + ((((Subscript[x, 1]) - 2  (Subscript[x, 2]) + 4  (Subscript[x, 3]) - 2  (Subscript[x, 4])))^2) + (((-(Subscript[x, 1]) + (Subscript[x, 2]) - 3  (Subscript[x, 4])))^2)

Expand[q]

A = {{6, 3, -6, 3}, {3, 14, -23, 4}, {-6, -23, 
          41, -13}, {3, 4, -13, 14}}

Eigenvalues[A]

P = CharacteristicPolynomial[A, t]

Solve[P == 0, t]

NSolve[P == 0, t]

Konstruktion einer positiv definiten Matrix

q = (((2  (Subscript[x, 1]) + 3  (Subscript[x, 2]) - 5  (Subscript[x, 3]) + (Subscript[x, 4])))^2) + ((((Subscript[x, 1]) - 2  (Subscript[x, 2]) + 4  (Subscript[x, 3]) - 2  (Subscript[x, 4])))^2) + (((-(Subscript[x, 1]) + (Subscript[x, 2]) - 3  (Subscript[x, 4])))^2) + (((3  (Subscript[x, 1]) + 2  (Subscript[x, 2]) - 5  (Subscript[x, 3])))^2)

Expand[q]

A = {{15, 9, -21, 3}, {9, 18, -33, 4}, {-21, -33, 
          66, -13}, {3, 4, -13, 14}}

Eigenvalues[A]

P = CharacteristicPolynomial[A, t]

Solve[P == 0, t]

NSolve[P == 0, t]

2. Kriterium

A = {{1, 2, 3, 4}, {2, 5, 6, 7}, {3, 6, 8, 9}, {4, 7, 9, 
          10}}

P = CharacteristicPolynomial[A, t]

An der Vorzeichenfolge des charakteristischen Polynoms kann man direkt ablesen, dass A nicht positiv definit ist.

A = {{15, 9, -21, 3}, {9, 18, -33, 4}, {-21, -33, 
          66, -13}, {3, 4, -13, 14}}

P = CharacteristicPolynomial[A, t]

An der Vorzeichenfolge des charakteristischen Polynoms kann man nun direkt ablesen, dass A positiv definit ist.