Symmetrische Umformung von Matrizen

Beispiel (a)

(Subscript[A, 1]) = Array[a, {3, 3}]

(Subscript[C, 1]) = {{1, -1, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}

(Subscript[A, 1]) . (Subscript[C, 1])

Transpose[(Subscript[C, 1])] . (Subscript[A, 1])

Beispiel (b)

(Subscript[A, 1]) = {{0, (1/2)}, {(1/2), 0}}

(Subscript[E, 1]) = IdentityMatrix[2]

(Subscript[C, 1]) = {{1, 1}, {1, 0}}

(Subscript[A, 1]) . (Subscript[C, 1])

Transpose[(Subscript[C, 1])] . (Subscript[A, 1])

(Subscript[A, 2]) = Transpose[(Subscript[C, 1])] . (Subscript[A, 1]) . (Subscript[C, 1])

(Subscript[E, 2]) = (Subscript[E, 1]) . (Subscript[C, 1])

(Subscript[C, 2]) = {{1, -(1/2)}, {0, 1}}

(Subscript[A, 3]) = Transpose[(Subscript[C, 2])] . (Subscript[A, 2]) . (Subscript[C, 2])

(Subscript[E, 3]) = (Subscript[E, 2]) . (Subscript[C, 2])

(Subscript[C, 3]) = {{1, 0}, {0, 2}}

(Subscript[A, 4]) = Transpose[(Subscript[C, 3])] . (Subscript[A, 3]) . (Subscript[C, 3])

(Subscript[E, 4]) = (Subscript[E, 3]) . (Subscript[C, 3])

Test

Transpose[(Subscript[E, 4])] . (Subscript[A, 1]) . (Subscript[E, 4])

Beispiel (b)

(Subscript[A, 1]) = {{a, b}, {b, c}}

(Subscript[E, 1]) = IdentityMatrix[2]

(Subscript[C, 1]) = {{1, -(b/a)}, {0, 1}}

(Subscript[A, 1]) . (Subscript[C, 1])

Transpose[(Subscript[C, 1])] . (Subscript[A, 1])

(Subscript[A, 2]) = Transpose[(Subscript[C, 1])] . (Subscript[A, 1]) . (Subscript[C, 1])

(Subscript[E, 2]) = (Subscript[E, 1]) . (Subscript[C, 1])

(Subscript[C, 2]) = {{(1/(Sqrt[a])), 0}, {0, (1/(Sqrt[c - ((b^2)/a)]))}}

(Subscript[A, 3]) = Transpose[(Subscript[C, 2])] . (Subscript[A, 2]) . (Subscript[C, 2])

(Subscript[E, 3]) = (Subscript[E, 2]) . (Subscript[C, 2])

Test

Transpose[(Subscript[E, 3])] . (Subscript[A, 1]) . (Subscript[E, 3])

Simplify[%]

Beispiel (c)

(Subscript[A, 1]) = {{1, 2, 3}, {2, 4, 5}, {3, 5, 6}}

Eigensystem[(Subscript[A, 1])]

N[Eigensystem[(Subscript[A, 1])]]

(Subscript[E, 1]) = IdentityMatrix[3]

(Subscript[C, 1]) = {{1, -2, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}

(Subscript[A, 1]) . (Subscript[C, 1])

Transpose[(Subscript[C, 1])] . (Subscript[A, 1])

(Subscript[A, 2]) = Transpose[(Subscript[C, 1])] . (Subscript[A, 1]) . (Subscript[C, 1])

(Subscript[E, 2]) = (Subscript[E, 1]) . (Subscript[C, 1])

(Subscript[C, 2]) = {{1, 0, -3}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}

(Subscript[A, 3]) = Transpose[(Subscript[C, 2])] . (Subscript[A, 2]) . (Subscript[C, 2])

(Subscript[E, 3]) = (Subscript[E, 2]) . (Subscript[C, 2])

(Subscript[C, 3]) = {{1, 0, 0}, {0, 0, 1}, {0, 1, 0}}

(Subscript[A, 4]) = Transpose[(Subscript[C, 3])] . (Subscript[A, 3]) . (Subscript[C, 3])

(Subscript[E, 4]) = (Subscript[E, 3]) . (Subscript[C, 3])

(Subscript[C, 4]) = {{1, 0, 0}, {0, 1, -(1/3)}, {0, 0, 1}}

(Subscript[A, 5]) = Transpose[(Subscript[C, 4])] . (Subscript[A, 4]) . (Subscript[C, 4])

(Subscript[E, 5]) = (Subscript[E, 4]) . (Subscript[C, 4])

(Subscript[C, 5]) = {{1, 0, 0}, {0, (1/(Sqrt[3])), 0}, {0, 0, (Sqrt[3])}}

(Subscript[A, 6]) = Transpose[(Subscript[C, 5])] . (Subscript[A, 5]) . (Subscript[C, 5])

(Subscript[E, 6]) = (Subscript[E, 5]) . (Subscript[C, 5])

Test

Transpose[(Subscript[E, 6])] . (Subscript[A, 1]) . (Subscript[E, 6]) // Simplify

Hauptminoren-Kriterium

Clear[HauptMinor, 
        PositivDefinit];

HauptMinor[A_, k_] := 
      Table[A[[i, j]], {i, k}, {j, 
          k}]

PositivDefinit[A_] := 
      Module[{}, 
minoren = 
          Table[Det[HauptMinor[A, k]], {k, 
              Length[A]}]; 
Union[
            Sign[minoren]] === {1}
]

A = {{1, 2, 3, 4}, {2, 5, 6, 7}, {3, 6, 8, 9}, {4, 7, 9, 
          10}}

HauptMinor[A, 3]

PositivDefinit[A]

minoren

A = {{15, 9, -21, 3}, {9, 18, -33, 4}, {-21, -33, 
          66, -13}, {3, 4, -13, 14}}

PositivDefinit[A]

minoren