Vektorprodukt

Cross[x,y] steht senkrecht auf x und auf y:

Cross [x, y] . x

X = Array[x, 3 ]

Y = Array[y, 3 ]

Cross[X, Y]

Cross[X, Y] . X

Cross[X, Y] . X // Expand

Cross[X, Y] . Y // Expand

Fundamentale Gleichung zwischen Vektorprodukt und Skalarprodukt: Satz 5.2.2

Norm[Cross[X, Y]]^2

Abstand[x_, y_] := (Sqrt[(y - x) . (y - x)])

LHS = Abstand[Cross[X, Y], 0]^2

RHS = Abstand[X, 0]^2*Abstand[Y, 0]^2 - (((X . Y))^2)

Expand[LHS - RHS]

Spatprodukt

Spatprodukt[x_, y_, z_] := Cross[x, y] . z

X = Array[x, 3 ]

Y = Array[y, 3 ]

Z = Array[z, 3 ]

Determinantenbeziehung

Join[{X}, {Y}, {Z}]

Spatprodukt[X, Y, Z] - Det[Join[{X}, {Y}, {Z}]]

Spatprodukt[X, Y, Z] - Det[Join[{X}, {Y}, {Z}]] // Expand

Beispiel

Spatprodukt[{1, 2, -1}, {1, 0, 3}, {-4, 4, -6}]

Cross[{1, 2, -1}, {1, 0, 3}]

Norm[Cross[{1, 2, -1}, {1, 0, 3}]]

Identitäten

X

Grassmann-Identität

Cross[X, Cross[Y, Z]] - ((X . Z)*Y - (X . Y)*Z) // 
      Expand

Jacobi-Identität

Cross[X, Cross[Y, Z]]

Cross[X, Cross[Y, Z]] + Cross[Y, Cross[Z, X]] + Cross[Z, Cross[X, Y]] // 
      Expand

Lagrange-Identität

W = Array[w, 3 ]

Cross[X, Y] . 
          Cross[Z, 
            W] - ((X . Z)*(Y . W) - (X . W)*(Y . Z)) // 
      Expand