Orthogonale Matrix

A = (1/15) {{10, 5, 10}, {5, -14, 2}, {10, 
            2, -11}}

Orthogonalitätschecks: Zeilenvektoren sind normiert

Map[Norm, A]

Zeilenvektoren sind paarweise orthogonal

Table[A[[i]] . A[[j]], {i, 3}, {j, 3}]

Spaltenvektoren sind normiert

Map[Norm, Transpose[A]]

Spaltenvektoren sind paarweise orthogonal

Table[Transpose[A][[i]] . Transpose[A][[j]], {i, 
        3}, {j, 3}]

Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren

Länge[v_] := 
      Sqrt[(∑_(k = 1)^(Length[v]))v[[k]]^2]

Clear[GramSchmidt]
GramSchmidt[A__] := 
      Module[{v, w, k, 
          m}, 
v = {A}; 
Do[
w[m] = 
            v[[m]] - (∑_(k = 1)^(m - 1))(v[[m]] . w[k])*
                  w[k]; 
w[m] = 
            w[m]/Länge[w[m]], {m, 1, 
            Length[v]}]; 
Table[
          w[k],  {k, 1, Length[v]}]
]

Orthogonalisierte Matrix

A = GramSchmidt[{1, 1, 1}, {1, 1, 0}, {1, 0, 0}]

Orthogonalitätschecks: Zeilenvektoren sind normiert

Map[Norm, A]

Zeilenvektoren sind paarweise orthogonal

Table[A[[i]] . A[[j]], {i, 3}, {j, 3}]

Spaltenvektoren sind normiert

Map[Norm, Transpose[A]]

Spaltenvektoren sind paarweise orthogonal

Table[Transpose[A][[i]] . Transpose[A][[j]], {i, 
        3}, {j, 3}]

Koordinatentransformation

Symmetrische Matrix A

A = {{1, 2, 3}, {2, 0, 2}, {3, 2, 1}}

Charakteristisches Polynom und Eigenwerte

CharacteristicPolynomial[A, t]

CharacteristicPolynomial[A, t] // Factor

Eigenvalues[A]

sys = Eigensystem[A] // Simplify

orthS = 
      Transpose[
        Table[sys[[2, k]]/Norm[sys[[2, k]]], {k, 3}]]

orthS = Simplify[orthS]

Inverse[orthS]

Transpose[orthS]

Inverse[orthS] // N

Transpose[orthS] // N

Inverse[orthS] == Transpose[orthS] // Simplify

FullSimplify[Inverse[orthS] - Transpose[orthS]]

Transpose[orthS] . A . orthS

Transpose[orthS] . A . orthS // FullSimplify