Folgen

Wir erklären die Folge (Subscript[b, n]) wie in der Vorlesung

b[1]=0;b[2]=1;b[n_]:=b[n]=(1/2)(b[n-1]+b[n-2])

Table[b[n],{n,1,10}]

und stellen (Subscript[b, n]) graphisch dar:

plotb=ListPlot[Table[b[n],{n,1,100}]]

Welchen Grenzwert hat (Subscript[b, n])?

ϵ=0.1

ploteps=Plot[{2/3+ϵ,2/3-ϵ},{x,0,100}]

Show[plotb,ploteps,PlotRange->All]

Die Teilfolge (Subscript[b, 2n-1]) der ungeraden (Subscript[b, n]) ist monoton wachsend,

ListPlot[Table[b[n],{n,1,100,2}]]

und die Teilfolge (Subscript[b, 2n]) der geraden (Subscript[b, n]) ist monoton fallend.

ListPlot[Table[b[n],{n,2,100,2}]]

Es gilt die Gleichung (1/3)(Subscript[b, n])+(2/3)(Subscript[b, n+1])=(2/3):

Table[(1/3)b[n]+(2/3)b[n+1],{n,1,100}]

Konvergenzgeschwindigkeit der Folge (Subscript[b, n]):

Table[Abs[b[n]-(2/3)]<(1/(2^(n-1))),{n,2,100}]

Einige Grenzwerte:

Limit[(1/n),n->∞]

folgt aus dem Archimedischen Prinzip, und

Limit[(1/(2^n)),n->∞]

ist eine Teilfolge mit demselben Grenzwert.

Eine weitere wichtige Folge

a[n_]:=(((1+(1/n)))^n)

Table[a[n],{n,1,10}]

Table[N[a[n]],{n,1,10}]

plota=ListPlot[Table[a[n],{n,1,100}]]

Limit[(((1+(1/n)))^n),n->∞]

N[%]

Limit[(((1+(x/n)))^n),n->∞]

Mehrfache Zinsauszahlung pro Jahr

Table[(((1+(x/n)))^n)/.{x->0.09},{n,1,12}]

Tägliche Zinsauszahlung

(((1+(x/n)))^n)/.{x->0.09}/.{n->365}

Die Grenzwerte

Limit[(c^(1/n)),n->∞]

und

Limit[(n^(1/n)),n->∞]

sind bei der Betrachtung von Reihen wichtig, genauso wie der Grenzwert:

Limit[((x^n)/(n!)),n->∞]

Table[(1/(n!))//N,{n,1,10}]

Reihen:

(∑_(k=0)^∞)(q^k)

(∑_(k=1)^∞)(1/k)

(∑_(k=1)^∞)(1/(k(k+1)))

Apart[(1/(k(k+1)))]

(∑_(k=1)^∞)((((-1))^(k+1))/k)

(∑_(k=0)^∞)((x^k)/(k!))

(∑_(k=0)^∞)(1/(k!))

N[%]

s=(∑_(k=1)^∞)(1/(k^3))

N[%]