Funktionen

Plot[(x^2),{x,-5,5}]

Übung 3.1

Plot[Sqrt[2-3Abs[x]],{x,-5,5}]

Plot[(1/(1+(x^2))),{x,-5,5}]

f[x_]:=(1/(1+(x^2)))

Plot[(1/x),{x,0,5}]

g[x_]:=(1/x)

g[f[x]]

f[g[x]]//Together

Beispiele für Umkehrfunktionen, Stetigkeit und Unstetigkeit, Polstellen, Asymptoten

Beispiel 3.8

plot1=Plot[(1/((x^2)+1)),{x,-5,5}]

sol=Solve[y==(1/((x^2)+1)),x]

plot2=Plot[x/.sol[[1]],{y,0,1}]

plot3=Plot[x,{x,-5,5}];

Show[plot1,plot2,plot3,AspectRatio->Automatic, PlotRange->{-4,1}]

Exponentialfunktion

plot1=Plot[Exp[x],{x,-5,3},AspectRatio->Automatic]

Berechnung von e

Exp[1]//N

(∑_(k=0)^7)(1/(k!))//N

Logarithmusfunktion

Solve[Exp[x]==y,x]

plot2=Plot[Log[x],{x,0,5}]

Show[plot1,plot2,plot3,PlotRange->{-2,4}]

Beispiel 3.15

Plot[If[x≤1,x,x-2],{x,0,2}]

Plot[If[x≤1,x+2,x+3],{x,0,2}]

Beispiel 3.16

Plot[((3(x^4)+2(x^2)+7)/(2(x^4)+(x^3)+4x)),{x,-4,4}]

Pole

sol=Solve[2(x^4)+(x^3)+4x==0,x]

N[sol]

Nullstellen

sol=Solve[3(x^4)+2(x^2)+7==0,x]

N[sol]

Asymptote

Limit[((3(x^4)+2(x^2)+7)/(2(x^4)+(x^3)+4x)),x->∞]

Beispiel 3.17

Plot[(1/(x+2))-(1/((x^2)-4)),{x,-4,4}]

Limit[(1/(x+2))-(1/((x^2)-4)),x-> ∞]

Limit[(1/(x+2))-(1/((x^2)-4)),x-> 2]

Beispiel 3.18

Plot[(Sqrt[(x^2)+x])-x,{x,0,10}]

natürlicher Definitionsbereich  (Subscript[ℝ, ≥0])

Asymptote

Limit[(Sqrt[(x^2)+x])-x,x->∞]

Beispiel 3.19

Plot[Sin[x],{x,-π,π},AspectRatio->Automatic]

Plot[((Sin[x])/x),{x,-π,π},AspectRatio->Automatic]

Limit[((Sin[x])/x),x->0]

Beispiel 3.20

Plot[((1-Cos[x])/x),{x,-1,1}]

Limit[((1-Cos[x])/x),x->0]

Beispiel 3.21

Plot[Sin[(1/x)],{x,-4,4},PlotPoints->1000]

Plot[Sin[(1/x)],{x,-0.001,0.001},PlotPoints->1000]

sin((1/x))  ist unstetig für  x = 0

Plot[x Sin[(1/x)],{x,-1,1}]

Limit[x Sin[(1/x)],x->0]

x sin((1/x))  ist stetig fortsetzbar nach  ℝ

Graphen von Logarithmus- und Exponentialfunktion

Plot[{Log[x],Exp[x],x},{x,-4,4},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-4,4},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,1,0],RGBColor[0,0,1]}]

Ungleichungen für die Exponentialfunktion

Plot[{1+x,Exp[x],(1/(1-x))},{x,-1,1},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,1,0],RGBColor[0,0,1]},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{0,2}]

Ungleichungen für die Logarithmusfunktion

Plot[{1-(1/x),Log[x],x-1},{x,0,5},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,1,0],RGBColor[0,0,1]},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-2.5,2.5}]